dinamics time series / ГЛ8

Ориентируясь на критерий Акаике, наилучшей следует признать модель H*(1) (тренд в данных, в CE включаются константа и линейный тренд; ранг коинтеграции равен 1) – для нее значение критерия минимально (равно 7.257911). Та же модель выбирается и критерием Шварца (для нее значение критерия равно 7.368089).

Расшифровка процесса получения оценки ранга коинтеграции в ситуации, соответствующей четвертому столбцу:

Test assumption: Linear deterministic trend in the data

Series: Y4 X4

Lags interval: 1 to 1

*(**) denotes rejection of the hypothesis at 5%(1%) significance level L.R. test indicates 1 cointegrating equation(s) at 5% significance level

Гипотеза H0: r = 0 отвергается в пользу альтернативы HA: r > 0. Гипотеза H0: r = 1 не отвергается в пользу альтернативы HA: r > 1. Оцененное значение ранга коинтеграции принимается равным 1, что соответствует истинному положению вещей.

DGP5 : yt = 5 + 0.2 t + 2 xt + εt ,

xt = 0.2 + 0.01 t + xt – 1 + νt .

Смоделированная реализация имеет вид

www.iet.ru/mipt/2/text/curs_econometrics.htm

Сводка статистик для определения ранга коинтеграции по этим смоделированным данным:

Series: Y5 X5 Lags interval: 1 to 1

Ориентируясь на критерий Акаике, наилучшей следует признать модель H(1) (квадратичный тренд в данных, в CE включаются константа и линейный тренд; ранг коинтеграции равен 1) – для нее значение критерия минимально (равно 7.259633). Та же модель выбирается и критерием Шварца (для нее значение критерия равно

7.379827).

Расшифровка процесса получения оценки ранга коинтеграции в ситуации, соответствующей пятому столбцу:

Test assumption: Quadratic deterministic trend in the data

Series: Y5 X5

Lags interval: 1 to 1

www.iet.ru/mipt/2/text/curs_econometrics.htm

Поэтому мы можем остановиться на статистической модели в виде VAR(1) для уровней. Соответствующая ей модель коррекции ошибок не содержит в правых частях уравнений запаздывающих разностей, и это следует учитывать при оценивании ранга коинтеграции.

Сводка статистик для определения ранга коинтеграции по смоделированным данным:

Series: L234 L23 WALK2 WALK3 WALK4 Lags interval: No lags

В рамках каждого столбца цепочки критериев выводят на ранг 2. Оба информационных критерия (Акаике и Шварца) указывают на вариант “нет тренда в данных, в

www.iet.ru/mipt/2/text/curs_econometrics.htm

коинтеграционное соотношение не включаются ни константа ни тренд; ранг коинтеграции равен 2”.

Приведем теперь сводку статистик для определения ранга коинтеграции тройки рядов

W2 t , W3 t и W4 t .

Series: WALK2 WALK3 WALK4 Lags interval: No lags

Здесь в рамках каждого столбца цепочки критериев выводят на ранг 0, что соответствует DGP. Критерий Акаике указывает на варианты с трендом в данных, тогда как критерий Шварца останавливается на вариантах без тренда в данных, что и соответствует DGP.

8.2. Оценивание модели коррекции ошибок

После оценивания ранга коинтеграции в рамках процедуры Йохансена имеется возможность получения (при выбранном ранге коинтеграции r ) оценок максимального правдоподобия для r линейно независимых коинтегрирующих векторов. Реализация такого оценивания в пакете EVIEWS для группы из 5 рядов, рассмотренной в предыдущем примере (r = 2), дает следующие результаты.

Test assumption: No deterministic trend in the data Series: L234 L23 WALK2 WALK3 WALK4

Lags interval: No lags

Unnormalized Cointegrating Coefficients:

Каждая строка этой таблицы содержит компоненты одного из возможных коинтегрирующих векторов. Всего, таким образом, предлагается к рассмотрению 5 вариантов коинтегрирующих векторов, причем эти пять векторов являются линейно

www.iet.ru/mipt/2/text/curs_econometrics.htm

независимыми. Первая из 5 строк содержит коэффициенты линейной комбинации указанных рядов, “наиболее похожей на стационарную”. Вторая строка соответствует линейной комбинации, занимающей в этом отношении второе место, и т.д.

Если бы мы оценили ранг коинтеграции как r = 1, то тогда в качестве оценки коинтегрирующего вектора можно было взять вектор с компонентами, приведенными в первой строке, т.е. вектор

(-0.079261, -0.198108, 0.236127, 0.178603, 0.159704)T ,

или любой пропорциональный ему вектор. Выбирая из этого множества вектор, нормализованный на первую компоненту, т.е. вектор, полученный из указанного делением всех его компонент на первую компоненту, мы получили бы вектор

(1, 2.499451, – 2.979119, – 2.25363, – 2.014916)T .

Поскольку ранг коинтеграции был оценен как r = 2, то в качестве оценок двух линейно независимых коинтегрирующих векторов можно взять векторы с компонентами, приведенными в первых двух строках, т.е. векторы

β*(1) = (– 0.079261, – 0.198108, 0.236127, 0.178603, 0.159704)T

и

β*(2) = (– 0.202709, 0.079211, 0.022787, 0.161363, 0.406370)T.

