Бобрин Миронов РУКОВОДСТВО К РЕШ.ЗАДАЧ Ч

оружению с некоторой скоростью. Меняя свое положение на сооружении, подвижная нагрузка в его элементах вызывает переменные усилия, деформации и перемещения. При определенных положениях подвижных нагрузок опорные реакции, усилия и перемещения достигают экстремальных значений, которые являются расчетными, ибо с их учетом производятся прочностные расчеты сооружения. По своей природе подвижные нагрузки являются динамическими, что при прочностных расчетах учитывается умножением усилий, найденных от их статического воздействия, на динамический коэффициент. Далее подвижные нагрузки будем полагать статическими.

Все разнообразие подвижных нагрузок возможно учесть при анализе статического воздействия на сооружение одиночного вертикального безразмерного единичного груза Р = 1.

Понятие о линии влияния (л. вл.) рассмотрим на примере изучения закона изменения опорной реакции RB двухопорной балки, представ-

ленного в графической форме (рис. 3.1). Пусть на опоре В поставлен прибор, измеряющий реакцию RB . Показания прибора будем наносить

на график в осях RB ÷ z в зависимости от координаты z, определяющей позицию груза P = 1.

При z = 0 (P = 1 на опоре А), как легко понять, показание прибора бу-

дет нулевым. При увеличении z показания прибора будут постепенно возрастать и при z = L (P = 1 на опоре B), прибор покажет RB = 1, так как

нагрузка P = 1 будет полностью воспринята опорой.

Соединяя промежуточные ординаты в осях RB ~ z линией, получаем

21

В производственных условиях подобные приборные измерения проводятся, например, при испытаниях мостов. Однако линии влияния ФК можно получать и теоретически.

3.2. Статический метод построения линий влияния

3.2.1. Простые и составные балки

Статический метод построения линий влияния фактора ФК заключается в следующем.

∙Единичный груз Р = 1 устанавливают в произвольной точке на оси сооружения с координатой z.

∙Составляют аналитическое уравнение для фактора ФК, обычно включающее координату z, в виде ФК = ФК(z).

∙Строят график уравнения ФК(z), который и является линией влия-

ния ФК (л. вл. ФК).

Таким образом, в основе статического метода построения линий влияния лежит тот же метод сечений, что и при вычислении усилий от неподвижной нагрузки, а именно:

а) мысленное рассечение расчетной схемы сооружения на две части; б) отбрасывание одной из частей и оставление другой в качестве

объекта равновесия; в) замена действия отброшенной части на оставленную искомыми

усилиями; г) составление уравнений равновесия для оставленной части, из ко-

торых и определяются искомые усилия.

При этом удобно оставлять ту часть, к которой приложено меньшее количество нагрузок (с учетом опорных реакций!). Отсюда вытекают практические правила вычисления усилий: нормальная сила NK численно равна алгебраической сумме проекций всех внешних сил, приложенных к оставленной части, на нормаль к сечению; поперечная сила QK – то же на ось у, перпендикулярную к нормали сечения; изгибающий момент МК численно равен алгебраической сумме моментов тех же внешних сил относительно центра сечения К.

Принято считать балочные опорные реакции R, направленные вверх (вниз) положительными (отрицательными). Знаки для усилий М, Q, N принимаются по рис. 3.2.

При построении линий влияния принято положительные (отрицательные) ординаты их откладывать вверх (вниз) от оси стержня.

Например, для рассмотренной выше балки надо составить обычное уравнение статики ΣmA = 0 , что дает (см. рис. 3.1) RBL – 1·z = 0, откуда

уравнение линии влияния получает вид линейной функции RB = z/L, где 0 ≤ z ≤ L – это уравнение прямой: RB(0) = 0 и RB(L) = 1.

22

В статически определимых системах линии влияния усилий всегда выражаются линейными функциями координаты z подвижного груза P = 1 и потому графически состоят из отрезков прямых.

Единицы измерения ординат линий влияния определяются единицами измерения частного от деления единицы измерения исследуемого фактора ФК на единицу измерения сосредоточенной силы, т. е.:

Рассмотрим примеры построения линий влияния статическим методом.

Пример 3.1. Для консоли (рис. 3.3, а) построить л. вл. изгибающих моментов и поперечных сил в опорном сечении К1 и промежуточном сечении К2. Для сечения К1 груз P = 1 справа и, следовательно,

МK1 = -1× z , где 0 ≤ z ≤ L, так что MK1(0)=0 и MK1(L)= – L.

