ман для 1ПМ-11 / 2 курс 2011 / лекции / Границя послідовності / лекция № 6

Міністерство освіти і науки, молоді та спорту України

Горлівський технікум Донецького національного університету

ЛЕКЦІЯ № 6

з теми: «Нескінченно малі послідовності. Властивості арифметичних

операцій, пов'язані із границями.»

КЗН-02. ПР.О.03.02 Границя послідовності

Дисципліна: «Математичний аналіз»

Розглянуто та схвалено Розробив викладач

на засіданні циклової Велікодна О. В.

комісії інформаційних технологій

та прикладної математики.

протокол № 1 від 30.08.2011 р.

Голова циклової

комісії ІТ та ПМ І. П. Сошина

ПЛАН ЗАНЯТТЯ

Дата: курс: ІІ

Викладач: Велікодна Ольга Володимирівна.

Тема: Нескінченно малі послідовності. Властивості арифметичних операцій, пов'язані із границями.

Мета:

• Дидактична: вивчити поняття границі числової послідовності, основні властивості границі числової послідовності.

• Виховна: виховувати професійно зацікавлену особистість, здатну вільно мислити та логічно висловлювати свої думки.

• Методична: вдосконалювати методику проведення лекції з використанням технологій проблемного та проектного навчання.

Тип: лекція

Вид: лекція – дослідження проблемних питань.

Методи та форми проведення заняття: метод проблемного викладення матеріалу, репродуктивний, дослідницький.

Науково-методичне забезпечення:

1. Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа: Учебник. Для студентов университетов и вузов. В 3 т. - М.: Высшая школа,1998.

2. Кудрявцев Л.Д. Сборник задач по математическому анализу: Учебник для вузов. В 3 т. - М.: Наука. Гл. ред. физ. - мат. лит.,1989.

3. Берман Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа: Учеб. пособие для вузов. - М.: Наука. Гл. ред. физ. - мат. лит.,1975.

4. Марон А. И. Дифференциальное и интегральное исчисление в примерах и задачах. – М.: Наука, 1973.

Між предметні зв’язки:

• Дисципліни, що забезпечують: елементарна математика

• Дисципліни, що забезпечуються: лінійна алгебра та аналітична геометрія, дискретна математика, диференціальні рівняння, рівняння математичної фізики, чисельні методи, методи оптимізації, теорія функцій комплексної змінної.

Обладнання: зошити, ручки, крейда, дошка.

ХІД ЗАНЯТТЯ.

1. Організаційна частина:

1. відсутні;

2. підготовка до заняття;

3. перевірка д/з.

2. Актуалізація опорних знань:

3. Вивчення нового матеріалу:

• Тема лекції: Нескінченно малі послідовності. Властивості арифметичних операцій, пов'язані із границями.

• Мотивація вивчення матеріалу: вивчити основні важливі поняття та факти математичного аналізу, навчити використовувати надбані знання при розв’язанні прикладних задач.

• План вивчення нового матеріалу: надається в конспекті лекції.

4. Виклад нового матеріалу. Конспект лекції надається.

5. Закріплення нового матеріалу.

6. Підсумки заняття.

7. Домашнє завдання:

План лекції № 6.

1. Нескінченно малі послідовності.

2. Властивості границі, пов’язані з арифметичними операціями над числовими послідовностями.

Конспект лекції № 6.

Тема: «Нескінченно малі послідовності. Властивості арифметичних

операцій, пов'язані із границями.»

1. Визначимо арифметичні операції, які можна виконувати над числовими послідовностями.

Визначення 1. Нехай {х} та {у} – числові послідовності. Тоді числова послідовність {х+ у} називається їх сумою {х} + {у}, {х- у} – їх різницею {х} - {у}, {ху} – їх добутком {х} {у}, а якщо для всіх номерів n виконується нерівність у≠ 0, то послідовність {х/ у} називається частним {х} / {у} даних послідовностей.

Якщо λ – дійсне число, то добутком λ{х} числової послідовності {х} на число λ називається послідовність {λх}.

Визначення 2. Числова послідовність, границя якої дорівнює 0, називається нескінченно малою.

Властивості нескінченно малих послідовностей.

• Будь – яка лінійна комбінація нескінченно малих є нескінченно малою.

• Добуток нескінченно малої послідовності на обмежену послідовність є нескінченно малою.

• Добуток скінченої кількості нескінченно малих послідовностей є нескінченно малою.

Нескінченно малі послідовності грають в теорії границь важливу роль, так як поняття скінченої границі послідовності можна виразити через поняття нескінченно малої послідовності.

2. Лемма: Числова послідовність {х} має скінчену границю, яка дорівнює а, тоді та тільки тоді, коли послідовність {α} = {х- а}, n = 1,2,… є нескінченно малою, тобто . (довести самостійно)

Властивості границь числових послідовностей.

• Якщо послідовність {х} збігається, то збігається й послідовність {|х|}, причому якщо , то .

• Скінчена лінійна комбінація збіжних послідовностей також є збіжною послідовністю, причому її границя дорівнює лінійної комбінації границь даних послідовностей. Якщо , , та λ, μ – деякі числа, то чи .

• Якщо послідовності {х} та {у} збігаються, то їх добуток {ху} також збігається, причому . Тобто, границя добутку збіжних послідовностей існує та дорівнює добутку границь даних послідовностей.

• Якщо послідовність {х} збігається та m – натуральне число, то .

• Якщо послідовності {х} та {у} збігаються, та для всіх номерів n виконується нерівність у≠ 0, , то послідовність {х/ у} – збігається, причому .