матан 3 курс 2013 / лекции / Невизначений інтеграл / лекция № 7

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ, МОЛОДІ ТА СПОРТУ УКРАЇНИ

ГОРЛІВСЬКИЙ ТЕХНІКУМ ДОНЕЦЬКОГО НАЦІОНАЛЬНОГО УНІВЕРСИТЕТУ

ЛЕКЦІЯ № 7

з теми: «Інтегрування трансцендентних функцій.»

Модуль КЗН-02. ПР.О.03.07 Невизначений інтеграл.

Дисципліна: «Математичний аналіз»

Розглянуто та схвалено на засіданні циклової комісії інформаційних технологій та прикладної математики. Протокол № ____ від _______20__ р. Голова циклової комісії ПМ Велікодна О. В.

Розробив викладач Велікодна О. В.

ПЛАН ЗАНЯТТЯ

Дата: курс: ІІI

Викладач: Велікодна Ольга Володимирівна.

Тема: Інтегрування трансцендентних функцій.

Мета:

• Дидактична: навчитися обчислювати первісну, володіти методами інтегрування, знаходити первісну раціональних функцій, трансцендентних та ірраціональних функцій.

• Виховна: виховувати професійно спрямовану особистість, здатну чітко та логічно висловлювати та доводити свої думки.

• Методична: вдосконалювати методику проведення лекції з використанням методики пошукової технології.

Тип: лекція

Вид: лекція – дослідження.

Методи та форми проведення заняття: словесні, наглядні, проблемно – пошукові.

Науково-методичне забезпечення:

1. Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа: Учебник. Для студентов университетов и вузов. В 3 т. - М.: Высшая школа,1998.

2. Кудрявцев Л.Д. Сборник задач по математическому анализу: Учебник для вузов. В 3 т. - М.: Наука. Гл. ред. физ. - мат. лит.,1989.

3. Берман Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа: Учеб. пособие для вузов. - М.: Наука. Гл. ред. физ. - мат. лит.,1975.

4. Марон А. И. Дифференциальное и интегральное исчисление функции одной переменной в примерах и задачах. – М.: Наука, 1973.

Між предметні зв’язки:

• Дисципліни, що забезпечують: елементарна математика

• Дисципліни, що забезпечуються: лінійна алгебра та аналітична геометрія, дискретна математика, диференціальні рівняння, рівняння математичної фізики, чисельні методи, методи оптимізації, теорія функцій комплексної змінної.

Обладнання: зошити, ручки, крейда, дошка.

ХІД ЗАНЯТТЯ

1. Організаційна частина:

1. відсутні;

2. підготовка до заняття;

3. перевірка д/з.

2. Актуалізація опорних знань: визначення трансцендентних функцій, їх види та властивості, таблиця інтегралів, методи інтегрування.

3. Вивчення нового матеріалу:

• Тема лекції: Інтегрування трансцендентних функцій.

• Мотивація вивчення матеріалу: вивчити основний математичний апарат – невизначений інтеграл, що дає змогу розв’язувати прикладні задачі в різних галузях науки та техніки.

• План вивчення нового матеріалу: надається в конспекті лекції.

4. Виклад нового матеріалу. Конспект лекції надається.

5. Закріплення нового матеріалу.

6. Підсумки заняття.

7. Домашнє завдання.

Конспект лекції № 7.

Тема: Інтегрування трансцендентних функцій.

План лекції № 7.

1. Інтеграли від трансцендентних функцій, що обчислюються за допомогою інтегрування за частинами.

До інтегралів від трансцендентних функцій, що обчислюються за допомогою інтегрування за частинами, відносяться багато різних інтегралів, наприклад такі: ; ; ;; . Показники n – ціле невід’ємне число. Для обчислення інтегралів потрібно двічі про інтегрувати їх за частинами – в результаті отримаємо для них лінійне рівняння, з якого відразу знайдуться інтеграли. Наприклад, І = = . Звідки маємо: І = .

В інтегралах ; після однократного інтегрування за частинами отримаємо інтеграли того ж типу, але з меншим показником ступеня.

В інтегралах ;; після однократного інтегрування за частинами пропаде трансцендентна функція, причому в інтегралах ; отримаємо інтеграл від ірраціональної функції, що виражається через елементарні функції, а в інтегралах ; - інтеграл від раціональної функції, що виражається через елементарні функції.

Вище ми розглядали інтеграли від раціональних функцій , де змінні були раціональні та ірраціональні вирази або функції. Важливим є клас інтегралів від раціональних функцій, змінними в яких є деякі трансцендентні функції. Розглянемо такі інтеграли.

1. . Цей інтеграл раціоналізується до алгебраїчного виду підстановкою . Звідси . Таким чином .

Приклад. Знайти інтеграл.

.

2. Інтеграл - зводиться до раціонального алгебраїчного виду підстановкою . Звідси , , . В результаті одержується .

Приклад. Знайти інтеграл.

=.

Зауваження. Підстановка дає можливість звести до раціонального алгебраїчного виду інтеграл у тому випадку, коли хоча б один, або обидва показники m і n від’ємні.

Приклад. Знайти інтеграл.

.

Інтеграл виду зводиться до раціонального алгебраїчного виду універсальною підстановкою . Звідси , , , .

Отже .

Назва універсальна підстановка говорить про те, що вона може бути застосована при знаходженні інтеграла від будь-яких співвідношень тригонометричних функцій і . Однако, найбільш ефективною вона є в тих випадках, коли функції і мають перші степені і представлені у вигляді суми чи різниці. Застосування цієї підстановки до випадків, коли і мають парні степені приводить до раціональних дробів з високими степенями. Тому, в таких випадках краще застосовувати підстановку , або якусь іншу.

Приклад. Знайти інтеграл.

.

4. Інтеграл виду підстановкою зводиться до одного із таких інтегралів:

а) ; б) ; в) які в свою чергу, підстановками відповідно , , зводиться до інтегралів виду .

Приклад. Знайти інтеграл.