Поперечная сила QK1 = +1 = сonst при 0 ≤ z ≤ L. Линии влияния пока-

заны на рис. 3.3, б, в.

Для сечения К2 как промежуточного следует рассмотреть две позиции груза P = 1 – слева и справа от сечения. Пусть груз P = 1 – слева (0 ≤ z ≤ а). Тогда, смотря из сечения К2 вправо (сил там нет!), получаем МK2 = 0 и QK2 = 0, т. е. левые участки этих линий влияния нулевые.

Поместим груз P = 1 справа от сечения. Тогда, смотря по-прежнему вправо (там всего одна сила!) имеем: МK2 = -1(z - a) и QK2 = +1 = сonst,

23

где а ≤ z ≤ L; так что MK2(a) = 0, MK2(L) = –b. Последние уравнения представляют

т. е. груз перемещается по всей длине балки. Как видно, RA есть

ная функция координаты z, так что RA(0) = 1, RA(L) = 0, RA(L+c) = –c/L. Для л. вл. RB составляем уравнение ΣmА = 0:

RBL – 1z = 0, откуда RB = z/L и, следовательно, RB(0) = 0, RB(L) = 1, RB(L+c) = (L+c)/L.

Линии влияния RA и RВ показаны на рис. 3.4, б, в. При построении линий влияния усилий MKi и QKi следует рассматривать две позиции

подвижного груза P = 1, а именно: слева и справа от данного сечения Кi. Л. вл. MK1. Пусть P = 1 слева от сечения К1. Выразим уравнение левой прямой этой линии влияния через правые силы, т.е. через реакцию RB. Тогда MK1 = RBb1 и, следовательно, левая прямая представляет собой левую по отношению к сечению К1 часть линии влияния RB, ординаты которой увеличены в b1 раз. Располагая P = 1 справа от сечения К1 и вычисляя момент MK1 через левые силы, имеем MK1 = RAa1 и, следовательно, правая прямая л. вл. MK1 представляет собой правую по отношению к сечению К1 часть линии влияния RA, ординаты которой увеличены в а1 раз. Легко убедиться, что левая и правые прямые л. вл. MK1 пересекаются строго под сечением К1, центр которого можно на-

звать моментной точкой.

24

наты которой увеличены в L раз.

Л. вл. QK2. Если P = 1 слева от сечения К2, то глядя вправо, имеем перед собой реакцию RВ и QK2 = –RB. Левая прямая, таким образом, есть левая часть л. вл. RB, взятая с обратным знаком. Если P = 1 справа от сечения К2, то, глядя влево, имеем QK2 = RA, и правая прямая есть правая часть л. вл. RA. Линии влияния MK2 и QK2 представлены на рис. 3.4, е, ж. И здесь левая и правая прямые л. вл. QK2 параллельны.

Л. вл. MK3 и QK3. Сечение К3 расположено чуть правее опоры В, его можно рассматривать как опорное для консоли и линии влияния MK3 и QK3 получаем так же, как показано в примере 3.1 (рис. 3.4, и, к).

Замечание. При построении линий влияния опорных реакций и усилий в поперечных сечениях для двухопорных консольных балок левые и правые прямые продолжают до вертикалей, опущенных с концов консо-

лей (рис. 3.5).

25

26

Пусть требуется построить линии влияния опорной реакции RA, изгибающего момента и поперечной силы в сечении К. Грузовой пояс конструкции, по которому движется нагрузка, состоит из четырех шарнирно опертых балок mn, nf, fs и st, ввиду чего искомые линии влияния должны простираться от точки m до точки t. При этом ординаты линий влияния под этими точками должны быть равны нулю, так как при нахождении Р = 1 над опорами m и t главная балка АВ из работы выключается. Построение линий влияния выполняют так:

1) строят основные линии влияния для главной балки без учета узловой передачи нагрузки, т. е. как обычно (они показаны штриховыми линиями);

2) узлы m, n, f, s, t проецируют на полученные линии влияния в точки m΄, n΄, f΄, s΄, t΄;

3) полученные проекции узлов соединяют переходными прямыми m΄n΄, n΄f΄, f΄s΄, s΄t΄. Линии влияния при узловой передаче нагрузки показаны сплошными линиями. Характерные ординаты вычисляют из подобия треугольников.

Описанный здесь способ построения линий влияния используется для любых плоских стержневых систем (ферм, арок, рам и т. п.).

