матан 3 курс 2013 / лекции / Невизначений інтеграл / лекция № 2
.docМІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ, МОЛОДІ ТА СПОРТУ УКРАЇНИ
ГОРЛІВСЬКИЙ ТЕХНІКУМ ДОНЕЦЬКОГО НАЦІОНАЛЬНОГО УНІВЕРСИТЕТУ
ЛЕКЦІЯ № 2
з теми: «Первісна та невизначений інтеграл. Основні властивості інтеграла. Методи інтегрування.»
Модуль КЗН-02. ПР.О.03.07 Невизначений інтеграл.
Дисципліна: «Математичний аналіз»
Розглянуто та схвалено на засіданні циклової комісії інформаційних технологій та прикладної математики.
Протокол № ____ від _______20__ р.
Голова циклової комісії ПМ Велікодна О. В.
|
Розробив викладач Велікодна О. В.
|
ПЛАН ЗАНЯТТЯ
Дата: курс: ІІI
Викладач: Велікодна Ольга Володимирівна.
Тема: Первісна та невизначений інтеграл. Основні властивості інтеграла. Методи інтегрування.
Мета:
-
Дидактична: навчитися обчислювати первісну, володіти методами інтегрування, знаходити первісну раціональних функцій, трансцендентних та ірраціональних функцій.
-
Виховна: виховувати професійно спрямовану особистість, здатну чітко та логічно висловлювати та доводити свої думки.
-
Методична: вдосконалювати методику проведення лекції з використанням методики пошукової технології.
Тип: лекція
Вид: лекція – дослідження.
Методи та форми проведення заняття: словесні, наглядні, проблемно – пошукові.
Науково-методичне забезпечення:
-
Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа: Учебник. Для студентов университетов и вузов. В 3 т. - М.: Высшая школа,1998.
-
Кудрявцев Л.Д. Сборник задач по математическому анализу: Учебник для вузов. В 3 т. - М.: Наука. Гл. ред. физ. - мат. лит.,1989.
-
Берман Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа: Учеб. пособие для вузов. - М.: Наука. Гл. ред. физ. - мат. лит.,1975.
-
Марон А. И. Дифференциальное и интегральное исчисление функции одной переменной в примерах и задачах. – М.: Наука, 1973.
Між предметні зв’язки:
-
Дисципліни, що забезпечують: елементарна математика
-
Дисципліни, що забезпечуються: лінійна алгебра та аналітична геометрія, дискретна математика, диференціальні рівняння, рівняння математичної фізики, чисельні методи, методи оптимізації, теорія функцій комплексної змінної.
Обладнання: зошити, ручки, крейда, дошка.
ХІД ЗАНЯТТЯ
-
Організаційна частина:
-
відсутні;
-
підготовка до заняття;
-
перевірка д/з.
-
Актуалізація опорних знань: таблиця похідних, таблиця інтегралів основних елементарних функцій.
-
Вивчення нового матеріалу:
-
Тема лекції: Первісна та невизначений інтеграл. Основні властивості інтеграла. Методи інтегрування.
-
Мотивація вивчення матеріалу: основний математичний апарат – невизначений інтеграл - дає змогу розв’язувати прикладні задачі в різних галузях науки та техніки.
-
План вивчення нового матеріалу: надається в конспекті лекції.
-
Виклад нового матеріалу. Конспект лекції надається.
-
Закріплення нового матеріалу.
-
Підсумки заняття.
-
Домашнє завдання:
Конспект лекції № 2.
Тема: Первісна та невизначений інтеграл. Основні властивості інтеграла. Методи інтегрування.
План лекції № 2.
-
Основні властивості невизначеного інтеграла.
-
Формула заміни змінного.
-
Формула інтегрування за частинами.
-
Нехай всі функції, що розглядаються визначені на фіксованому проміжку Δ. Розглянемо властивості інтеграла, що послідкують з його визначення.
-
Якщо функція F диференційована на проміжку Δ, то ∫dF(х) = F(х) + С, тобто ∫F′(х)dх = F(х) + С.
-
Нехай функція ƒ має первісну на проміжку Δ; тоді для всіх х Δ має місце рівність d(∫ƒ(х)dх) = ƒ(х)dх.
-
Якщо функції ƒ та ƒ мають первісні на проміжку Δ, то й функція ƒ + ƒ має первісну на цьому проміжку, причому ∫(ƒ(х) + ƒ(х))dх = ∫ƒ(х)dх + ∫ƒ(х)dх.
-
Якщо функція ƒ має первісну на проміжку Δ та k – стала, то функція kƒ також має на Δ первісну та при k ≠ 0 вірна рівність ∫kƒ(х)dх = k∫ƒ(х)dх.
-
Наслідки. Якщо функції ƒ та ƒ мають первісні на проміжку Δ, а λ та λ - дійсні числа, причому λ²+λ² > 0, то функція λƒ + λƒ також має первісну на проміжку Δ, причому ∫(λƒ(х) + λƒ(х)dх) = λ∫ƒ(х)dх + λ∫ƒ(х)dх.
