Masharov_KAN

¹мо arg(4z=i) = ' =2, ' 2 ( =4; . Але враховуючи, що > 0, треба

ìàлювати лише множину < '

, ' 2 [ =2; (внутрiшнiсть спiралi)

2.6 Контрольнi запитання2

а завдання

êî

I

Дайте виз ачення наступнèì

поняттям, наведiть

плексних ч

ñåë. 6.

омплекомплексного числа,

головнеприклади:з чення ар-

1.

íе число в ал ебричнiй ормi. Дiйсна т

уявна

.

2. iвнiстьКомплекомплексних чисел. 3. Додавання т

множен я

омплекснихчастини

сел. 4. Спряжен , модуль к

сного

числа. 5. Вiднiма ня

ò

дiлення

ãóìåíò . 7.

Триг ном тричнаАргумента пок

à

ова орми комплексного

числа

8.

Зображення

сних чисел

. 9. Пiднесення до степеня

11. Пiднесенняазникомплексного числа до рацiоплощинiального степеня.

ç öiëèì ïîê

. 10. Знаходженíязникоре я з натуральним показником.

II. Наведiть наступнi ормули, дайте ¨м пояснення:

1. Дiлення комплексних чисел в ал ебричнiй

. 2. Перехiд до три

гонометрично¨

à ïîê

ово¨ орми. 3. Множення

лення к

ñíèõ

чисел в

тригоном

тричнiй та показниковiй ормi. 4.

омплекомпле

ксних чисел до

степеняазникцiлим показником. 5. ЗнахормiджПiднесеннякореня нату-

рального степеня

омплексного числа.

пеня, знахдодженарактеризуйтеííÿ, .

геометричну iнтерпретацiю дiй з комплексними

III. Îõ

числами:

äàâà

вiднiмання, спряження, множення, пiднесення до сте-

IV. Нехай = 8+оренiв, = 2 3i. Знайдiть в

ебричнiй ормi значення

2 , z + , z , z , z= ,

2. Намалюйте всi чисала на C .

взявши в яко-

V.

Ç12âåäiòü,

до тригонометрично¨ (показниково¨)

z îðìè,= 6

5 +

z = 8

15i

z

= 3i,

z

1

z

2

z

= 4

стi аргумента його головне зна

числа

= 2 2i

= 4i 5

z

4

= sin(22 =13) + i i os(22÷=åííÿ,13)

15

z = z4

z3

=z4.

3

p

4

p

5

z

7

os( =9) + i s n( =9),

= sin(6 =7) os(6 =

8 = i 3,

z9

= 1 i 3

z10 = z6

z3,

z11

= 3 3i

sin(8 =11) + i os(8 =11)

z

1

8

2

= 1 os(24 =13) + i sin(24 =137),

Çâåäiòü àêîж числа z

13

17

11

12

9

16

, z до ал ебрично¨ îðìè.

VI.

Çíàéäiòü óñi

значення наступних коренiв та побудуйте ¨х на C :

p

p

10

17

p

p

p

3

3

1

1.

2

i.

3

4

1.

4.

6

8.

5.

2 2 3 i

.

6.

3 + 4i

.

7.

5 12i

.

VII. Намалюйте множини на C , якi заданi наступними умовами:

31

1j++2jizj +<

13.

= 5.

42

0j2<z Re(4iiz+)8<j >1.6.

5

(3

i)j > jz (i 1)j.

6 =3 < arg(z + 2 + 3i) < =4.

7

jzj = Re z + 2.

8.

Im(z + 1

2

i) > 3.

2

9.

Re(z =i) < 2.

0

Re (z )

< 5.

VIII. Знайдiть умови на z, що задають наступнi

множини на R2 C .

1

z + 1 3i)j 6 =3.

12. j(z 4 )=(z + 2)j > 2.

13. j arg(3iz)j 6 =3.

Намалюйте цi множини:

праворуч вiд прямо¨ x = 3.

1

, що знаходитьс

2

Ïiвплощина вiдносно прямо¨ y = 2 3x, що мiстить початок коор-

динат.

Вiдрiзок, що сполуч ¹ точки ( 1; 2) та (3; 1).

3

(2; 5), який мiстить

4

Êðóã

ðàäióñà

центром у

5

Пряма,найменшогояк прох дить

через

точки (2; 1)точцiа ( 1; 4).

точку (5; 1).

з вершиною в точцi ( 2; 1), сторони якого паралельнi до прямих

6

y = x

3Êóò y = x.

p

увазi, що множина A менша B, якщо A B)

7.

