Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Донецкий национальный университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

attachments_24-09-2012_18-32-26 / practicum_algebra

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

13.04.2015

Размер:

215.92 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 33

	1	14		4	6 5		1 2		1	32		2	40
X			3 22		7	1	1	3			56	11	60
														.
	80								80
			19	6	9	7	2	0			152	43	20

Проверка					3		0 2 32						2 40
				1	3		0 2 32						2 40
A X				1		2	3 1		56			11		60

				80
				80		5	2 4	152				43
						5	2 4	152				43		20		.
		400				80	160	5			1		2			.
	1	400				80	160	5			1		2
	1													B
			80			80	240		1 1				3
	80		80			80	240		1 1				3
	80		560			160			7		2
			560			160	0		7		2		0
										4		5		3	3
										4		5		3	3
Пример 15. Вычислить определитель:										2		1		0	3		.
Пример 15. Вычислить определитель:										5		2		1	3		.
										6			2	1	5

Попытаемся в первом столбце получить три нуля. Для этого
от четвертой строки отнимем вторую, умноженную на 3;
от	третьей строки отнимем вторую, умноженную на 2,5;
от	первой строки отнимем вторую, умноженную на 2.

	0	3	3	9
	2	1	0	3
Получим:	0	0.5	1	10.5 .

0 5 1 14 Теперь этот определитель разложим по элементам первого столбца:

	0	3	3	9		3	3	9		3	3		9


	2	1	0	3
	2	1	0	3	2 ( 1)2 1	0.5	1	10.5	2	0.5	1		10.5
	0	0.5	1	10.5		5	1	14		5	1		14
	0	5	1	14		5	1	14		5	1		14
	0	5	1	14
		2( 42 157.5 4.5 45 31.5 21) 27.
											4		5	3	3
											4		5	3	3
Пример 16.Вычислить тот же самый определитель:											2	1		0	3	, разлагая
Пример 16.Вычислить тот же самый определитель:											5		2	1	3	, разлагая
											6		2	1	5

его по элементам третьего столбца.

Отнимем от первой строки третью, умноженную на три. Прибавим к четвертой строке третью. Получим определитель:

11	1	0	6
2	1	0	3
5	2	1	3 .

11 0 0 8 Разложим определитель по элементам третьего столбца. Получим:

			11	1	0	6			11	1		6		11			1	6


			2	1	0	3
			2	1	0	3	1 ( 1)3 3		2	1		3		2			1	3
			5	2	1	3			11	0		8			11		0	8
			11	0	0	8			11	0		8			11		0	8
			11	0	0	8
		88 33 66 16 27.													1		2	3	1


		Пример 17. Вычислить определитель:													2		4	0	5	.
		Пример 17. Вычислить определитель:													3		6	1	3	.
															0		8	20	4
		Прибавим к третьей строке первую, умноженную на 3, а ко второй первую,
		умноженную на -2. Получим:
	1	2		3	1			0	6	7		0	6		7


	0	0		6	7
	0	0		6	7	1 ( 1)1 1		12 10		0	12		10 0				.
	0 12 10 0					1 ( 1)1 1		12 10		0	12		10 0				.
	0	8		20	4			8	20	4		8	20		4
	0	8		20	4
1680 560 288 1408
																1	4	5	7
																1	4	5	7
		Пример 18. Вычислить определитель:														2	1	0	3		.
		Пример 18. Вычислить определитель:														4	2	1	3		.
																7	1	1	2

Чтобы получить в первом столбце три нуля, проделаем следующие операции: от четвертой строки отнимем первую, умноженную на 7; от третьей строки отнимем первую, умноженную на 4;

от второй строки отнимем первую, умноженную на 2. Получим:

1	4	5	7		9	10	17	9	10	17


0	9	10	17
				1 ( 1)1 1	18	21	25	18	21	25
0	18	21	25
0	27	34	47		27	34	47	27	34	47

	1	10	17
	1	10	17
9	2	21	25	9( 987 750 1156 1071 850 940) 28 .
	3	34	47

Решение систем линейных уравнений методом Гаусса.

Системы линейных уравнений с четырьмя неизвестными и больше решаются методом Гаусса (методом исключения).

x 2x		2	x	3	x	4	9;
	1	2		3		4
2x1 x2 x3 x4 4;
Пусть дана система линейных уравнений: 3x 3x			4x 2x 1;
	1	2			3		4
x 3x 3x 3x 1.
	1		2		3		4

Прибавим ко второму уравнению первое, умноженное на (-2).

	x 2x				2		x		3	x	4	9;
		1			2				3		4
Получим:			5x2				3x3 3x4						22;
Получим:	3x			3x				4x 2x						1;
		1				2				3		4
	x 3x 3x 3x 1.
			1				2			3		4

В результате из второго уравнения исключено неизвестное x1.

Теперь к третьему уравнению полученной системы прибавим первое, умноженное на (-3). Получим:

x 2x			2	x	3	x		4	9;
	1
		5x2		3x3			3x4			22;
		3x2		7 x3			5x4			28;

x 3x 3x 3x 1.
		1		2			3			4

Уже и из третьего уравнения исключено неизвестное x1.

