ман для 1ПМ-11 / 2 курс 2011 / практика / Границя послідовності / практика № 2

Міністерство освіти і науки, молоді та спорту України

Горлівський технікум Донецького національного університету

ПРАКТИЧНЕ ЗАНЯТТЯ № 2

з теми: «Обчислення границь числових послідовностей.»

Модуль КЗН-02. ПР.О.03.02 Границя послідовності

Дисципліна: «Математичний аналіз»

Розглянуто та схвалено Розробив викладач

на засіданні циклової Велікодна О. В.

комісії інформаційних технологій

та прикладної математики.

протокол № 1 від 30.08.2011 р.

Голова циклової

комісії ІТ та ПМ І. П. Сошина

ПЛАН ЗАНЯТТЯ

Дата: курс: ІІ

Викладач: Велікодна Ольга Володимирівна.

Тема: Обчислення границь числових послідовностей.

Мета:

• Дидактична: поглибити поняття границі числової послідовності, систематизувати знання про основні властивості границі числової послідовності, оволодіти вмінням знаходити границю числової послідовності.

• Виховна: підвищити рівень засвоєння навчального матеріалу, розвивати наукове мислення, усне мовлення студентів.

• Методична: вдосконалювати методику проведення практичних занять з використанням технології проблемного та проектного навчання.

Вид: практичне заняття № 2

Тип: практичне заняття – дослідження.

Методи та форми проведення заняття: практичні, дедуктивні, проблемно – пошукові, фронтальна, групова робота.

Наочні посібники: -

Роздавальний матеріал: тестові завдання до актуалізації знань, картки - завдання до самостійного виконання студентами.

Обчислювальні засоби: -

Література:

1. Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа: Учебник. Для студентов университетов и вузов. В 3 т. - М.: Высшая школа,1998.

2. Кудрявцев Л.Д. Сборник задач по математическому анализу: Учебник для вузов. В 3 т. - М.: Наука. Гл. ред. физ. - мат. лит.,1989.

3. Берман Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа: Учеб. пособие для вузов. - М.: Наука. Гл. ред. физ. - мат. лит.,1975.

4. Марон А. И. Дифференциальное и интегральное исчисление в примерах и задачах. – М.: Наука, 1973.

ХІД ЗАНЯТТЯ.

1. Організаційна частина:

1. відсутні;

2. підготовка до заняття;

3. перевірка д/з.

2. Мотивація навчальної діяльності студентів:

3. Актуалізація опорних знань:

• Контроль за підготовкою студентів до практичного заняття:

4. Інструктаж щодо виконання практичної роботи.

5. Видача завдань для виконання роботи.

6. Виконання студентами практичної роботи.

7. Оформлення індивідуальних звітів виконаної роботи, захист практичної роботи.

8. Підведення підсумків. Оцінювання.

9. Домашнє завдання:

Конспект практичного заняття № 2.

Тема: «Обчислення границь числових послідовностей.»

1. Виконати тестове завдання.

1. Дослідити на збіжність за допомогою критерію Коші можна:

а) довільну збіжну послідовність;

б) довільну послідовність;

в) тільки розбіжну послідовність;

г) тільки послідовність, що збігається до нуля;

2. Дві послідовності збігаються. Тоді їх різниця є послідовність, яка

а) не обмежена зверху;

б) збігається;

в) розбігається;

г) може як збігатись, так і розбігатись;

3. Яка послідовність має три часткових границі?

а) ;

б) не має жодна;

в) (-1)ⁿ;

г) ;

4. Нехай послідовність {Xn} необмежена. Яке твердження вірне?

а) послідовність {Xn} є нескінченно великою;

б) послідовність {Xn} розбіжна;

в) послідовність {Xn} є обмеженою знизу;

г) послідовність {Xn} монотонно зростає;

5. Довільна обмежена послідовність

а) має часткову границю;

б) має скінчену границю;

в) має нескінченну часткову границю;

г) має нескінченну границю;

6. Довільна монотонна послідовність

а) має скінчену або нескінчену границю;

б) зростає;

в) збігається;

г) обмежена;

7. Чому дорівнює ?

а) ∞;

б) 1;

в) 5;

г) 6;

8. Яка послідовність не є нескінченно великою?

а) lg(ln n);

б) (-1)ⁿn;

в) ;

г) ;

9. Якщо послідовність збігається, то

а) будь – яка її підпослідовність збігається;

б) будь – яка її підпослідовність монотонна;

в) вона необмежена;

г) вона має необмежену підпослідовність;

10. Нехай а>0. Тоді

а) π;

б) +∞;

в) е;

г) 0;

11. Якщо послідовність є нескінченно великою, то вона:

а) ;

б) необмежена;

в) ;

г) зростає;

12. Послідовність є

а) обмеженою;

б) необмеженою;

в) нескінченно великою;

г) нескінченно малою;

13. Нехай {αn} та {βn} нескінченно малі послідовності, αn ≠ 0. Яке твердження вірне?

