ман для 1ПМ-11 / 2 курс 2011 / лекции / Границя послідовності / лекция № 4

Міністерство освіти і науки, молоді та спорту України

Горлівський технікум Донецького національного університету

ЛЕКЦІЯ № 4

з теми: «Визначення границі числової послідовності,

перехід до границі у нерівностях. Обмеженість збіжних послідовностей.»

Модуль КЗН-02. ПР.О.03.02 Границя послідовності

Дисципліна: «Математичний аналіз»

Розглянуто та схвалено Розробив викладач

на засіданні циклової Велікодна О. В.

комісії інформаційних технологій

та прикладної математики.

протокол № 1 від 30.08.2011 р.

Голова циклової

комісії ІТ та ПМ І. П. Сошина

ПЛАН ЗАНЯТТЯ

Дата: курс: ІІ

Викладач: Велікодна Ольга Володимирівна.

Тема: Визначення границі числової послідовності, перехід до границі у нерівностях. Обмеженість збіжних послідовностей.

Мета:

• Дидактична: вивчити поняття границі числової послідовності, основні властивості границі числової послідовності.

• Виховна: виховувати професійно зацікавлену особистість, здатну вільно мислити та логічно висловлювати свої думки.

• Методична: вдосконалювати методику проведення лекції з використанням технологій проблемного та проектного навчання.

Тип: лекція

Вид: лекція – дослідження проблемних питань.

Методи та форми проведення заняття: метод проблемного викладення матеріалу, репродуктивний, дослідницький.

Науково-методичне забезпечення:

1. Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа: Учебник. Для студентов университетов и вузов. В 3 т. - М.: Высшая школа,1998.

2. Кудрявцев Л.Д. Сборник задач по математическому анализу: Учебник для вузов. В 3 т. - М.: Наука. Гл. ред. физ. - мат. лит.,1989.

3. Берман Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа: Учеб. пособие для вузов. - М.: Наука. Гл. ред. физ. - мат. лит.,1975.

4. Марон А. И. Дифференциальное и интегральное исчисление в примерах и задачах. – М.: Наука, 1973.

Між предметні зв’язки:

• Дисципліни, що забезпечують: елементарна математика

• Дисципліни, що забезпечуються: лінійна алгебра та аналітична геометрія, дискретна математика, диференціальні рівняння, рівняння математичної фізики, чисельні методи, методи оптимізації, теорія функцій комплексної змінної.

Обладнання: зошити, ручки, крейда, дошка.

ХІД ЗАНЯТТЯ.

1. Організаційна частина:

1. відсутні;

2. підготовка до заняття;

3. перевірка д/з.

2. Актуалізація опорних знань:

3. Вивчення нового матеріалу:

• Тема лекції: Визначення границі числової послідовності, перехід до границі у нерівностях. Обмеженість збіжних послідовностей.

• Мотивація вивчення матеріалу: вивчити основні важливі поняття та факти математичного аналізу, навчити використовувати надбані знання при розв’язанні прикладних задач.

• План вивчення нового матеріалу: надається в конспекті лекції.

4. Виклад нового матеріалу. конспект лекції надається.

5. Закріплення нового матеріалу.

6. Підсумки заняття.

7. Домашнє завдання:

План лекції № 4.

1. Визначення границі числової послідовності.

2. Одиничність границі послідовності.

3. Перехід до границі у нерівностях.

4. Обмеженість збіжних послідовностей.

Конспект лекції № 4.

Тема: «Визначення границі числової послідовності,

перехід до границі у нерівностях. Обмеженість збіжних послідовностей.»

1. Послідовністю {х} елементів деякої множини Х називається відображення множини натуральних чисел в множину Х. Елемент послідовності позначається х. Прикладами послідовностей є ½, 1/3, ¼, 1/5, …, 1/n, …; 1, 1, 1, ….

Визначення 1. Конечна чи нескінченно віддалена точка числової прямої називається границею числової послідовності дійсних чисел, якщо, яка б ні була окрестність точки а, вона вміщує всі члени розглянутої послідовності, починаючи з деякого номера.

Цей номер залежить від обрання окрестності точки а. Тобто, за межами окрестності точки а знаходиться тільки скінчена кількість членів розглянутої послідовності. За допомогою логічних символів, визначення границі числової послідовності запишемо так:

чи .

Якщо границя числової послідовності є скінченим числом, то говорять, що послідовність має скінчену границю.

Визначення 2. Якщо числова послідовність має скінчену границю, то вона називається збіжною послідовністю.

Маємо: , тобто а – ε < х< a + ε.

Якщо границя числової послідовності нескінчена, тобто , то

.

;

;

Визначення 3. Послідовність, границею якої є ∞, називається нескінченно великою.

Приклади.

1. {х}: х= 1/n, n = 1,2,3,… збігається та має своєю границею 0. Тобто . За принципом Архімеда: .

2. {х}: х= (- 1)ⁿ, n = 1,2,3,… не має границі, тому, що для будь – якої окрестності точки а, за її межами знаходиться нескінченно багато членів даної послідовності.

3. {х}: х= n², n = 1,2,3,… нескінченно велика, . За принципом Архімеда: .

4. При а > 1 , .

2. Теорема (про одиничність границі числової послідовності): Послідовність точок розширеної числової прямої може мати на цій прямій тільки одну границю. (доведення розібрати самостійно. Підручник Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа: Учебник. Для студентов университетов и вузов. В 3 т. - М.: Высшая школа,1998. – Т. 1, стор. 55)

3. Перехід до границі у нерівностях.

• Якщо .

• Якщо , виконано, що та і , то . (теорема про зажату послідовність).

Наслідки: Якщо , виконано, що та , то . Якщо , то .

• Якщо , та і a < b, a, b R, то виконано, що х< y.

Наслідки: 1). Нехай a, b, х, n = 1,2,… R. Якщо та a < b (a > b), то виконано, що х< b (х> b).

2). Якщо , та , n = 1,2,…, a, b R, та , то b ≤ a.

4. Визначення 4. Числова послідовність називається обмеженою зверху (знизу), якщо множина її значень обмежена зверху (знизу). Тобто, числова послідовність {х} обмежена зверху (знизу), якщо R : виконана нерівність х≤ с (х ≥ с).

Числова послідовність, що обмежена як зверху, так і знизу, називається обмеженою. Тобто R : виконана нерівність |х| ≤ с. Послідовність, що не є обмеженою (обмеженою зверху чи знизу), називається необмеженою(необмеженою зверху чи знизу).

Теорема: Якщо числова послідовність має скінчену границю, то вона обмежена. (доведення розібрати самостійно. Підручник Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа: Учебник. Для студентов университетов и вузов. В 3 т. - М.: Высшая школа,1998. – Т. 1, стор. 60)