Ключ до тестових завдань.

Варіант	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
1	б	а	г	в	в	б	г	б	в	в
2	г	г	а	б	г	а	а	г	а	а
3	б	б	в	б	а	а	а	в	а	г
4	в	а	в	а	в	в	а	б	б	б

Інструктаж до виконання практичного завдання.

Методичні вказівки.

Спадання та зростання функції. Екстремум функції.

Теорема. (достатня умова монотонності функції)

Для того, щоб диференційована на інтервалі функція зростала (спадала) на цьому інтервалі, необхідно та достатньо, щоб її похідна була у всіх точках інтервалу невід’ємна (не додатна). Якщо похідна функції у всіх точках інтервалу додатна (від’ємна), то функція строго зростає (строго спадає).

Визначення. Точка хХ називається точкоюлокального максимуму (мінімуму) функції ƒ: X → R, якщо існує такий окіл U(х) точки х, що для всіх хХU(х) виконується нерівність ƒ(х) ≤ ƒ(х) ( відповідно ƒ(х) ≥ ƒ(х)). Якщо для всіх хХU(х) та х ≠ хвиконується нерівність ƒ(х) < ƒ(х) ( відповідно ƒ(х) >ƒ(х)), то точка хХ називаєтьсяточкою строгого локального максимуму (мінімуму) функції ƒ.

Точки максимуму та мінімуму функції називаються її точками екстремуму.

(необхідна умова екстремуму).

Визначення. Якщо функція визначена в деякому околі точки хта в цій точці похідна функції чи існує та дорівнює 0, чи не існує, то точка хназиваєтьсякритичною точкою цієї функції.

Теорема. (достатня умова екстремуму)

Нехай функція ƒ неперервна в деякому околі U(х) точки х, диференційована в проколотому околі Ů(х) та с кожного боку від точки хв цьому околі її похідна зберігає постійний знак. Тоді, якщо при хŮ(х)

1. ƒ′(х) > 0, то функція ƒ строго зростає на U(х);

2. ƒ′(х) < 0, то функція ƒ строго спадає на U(х);

3. ƒ′(х) > 0 при х < хта ƒ′(х) < 0 при х > х(похідна змінює знак з + на - ), то точка хє точкою строгого максимуму;

4. ƒ′(х) < 0 при х < хта ƒ′(х) > 0 при х > х(похідна змінює знак з - на + ), то точка хє точкою строгого мінімуму.

Дослідження на екстремум за допомогою похідної вищого порядку.

Теорема. Нехай функція у = ƒ(х) n раз диференційована в точці х, n ≥ 1 та. Тоді, якщо, тобто n – парне число, то функція ƒ має в точці хстрогий екстремум, а саме строгий максимум прита строгий мінімум при. Якщо ж, тобто n – непарне число, то функція ƒ не має в точці хекстремуму; в цьому випадку приточка хє точкою зростання функції ƒ, а при- її точкою спадання.

Частинні випадки теореми при n = 1 та n = 2.

1. Якщо ƒ′( х) > 0, то хє точкою зростання функції ƒ, а якщо ƒ′(х) < 0, то х- точка спадання функції.

2. Якщо ƒ′( х) = 0, а ƒ′′( х) > 0, то хє точкою строгого мінімуму, а якщо ƒ′( х) = 0, а ƒ′′( х) < 0, то хє точкою строгого максимуму.

Найбільше чи найменше значення функції на відрізку

Теорема.(Веєрштрасса) Будь – яка неперервна на відрізку функція досягає на ньому своєї верхньої та нижньої граней.

Теорема. (Больцано – Коші) Якщо функція ƒ неперервна на відрізку [a, b],

ƒ(а) = А, ƒ(b) = В, то для будь – якого числа С: A ≤ C ≤ B, існує така точка ξ [a, b], що ƒ(ξ) = С.