3.2.2. Трехшарнирные арки

Аркой называется главный элемент несущей конструкции в виде плоского криволинейного стержня (бруса). Арки и арочные системы широко применяют в мостостроении, в промышленном и гражданском строительстве ввиду их функциональной и конструктивной целесообразности, а также архитектурной выразительности. Характерной особенностью работы арок при воздействии на них вертикальных нагрузок является возникновение в пятах (опорах), помимо вертикальных (балочных) составляющих RA, RВ опорных реакций, составляющих горизонтальных, обозначаемых Н и называемых распором. Поэтому подобные сооружения называются распорными. Расчетная схема симметричной трехшарнирной арки и основная терминология приведены на рис. 3.7.

При построении линий влияния в арках статическим методом наряду с аркой принято рассматривать вспомогательную балку А΄В΄ того же пролета что и арка, но без замкового шарнира С.

Вертикальные составляющие RA, RВ опорных реакций определяются как для шарнирно опертой балки А΄В΄, а горизонтальные составляющие Н – из того условия, что изгибающий момент в замке С (это шарнир!) равен нулю. Это приводит к уравнению:

MБ

распор H = C – изгибающий момент в сечении С f

вспомогательной балки; f – стрела.

27

Рис. 3.7. Симметричная трехшарнирная арка:

а – расчетная схема; К1,К2 – поперечные се-

чения на левой и правой полуарках; φК1 > 0 и φК2 < 0 – углы наклона касательных к оси арки

в сечениях К1,К2; ZK, УК – текущие координаты

точек оси; б – вспомогательная балка

Усилия в текущих поперечных сечениях арки при принятом по рис. 3.8 правиле знаков вычисляют по формулам:

MK = MБK − H yK ;

QK = QБK сosϕK − HsinϕK ;

NK = −[QБK sinϕK + HcosϕK ] ,

где MK, QK, NK – изгибающий момент, поперечная и продольная силы в сечении К арки; MБK , QБK – изгибающий момент и поперечная сила в

соответствующем сечении вспомогательной балки (балочные усилия); Н – распор; yK – ордината сечения К; φК – угол наклона касательной к оси арки в сечении К. Особо отметим, что для сечений левой полуарки угол φК > 0, sin φК > 0, сos φК > 0, а для сечений правой полуарки угол φК < 0, sin φК < 0, сos φК > 0.

Рис. 3.8. Правила знаков для усилий

28

Для построения линий влияния используем выражения, полученные на основе вышеприведенных формул:

л. вл. Н = 1f (л. вл. MБC); л. вл. МК = л. вл. MБК − (л. вл. Н) yK;

л. вл. QК = (л. вл. QБК ) cosϕK − (л. вл. Н) sinϕK; л. вл. NК = − [(л. вл. QБК ) sinϕK + (л. вл. Н) cosϕK ],

где К – заданное сечение, для которого определены абсцисса zK, ордината yK, функции sin φК, cos φК.

ных систем (арок, рам, ферм и т. п.) является геометрическая конструкция по рис. 3.9, треугольный способ образования которой гарантирует неизменяемость и неподвижность сооружения, а также статическую определимость: W = 3D – 2Ш – Соп = 3 · 2 – 2 · 1 – 4 = 0. Расположение шарниров АСВ на одной прямой или близко к ней недопустимо, так как это приводит к превращению системы в мгновенно изменяемую.

2. Определение основных параметров арки (по рис. 3.10, а);

пролет L = 2R sin α = 2R sin 60° = 2·80·0,866 = 138,56 м; стрела f = R (1 – cos α) = 80 (1 – cos 60°) = =80 (1 – 0,5) = 40 м.

Координаты сечения К в прямоугольных осях y0z

zK = R (sin α – sin φK) = 80 (sin 60° – sin 15°) = 80(0,866–0,259) = 48,58 м; yK = R (cos φK – cos α) = =R (cos 15° – cos 60°) = 80(0,966–0,5) = 37,27 м.

Тригонометрические функции угла наклона касательной φК = +15°: sin 15° = 0,259; cos 15° = 0,966.

3. Процедура построения линий влияния приведена на рис. 3.10.

Пример 3.4. Для арки, ось которой очерчена по параболе, построить линии влияния распора Н, изгибающего момента, поперечной и продольной сил в сечении К, расположенном на правой полуарке (рис. 3.11).

Исходные данные:

ось – парабола; пролет L = 48 м; стрелочное отношение n = f / L = 0,25; zK = 36 м.

29

30