Дело, однако, в том, что помимо этих двух векторов в качестве коинтегрирующих векторов с тем же успехом могут выступать и любые линейные комбинации этих двух векторов. И в реальных экономических задачах важно, чтобы выбранная в итоге из этого множества пара векторов выражала осмысленные с экономической точки зрения (экономической теории) долговременные связи между рассматриваемыми переменными (например, паритет покупательной способности, спрос на деньги и т.п.). Это, в свою очередь, требует наложения на коинтегрирующие векторы соответствующих идентифицирующих ограничений, позволяющих различать эти векторы, выделяя их из всего множества линейных комбинаций базисных векторов.

Если ранг коинтеграции равен r > 1, то для различения коинтегрирующих векторов достаточно наложить на каждый из коинтегрирующих векторов q = r – 1 линейных ограничений (причем эти линейные ограничения сами должны быть линейно независимыми – иначе различения не получится). Это дает возможность определить каждый из коинтегрирующих векторов с точностью до коэффициента пропорциональности, а затем получить единственный набор коинтегрирующих векторов, нормируя компоненты каждого вектора на какую-либо из его (ненулевых) компонент.

В нашем примере r = 2, так что на каждый из двух коинтегрирующих векторов достаточно наложить по одному линейному ограничению, например, приравнять одну из компонент коинтегрирующего вектора нулю. При этом зануляемые компоненты в двух векторах должны быть различными. Выбор зануляемых компонент на практике определяется, исходя из представлений той или иной экономической теории.

Имитируя такой выбор, мы будем исходить из наличия информации о том, что “в соответствии с некоторой экономической теорией”, между переменными L234t , L23t , W2 t , W3 t и W4 t должны существовать две долговременные связи, одна из которых связывает переменные L234t , W2 t, W3 t , W4 t и не включает переменную L23t , а другая связывает переменные L23t , W2 t, W3 t , W4 t и не включает переменную L234t . Если при этом из той же “экономической теории” следует также, что в первой долговременной связи “объясняемой” переменной является L234t , а во второй – переменная L23t , то, нормируя первый коинтегрирующий вектор на первую компоненту, а второй коинтегрирующий вектор – на вторую компоненту, мы представляем эти коинтегрирующие векторы в виде

www.iet.ru/mipt/2/text/curs_econometrics.htm

ecm2 -0.033474 -1.015363 -0.001894 0.010505 -0.024292 (0.10788) (0.06455) (0.04164) (0.04380) (0.04148) (-0.31028) (-15.7298) (-0.04549) (0.23985) (-0.58571)

Согласно этой таблице оцененная ECM имеет вид

∆(L234)t = – 0.971220 (ecm1)t – 1 – 0.033474 (ecm2)t – 1 + e1t , ∆(L23)t = – 0.051197 (ecm1)t – 1 – 1.015363 (ecm2)t – 1 + e2t , ∆(W2)t = – 0.040351 (ecm1)t – 1 – 0.001894 (ecm2)t – 1 + e3t , ∆(W3)t = 0.005400 (ecm1)t – 1 + 0.010505 (ecm2)t – 1 + e4t , ∆(W4)t = 0.031996 (ecm1)t – 1 – 0.024292 (ecm2)t – 1 + e5t ,

где

(ecm1)t = L234t – 0.499995W2 t – 0.993065W3 t – 2.006077W4 t , (ecm2)t = L23t – 0.991867W2 t – 0.504230W3 t – 0.003537W4 t .

В рамках процедуры Йохансена имеется также возможность проверки гипотез о выполнении дополнительных (“сверхидентифицирующих”) ограничений на коинтегрирующие векторы, например, гипотезы

H0: β25 = 0

о занулении последней компоненты второго коинтегрирующего вектора, или гипотезы

H0: α12 = α21 = α31 = α32 = α41= α42= α51= α52 = 0,

означающей отсутствие составляющей (ecm1)t – 1 во всех уравнениях кроме первого и отсутствие составляющей (ecm2)t – 1 во всех уравнениях кроме второго (что и соответствует использованному процессу порождения данных).

Однако процедура проверки выполнения таких ограничений на коинтегрирующие векторы, как и процедура проверки выполнения тех или иных линейных ограничений на элементы матрицы α корректирующих коэффициентов, не встроена в пакет EVIEWS и требует привлечения для ее реализации других специализированных пакетов статистического анализа данных. (Напомним, что распределения оценок коэффициентов коинтегрирующих векторов и элементов матрицы α не являются асимптотически нормальными.) Проведение детального коинтеграционного анализа нестационарных рядов возможно с использованием макропакета CATS (Cointegration Analysis of Time Series), оформленного в виде процедуры для пакета RATS (Regression Analysis of Time Series). Краткое описание соответствующих процедур с подробными примерами анализа экономических данных можно найти, например, в книге [Patterson (2000)].

Завершая описание процедуры Йохансена, следует обратить особое внимание на следующие обстоятельства.

•Процедура Йохансена исходит из предположения o гауссовости процесса белого шума в VAR модели.

•Процедура Йохансена чувствительна к выбору порядка p модели VAR.

•Используемые критические значения статистик λmax и λtrace – асимптотические, так что при малом количестве наблюдений к полученным выводам следует относиться достаточно осторожно.

www.iet.ru/mipt/2/text/curs_econometrics.htm

В связи с последним обстоятельством, при работе с умеренным количеством наблюдений рекомендуется корректировать наблюдаемые значения статистик λmax и λtrace , умножая их на (T – Np) ⁄ T (“коррекция на число степеней свободы”).

Все эти замечания означают, что при коинтеграционном анализе реальных экономических (а не смоделированных) данных интерпретация полученных результатов может оказаться довольно затруднительной.

www.iet.ru/mipt/2/text/curs_econometrics.htm