а) послідовність є нескінченно великою;

б) послідовність є нескінченно малою;

в) послідовність є нескінченно малою;

г) послідовність , де с =const ≠0 є нескінченно великою;

14. Нехай Y – множина значень послідовності. Тоді

а) Y може складатись з одного елемента;

б) Y має хоча б одну точку границі;

в) Y може складатись з довільного раціонального числа елементів;

г) Y – обмежена;

15. Яке твердження є вірним?

а) якщо послідовність не має границі, то вона не є обмеженою;

б) якщо послідовність обмежена, то вона має границю;

в) якщо додатна послідовність прямує до нуля, то вона монотонна;

г) якщо послідовність обмежена і монотонна, то вона має границю;

16. Нехай X – множина значень послідовності {xn}. Тоді

а) {xn} – монотонна;

б) {xn} – строго монотонно зростаюча;

в) завжди;

г) серед відповідей а) – в) вірної немає;

17. Чому дорівнює ?

а) інша відповідь;

б) ;

в) 2;

г) ;

18. Найбільша частинна границя послідовності є:

а) її границею;

б) числом, що обмежує її зверху;

в) її найбільшим елементом;

г) її верхньою границею;

19. Скільки граничних точок має послідовність ?

а) 3;

б) 2;

в) 4;

г) 6;

20. Послідовність {xn} є фундаментальною. Чи обов'язково вона є

а) монотонно зростаючою;

б) обмеженою зверху;

в) монотонно спадною;

г) не монотонною;

21. Яка з послідовностей розбіжна?

а) ;

б) ;

в) ;

г) ;

22. Чому дорівнює ?

а) ;

б) +∞;

в) 1;

г) ;

23. Нехай {Xn} – збіжна послідовність, {Yn} – розбіжна послідовність. Яке твердження правильне?

а) {Xn·Yn} – розбіжна;

б) {Xn·Yn} – збіжна;

в) {Xn ± Yn} – збіжна;

г) {Xn ± Yn} – розбіжна;

24. Дві послідовності збігаються. Тоді їх сума є послідовність, яка

а) може як збігатись, так і розбігатись;

б) збігається;

в) не обмежена зверху;

г) розбігається;

25. Послідовність {Xn} – строго монотонна, якщо

а) {Xn} – обмежена;

б) (Xn+1 - Хn)( Xn - Хn -1) > 0, n = 2, 3, 4,…;

в) існує ;

г) існує ;

26. Чи є послідовність{Xn},

а) нескінченно великою;

б) обмеженою знизу;

в) нескінченно малою;

г) обмеженою зверху;

27. Послідовність {Xn} називається нескінченно малою, якщо

а) вона розбігається;

б) вона збігається;

в) її границя дорівнює певного знака нескінченності;

г) ;

28. дорівнює

а) ∞;

б) не існує;

в) 1;

г) 0;

29. . Яке твердження правильне?

а) ;

б) ;

в) ;

г) ;

30. Нехай {Xn} – збіжна. Тоді {СXn} – збіжна:

а) тільки при С = 1;

б)тільки при С = 0;

в) для довільного С;

г) ніколи (таких С не існує);

31. Нехай - нескінченно мала послідовність (), - збіжна послідовність. Яке твердження правильне?

а) - розбігається;

б) - збігається;

в) - збігається;

г) - збігається;

32. Якщо послідовність обмежена, то

а) вона монотонна;

б) будь – яка її підпослідовність збігається;

в) вона збігається;

г) вона має підпослідовність, яка збігається;

33. Нехай Xn – збігається, а послідовність Yn – розбігається. Тоді їх сума Xn + Yn є послідовність, яка:

а) фундаментальна;

б) розбігається;

в) може як збігатись, так і розбігатись;

г) збігається;

34. Якщо послідовність збігається, то

а) вона має необмежену підпослідовність;

б) вона має монотонну підпослідовність;

в) вона необмежена;

г) будь – яка її підпослідовність монотонна;

35. Нехай . Тоді :

а) для довільного c;

б) ніколи ( таких с не існує);

в) якщо с = 0;

г) якщо с = 1;

36. Скільки граничних точок має послідовність {cos } ?

а) 3;

б) 8;

в) 5;

г) 2;

37. Послідовність {xn} називається фундаментальною, якщо

а) ;

б) ;

в) ;

г) ;

38. xn → a > 0 коли n → ∞. Яке з тверджень невірне?

а) ;

б) ;

в) ;

г) ;

39. Нехай та - дві підпослідовності послідовності . Яке твердження правильне?

а) якщо , то і ;

б) якщо і , то ;

в) якщо розбігається, то та - необмежені;

г) якщо обмежена, то збіжна;

40. Довільна фундаментальна послідовність

а) нескінченно велика;

б) нескінченно мала;

в) монотонна;

г) обмежена;

41. Яке твердження еквівалентно умові ?