-
-
Теорема.(формула інтегрування підстановкою). Нехай функції ƒ(x) та g(t) визначені відповідно на проміжках Δта Δ, причому g(Δ) Δ. Якщо функція ƒ має на Δ первісну F(х), тобто ∫ƒ(х)dх = F(х) + С, а функція g диференційована на Δ, то функція ƒ(g(t))g′(t) має на Δ первісну F(g(t)) та ∫ƒ(g(t))g′(t)dt = ∫ƒ(х)dx|.
Обчислення інтегралу виду можливо зробити підстановкою u = φ(х): .
Часто формулу ∫ƒ(g(t))g′(t)dt = ∫ƒ(х)dx| використовують у зворотному напрямку, тобто справа на ліво. Маємо ∫ƒ(х)dx = ∫ƒ(g(t))g′(t)dt|; формула називається формулою інтегрування заміною змінної.
Приклад.
Обчислити інтеграл . Для цього зробимо заміну x = sint, -π/2 < t < π/2.
Маємо:
=.
-
Теорема.(формула інтегрування за частинами.) Якщо функції u(х) та v(х) диференційовані на деякому проміжку та на ньому існує інтеграл ∫vdu, то на ньому існує інтеграл ∫udv, причому ∫udv = uv - ∫vdu.
Приклад.
Обчислити інтеграл . Для обчислення інтегралу положимо: u = lnх, dv = хdх, тоді du = , v = . маємо:
.
Метод безпосереднього інтегрування
Метод інтегрування, при якому даний інтеграл шляхом тотожних перетворень підінтегральної функції (або виразу) і застосування властивостей невизначеного інтеграла зводиться до одного або декількох табличних інтегралів, називається безпосереднім інтегруванням.
При зведенні даного інтеграла до табличного часто використовуються наступні перетворення диференціала (операція «приведення під знак диференціала»):
, – число
, – число
,
,
,
,
.
Взагалі, , ця формула дуже часто використовується при обчисленні інтегралів.
Приклади:
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
10)
11)
12)
13)
.
Метод інтегрування підстановкою (заміна змінної)
Інтегрування методом підстановки полягає у введенні нової змінної інтегрування (тобто підстановкою). При цьому заданий інтеграл приводиться до нового інтеграла, який є табличним або таким, що зводиться до нього.
Нехай потрібно обчислити інтеграл . Зробимо підстановку , де – функція, що має неперервну похідну.
Тоді і на підставі властивості інваріантності формули інтеграції невизначеного інтеграла отримуємо формулу інтегрування підстановкою
(2.1)
Формула (2.1) також називається формулою заміни змінних в невизначеному інтегралі. Після знаходження інтеграла правої частини цієї рівності слід перейти від нової змінної інтеграції назад до змінної .
Іноді доцільно підбирати підстановку у вигляді , тоді , де . Іншими словами, формулу (2.1) можна застосовувати справа наліво.
Приклад 1. Знайти .
Покладемо , тоді . Отже .
Приклад 2. Знайти .
Нехай , тоді , . Тому
.
Приклад 3. Отримати формулу .
Позначимо (підстановка Ейлера). Тоді , тобто .
Звідси
.
Отже
.
Приклад 4. Знайти .
Нехай . Тоді , . Маємо:
.
Приклад 5. Знайти .
Позначимо . Тоді , . Отже
.
Метод інтегрування частинами
Нехай і - функція, що має неперервні похідні. Тоді . Проінтегрувавши цю рівність, отримаємо
або
Отримана формула називається формулою інтегрування частинами. Вона дає можливість звести обчислення інтеграла до обчислення інтеграла , який може виявитися істотно простішим за початковий.
Інтегрування частинами полягає в тому, що підінтегральний вираз заданого інтеграла представляється яким-небудь чином у вигляді добутку двох співмножників і (це, як правило, можна здійснити декількома способами); потім, після знаходження і використовується формула інтегрування частинами. Іноді цю формулу потрібно використовувати кілька разів.
Вкажемо деякі типи інтегралів, які зручно обчислювати методом інтегрування частинами.
-
Інтеграл вигляду , де - многочлен, – число. Зручно покласти , а за позначити решту співмножників.
-
Інтеграли вигляду . Зручно покласти , а за позначити решту співмножників.
-
Інтеграли вигляду, де і – числа. За можна прийняти функцію .
Приклад 6. Знайти .
Нехай . Отже, по формулі інтегрування частинами:
.
Приклад 7. Знайти .
Нехай . Тому
.
Приклад 8. Знайти .
Нехай . Тому
. (2.2)
Для обчислення інтеграла знову застосуємо метод інтегрування частинами: . Значить
. (2.3)
Тому .
Приклад 9. Знайти .
Нехай . Тому
.