К четвертому уравнению полученной системы прибавим первое. Получим:

x 2x			2	x	3	x		4	9;
	1
		5x2		3x3			3x4			22;
		3x2		7 x3			5x4			28;

		x2		2x3 4 x4 8.

Здесь неизвестное x1 осталось только в первом уравнении. Поменяем местами второе и четвертое уравнения:

x 2x			2	x	3	x	4	9;
	1
		x2 2 x3 4 x4 8;
		3x2 7x3				5›4 28;

		5x2		3x3 3x4 22.

Теперь в полученной системе к третьему уравнению прибавим второе, умноженное на (-3), а к четвертому второе, умноженное на (-5). Получим:

x 2x			2	x	3	x	4	9;
	1		2		3		4
		x2 2x3 4 x4 8;
				x3 17 x4				52;
				x3 17 x4				52;
			7 x3			23 x4 62.
			7 x3			23 x4 62.

В этой системе неизвестное x2 исключено из третьего и четвертого уравне-

ний.

Теперь в полученной системе к четвертому уравнению прибавим третье, умноженное на 7. Получим:

x 2x			2	x	3	x	4	9;
	1		2		3		4
		x2 2 x3 4 x4 8;
				x3 17 x4 52;
				x3 17 x4 52;
					142 x4 426.
					142 x4 426.

Теперь из последнего уравнения, где осталось лишь неизвестное x4 , нахо-

дим: x4 426 3.142

Поднимаясь от четвертого уравнения к третьему, находим:

x3 17x4 52; т.е. x3	17 3 52 51 52 1.
Далее, из второго уравнения получаем
x2 2x3 4x4 8;	x2 2( 1) 4 3 8 2 12 8 2.
Наконец, первое уравнение дает:
x1 9 2x2 x3 x4 ;	x1 9 4 1 3 1..

Ответ: x1 1; x2 2; x3 1; x4 3.

Для проверки подставим полученные значения в каждое уравнение исход-

1 2 2 1 3 9;

2 2 1 3 4;
ной системы. Получим:
3 3 2 4 1			2 3 1;
		3 3 1.
-1-3 2 3	-1	3 3 1.
Решение верно.	3x1 2x2 x3 x4 6;
	3x1 2x2 x3 x4 6;
			3x2 2x3 x4					21;
Рассмотрим еще одну систему:	7x1		3x2 2x3 x4					21;
Рассмотрим еще одну систему:	5x		x	6x		4x		8;
		1	2		3		4
	6x 5x			2	3x	3	2x	4	5.
		1		2		3		4

	3		2	1	1	6

		7	3	2	1	21
Решение. Запишем расширенную матрицу:							.
		5	1	6	4	8

		6	5	3	2	5

Для упрощения расчетов поменяем местами первую и вторую строки:

7		3	2	1	21

	3	2	1	1	6
						.
	5	1	6	4	8

	6	5	3	2	5

Теперь преобразуем матрицу так, чтобы в первом столбце получить все нули, кроме верхнего элемента. Для этого сначала вычтем из первой строки четвертую, а из третьей строки вторую.

	1		2	5	1	16

		3	2	1	1	6
Получим:							.
		2	3	5	3	2

		6	5	3	2	5

Затем вычтем из четвертой строки вторую, умноженную на 2.

	1		2	5	1	16

		3	2	1	1	6
Получим:							.
		2	3	5	3	2

		0	1	1	4	7

Прибавим теперь ко второй строке первую, умноженную на (-3), а к третьей строке первую, умноженную на (-2).

	1		2	5	1	16

		0	8	16	2	42
Получим:							.
		0	1	15	1	30

		0	1	1	4	7

Это значит, что из трех последних уравнений исключено неизвестное x1.

	1		2	5	1	16

		0	1	1	4	7
Поменяем местами вторую и четвертую строки:							.
		0	1	15	1	30

		0	8	16	2	42

Преобразуем матрицу так, чтобы во втором столбце получить внизу два нуля. Для этого от третьей строки отнимем вторую, а к четвертой строке приба-

вим вторую, умноженную на (-8).

	1		2	5	1	16

		0	1	1	4	7
Получим:							.
		0	0	14	5	23

		0	0	8	30	14

Теперь из двух последних уравнений исключено неизвестное x2 . Прибавим теперь к третьей строке четвертую, умноженную на (-2).

	1		2	5	1	16

		0	1	1	4	7
Получим:							.
		0	0	2	55	51

		0	0	8	30	14

Наконец, к четвертой строке прибавим третью, умноженную на 4.

	1		2	5	1	16

		0	1	1	4	7
Получим:							.
		0	0	2	55	51

		0	0	0	190	190

Теперь в последнем уравнении осталось лишь неизвестное x4 :

190x4 190; т.е. x4 1. Поднимаясь выше, из третьей строки находим:

2x3	55x4 51;	2x3 55x4 51 55 51 4;
2x3	4;	x3 2.
Из второй строки получаем: x2 x3 4x4			7;

x2 x3 4x4 7 2 4 7 1.