а) ;

б) ;

в) послідовність є нескінченно малою;

г) ;

42. Якщо послідовність збігається, то вона:

а) обмежена;

б) зростаюча;

в) нескінченно мала;

г) монотонна та обмежена;

43. Нехай . Тоді послідовність

а) є збіжною при а = 0;

б) може бути збіжною тільки при а = 0;

в) завжди є розбіжною;

г) може бути збіжною також при а ≠ 0;

Ключ до тестових завдань (частина 2)

1б	2б	3а	4б	5а	6а	7в	8г	9а	10г
11б	12а	13г	14а	15г	16г	17г	18г	19а	20б
21в	22а	23г	24б	25б	26б	27г	28г	29б	30в
31б	32г	33б	34б	35г	36в	37б	38б	39а	40г
41в	42а	43б

2. Інструктаж до виконання практичного завдання.

Методичні вказівки.

Визначення границі послідовності:

Конечна чи нескінченно віддалена точка числової прямої називається границею числової послідовності дійсних чисел, якщо, яка б ні була окрестність точки а, вона вміщує всі члени розглянутої послідовності, починаючи з деякого номера.

чи .

Якщо числова послідовність має скінчену границю, то вона називається збіжною послідовністю.

Ознаки існування границі числової послідовності:

1) Якщо .

2) Якщо , виконано, що та і , то .

3) Якщо числова послідовність має скінчену границю, то вона обмежена.

4) Будь – яка зростаюча числова послідовність{х} має границю: скінчену, якщо вона обмежена зверху, та нескінчену, якщо вона необмежена зверху, причому = sup{х}.(Аналогічно теорема формулюється для монотонно спадаючої послідовності.)

5) Для того, щоб послідовність мала скінчену границю, необхідно та достатньо, щоб вона задовольняла умові Коші: .

Основні теореми про границю числової послідовності.

1. Якщо послідовність {х} збігається, то збігається й послідовність {|х|}, причому якщо , то .

2. Скінчена лінійна комбінація збіжних послідовностей також є збіжною послідовністю, причому її границя дорівнює лінійної комбінації границь даних послідовностей. Якщо , , та λ, μ – деякі числа, то чи .

3. Якщо послідовності {х} та {у} збігаються, то їх добуток {ху} також збігається, причому . Тобто, границя добутку збіжних послідовностей існує та дорівнює добутку границь даних послідовностей.

4. Якщо послідовність {х} збігається та m – натуральне число, то .

5. Якщо послідовності {х} та {у} збігаються, та для всіх номерів n виконується нерівність у≠ 0, , то послідовність {х/ у} – збігається, причому .

6. Якщо , та і a < b, a, b R, то виконано, що х< y.

7. , де е ≈ 2,718281828459045 (експонента).

Нескінченно малі та великі послідовності.

Числова послідовність, границя якої дорівнює 0, називається нескінченно малою.

Якщо границя числової послідовності нескінчена, тобто , то

.

;

;

Послідовність, границею якої є ∞, називається нескінченно великою.

Гранична точка.

З будь – якої обмеженої числової послідовності можна виділити збіжну підпослідовність, а з будь – якої необмеженої зверху(знизу) числової послідовності – підпослідовність, що має своєю границею +∞(- ∞).(теорема Больцано – Веєрштрасса.)

Границя, скінчена чи деякого знаку нескінчена, підпослідовності числової послідовності називається частковою границею цієї послідовності.

Будь – яка числова послідовність завжди має хоча б одну часткову границю (скінчену чи нескінчену).

Найменша часткова границя послідовності х називається нижньою границею, найбільша часткова границя послідовності х називається верхньою границею цієї послідовності.

Рівність = є необхідною та достатньою умовою існування границі послідовності х.

Приклади.

1. Знайти границю послідовності: .

2. Довести рівність: .

3. Для послідовності х= (-1)(2+3/n), (n = 1,2,3,….) знайти inf х, sup х, , .

Якщо n – непарне, то х= - (2+3/(2k-1)), k = 1,2,3,…… Тому: inf х = -5, = -2.

Якщо n –парне, то х= (2+3/(2k)), k = 1,2,3,…; sup х = 7/2, = 2.

3. Виконати практичне завдання.

Кудрявцев Л.Д. Сборник задач по математическому анализу: Учебник для вузов. В 3 т. - М.: Наука. Гл. ред. физ. - мат. лит.,1989. – Т. 1.

Стор. 136, №№ 1, 2.

Стор. 138, № 13.

Стор. 138, №№ 18, 19.

Домашнє завдання:

1. Кудрявцев Л.Д. Сборник задач по математическому анализу: Учебник для вузов. В 3 т. - М.: Наука. Гл. ред. физ. - мат. лит.,1989. – Т. 1., стор. 138, №№ 15, 19;

2. Тестові завдання – розібрати частину 2, частину 3