Схемою знаходження найбільшого чи найменшого значення функції на відрізку є:

1. Визначити, чи є функція, що досліджується неперервною на заданому проміжку;

2. Знайти похідну цієї функції, критичні точки функції, що належать даному проміжку;

3. Обчислити значення функції у всіх критичних точках даного проміжку та на його кінцях (якщо проміжок незамкнений, тобто є інтервалом чи полу інтервалом, то значення функції на його кінцях знаходимо через однобічні границі функції в цих точках);

4. Серед отриманих значень вибрати найбільше та найменше.

Приклади виконання практичних завдань.

1. Знайти інтервали монотонності функції у = .

Розв’язок:

Область визначення функції: х [0, +∞). Похідна функції. Похідна функції додатна на полу інтервалі [0, +∞), тому функція зростає на всій області визначення.

2. Дослідити на екстремум функцію у = 1-(х - 2).

Розв’язок:

Область визначення функції – вся числова ось(-∞, +∞).

Похідна функції: . Похідна не досягає значення 0 ні в якій точці області визначення, не існує в точці х = 2, яка є критичною точкою. У проміжку (-∞, 2) похідна приймає значення > 0, на проміжку (2, +∞) похідна приймає значення < 0. Тому, в точці х = 2 функція досягає максимуму.

3. Знайти найбільше та найменше значення функції ƒ(х) = 3х - х³ на відрізку [-2, 3].

Розв’язок:

Знайдемо похідну ƒ′(х) = 3 – 3х², 3 – 3х² = 0;

х = ±1 – стаціонарні точки.

Обчислюємо значення функції у стаціонарних точках та на кінцях відрізку.

Маємо: ƒ(-1) = -2, ƒ(1) = 2, ƒ(-2) = 2, ƒ(3) = -18. Тому, найбільше значення функції на наданому відрізку становить 2, найменше – (-18).

4. Знайти такий циліндр, який би мав найбільший об'єм при наданій повній поверхні S.

Розв’язок:

Нехай радіус основи циліндру дорівнює х, а висота – у. Тоді S = 2πх² + 2πху. Тобто, . Відповідно, об'єм циліндру має бути виражений так:Задача зведена до дослідження функції V(х) на максимум при х > 0.

Похідна .

Знаходимо другу похідну - дає в результаті V′′(х) < 0, тобто об'єм має найбільше значення. При цьому, у ==2х, тобто осьовий розтин циліндру є квадратом.

Приклад 1. Знайти інтервали зростання та спадання функції .

Розв’язання: Надана функція всюди диференційована, причому . Так якпри хта хтапри х, то на інтервалахтафункція строго зростає, а на інтервалістрого спадає.

Приклад 2. Знайти точки екстремуму функції .

Розв’язання: Функція має похідну при всіх , причому. Відповідно, у функції може бути тільки один екстремум в точці. Так якпри хтапри х, то точкає точкою строгого мінімуму.

Приклад 3. Знайти найбільше та найменше значення функції на відрізку.

Розв’язання: знаходимо екстремуми функції. Обчислюємо похідну: . Обидві критичні точки х = -2 та х = 3 функції належать до відрізку. Знаходимо другу похідну:. Так як, а, то в точці х = -2 маємо максимум, а в точці х = 3 – мінімум. Обчислюємо значення функції в точках екстремуму та на кінцях даного відрізку:. Таким чином,.

Приклад 4. знайти точки перегину графіка функції та кутові коефіцієнти дотичних до графіку функції в його точках перегину.

Розв’язання: Обчислимо першу та другу похідні функції.

В точці х = 0 функція неперервна та має нескінчену похідну. Друга похідна не існує при х = 0 та дорівнює 0 при х = 8. відповідно, точки перегину можуть бути тільки в точках х = 0 та х = 8. При переході через ці точки змінює знак та, відповідно, у(х) в цих точках змінює напрям опуклості. Тому точки х = 0 та х = 8 є точками перегину функції, а точки (0;1) та (8;е²) – точками перегину графіку функції. Дотична до графіку функції в точці (0; 1) вертикальна, так як. В точці (8; е²) кутоий коефіцієнт дотичної дорівнює.