Из первой строки получаем: x1 2x2 5x3 x4 16; x1 2x2 5x3 x4 16;

x1 2 10 1 16 3. Ответ: x1 3; x2 1; x3 2; x4 1.

Метод Жордана-Гaусса.

Этот метод состоит в том, чтобы матрицу системы преобразовать в единичную.

Возьмем предыдущий пример. Там мы получили матрицу:

1		2	5	1	16

	0	1	1	4	7
						.
	0	0	2	55	51

	0	0	0	190	190

Разделим элементы четвертой строки на (-190). Получим:

1		2	5	1	16

	0	1	1	4	7
						.
	0	0	2	55	51

	0	0	0	1	1

Теперь попробуем получить в четвертом столбце три нуля сверху. Для этого сначала умножим четвертую строку на 55 и прибавим к третьей строке. Получим:

1		2	5	1	16

	0	1	1	4	7
						.
	0	0	2	0	4

	0	0	0	1	1

Затем ко второй строке прибавим четвертую, умноженную на 4.

	1		2	5	1	16

		0	1	1	0	3
Получим:							.
		0	0	2	0	4

		0	0	0	1	1

Наконец, от первой строки отнимем четвертую. Получим:

1		2	5	0	15

	0	1	1	0	3
						.
	0	0	2	0	4

	0	0	0	1	1

Разделим теперь на 2 все элементы 3-ей строки:

1		2	5	0	15

	0	1	1	0	3
						.
	0	0	1	0	2

	0	0	0	1	1

Теперь прейдем к третьему столбцу и попробуем получить там два нуля сверху. Для этого ко второй строке прибавим третью, а к первой строке при-

бавим третью, умноженную на 5 :

1		2	0	0	5

	0	1	0	0	1

	0	0	1	0	2
	0	0	0	1	1

Осталось во втором столбце получить 0 вместо 2. Для этого к первой строке прибавим удвоенную вторую.

	1		0	0	0	3

		0	1	0	0	1
Получим:							.
		0	0	1	0	2

		0	0	0	1	1

Отсюда видим, что: x1 3; x2 1; x3 2; x4 1.

Приведем еще один важный пример. Решить методом Гаусса систему:

2x1 3x2 x3 8x4 7;
				2x3			7x4 1;
2x1 x2				2x3			7x4 1;
4x 4x				2	x	3	3x		4	3.
		1		2		3			4
Здесь три уравнения и четыре неизвестных.
											2		3	1 8	7
											2		3	1 8	7
Запишем расширенную матрицу:												3	1	2 7	1
Запишем расширенную матрицу:												3	1	2 7	1	.
												4	4	1 3	3
Переставим первую и вторую строки:												4	4	1 3	3
Переставим первую и вторую строки:
3		1		2 7			1
3		1		2 7			1
	2	3		1 8			7
	2	3		1 8			7	.
	4	4	1 3				3
	4	4	1 3				3

	1		4	1	1	8

Отнимем от первой строки вторую:		2	3	1	8	7
							.
		4	4	1 3		3

Отнимем от второй строки первую, умноженную на 2.

От третьей строки отнимем первую, умноженную на 4. Получаем:

1		4	1	1	8

	0	11	1 10		23
						.
	0	12	5 7		29

						1		4	1	1	8
						1		4	1	1	8
Отнимем от второй строки третью:							0	1	4 3		6
Отнимем от второй строки третью:							0	1	4 3		6	.
							0	12	5 7		29
							0	12	5 7		29
Прибавим к третьей строке вторую, умноженную на 12. Получим:
1		4	1	1	8
1		4	1	1	8
	0	1	4	3
	0	1	4	3	6 .
	0	0	43
	0	0	43	43	43
				43	43

					1		4	1 1	8
					1		4	1 1	8
Разделим элементы третьей строки на 43. Получим:						0	1	4 3	6 .
						0	0	1 1
						0	0	1 1	1
Из третьей строки можем выразить неизвестное x3						через x4 :
	x3 x4	1;
	x3 x4	1.
Из второй строки:
	x2 4x3 3x4 6;
	x2 4(x4 1) 3x4 6;
	x2 4x4 4 3x4 6;
	x2 2 x4 .
Из первой строки:
	x1 4x2 x3 x4 8;
	x1 8 4x2 x3 x4 8 4(2 x4 ) (x4				1) x4
	8 8 4x4 x4 1 x4 2x4 1.
Ответ: x1 2x4 1;			x2 2 x4 ;	x3 x4 1;	x4 вспомогательная неизвест-
ная. Если, например,			x4 0 , то	x1 1 ,	x2 2 ,		x3 1, и			набор чисел
1 ,2	,1 ,0	– это одно из решений данной системы. Полагая x4								1, получим
x1 1	, x2 1 , x3 2, т.е. набор чисел 1				,1 ,2 ,1	тоже является решением

системы. Таким образом, данная система имеет бесчисленное множество решений.

<<< < Предыдущая 1 23 / 33

Соседние файлы в папке attachments_24-09-2012_18-32-26

#
13.04.2015215.92 Кб13practicum_algebra.pdf
#
13.04.2015530.65 Кб14practicum_lim.pdf
#
13.04.2015477.6 Кб15АНГ+ЛА.pdf