Найменша (ма¹ться

çîâíiøíiсть вiдкритого кругназ центром у точцi ( 4; 3), яка мiстить вiсь

абсцис

ç

ó

z = 2, директрисою яко¨ ¹ уявна вiсь.

8

9.

з окусом у

z = 2 + 2 , директрисою яко¨ ¹ бiсе-

ктриса друго¨Параболат четверто¨ координатних чвертей.

IX. Нехай z = re

i'

òî÷öi

0

0

arg(z ), використову-

, = re . Знайдiть jz j

ючи правила дiй з комплексними числами. Наведiть

геометричне пояснення

отриманим резуль атам.

ми, доведiть наступнi

X. Нехай ' =6 0 (mod 2 ). Використовуючи дi¨ з комплексними числа-

2.

sin ' + sin 2' +рiвностi:+ sin n' = sin (n + 1)'=2) sin(n'=2)= sin('=2).

1

0;5 + os ' + os 2' +

: : + os n' = 0;5 sin (n + 0;5) = sin(0;5 .

МНОЖИНИ ТОЧОК НА ОЗДIЛЗШИ3 ЕНIЙ КОМПЛЕКСНIЙ

3.1 Ñ åðà iìàíà

ПЛОЩИНI

3

з декартовими координатами ; ; розгля-

В евклiдовому просторi R

немо с еру S iз центром у точцi (0; 0; 1=2) радiуса 1=2:

2

+

2

+

2

= 0.

Площину = 0 приймемо за комплексну площину z, дiйсна вiсь яко¨ y = 0

спiвпада¹ з вiссю = 0, = 0, а уявна вiсь x = 0 з вiссю = 0, = 0.

Ç

P (0; 0; 1) проведемо промiнь, який перетина¹ с еру S у вiдмiн

нiй вiд точкиP точцi M( ; ; ). Точку перетину променя P M з комплексною

ïë

позначимо через z = x + iy. Точк

M

назива¹ться стереогра i-

÷íîщиноюпроекцi¹ю точки z на с еру S з полюсом P .

îì-

мiж точками с ери S з виколотим полюсомвза¹мноP т множиноючнусiх точок

Стереогра iчна проекцiя вст

îâëþ¹

днозна

âiäïîâiäíiñòü

плексно¨ площини z. Ма¹мо наступнi

ормули стереоãðà i÷но¨ проекцi¨:

=

x

2

;

=

y

2 ;

=

jzj2

2 :

(3.2)

1 + jzj

1 + jzj

1 + jzj

íà

Теорема 3.1. Стереогра iчна проекцiя спiвставля¹

z з олами на с ерi S, òà навпаки; прямi на площинi z з

колами площинiна с ер

S, ÿêi проходять ч р з

люс P , та навпа и.

= 1

поповнимо

озглянемо тепåр пособливе комплексне число z

к мплексну пл щину C

при¹днанням до не¨ ¹дино¨

íåñêiнченно вiддалено¨

âà¹òüñÿ ð зширеною комплексною пл щи .

множина C = C [ f1g нази-

î÷êи, що вiдп вiда¹ числу z = 1. Отр

Äîïîâнимо вiдповiднiсть, встановлеманау (3.2), спiвст

полюсу P

ñ åðè S

z = 1. Отримано вза¹мнооюднозначну

ìiæ S

C . Томуточкижну точку на S можна розглядати як зображвiдповiднiстьдповiдно¨

î÷êè íà C . Òàê

iнтерпретацiя комплексних чисел назива¹тьсавленням iнтерпре-

òàöi¹þ

iìàíà, à

S ñ åðîþ iìàíà.

3.2 Точки i множини

наступнi поняття та по

В комплексному аналiзi вик

значення. B

(z ) = fz

2 C : jz z j < Жg круговий

îêië

точки z

ðà-

дiуса Ж, що ¹ вiдкритим кругомористовуватимемоз центром точцi z

2 C

i ðàäióñîì Æ;

Æ

0

0

0

0

22

окiлB Ж (z0нескiнченно) = B Ж (z0)nfzвiддалено¨0g проколотийточки.окiлЯкщоточкипозначеннiz0; B Ж (1) =кругаfz 2CÆ: j=zj>1Ægàáî

z

0

= 0, то цi символи будемо опускати.

Точка z 2 E C

я iзольованою точкою множини E, якщо

9Æ > 0: B

0

(z ) \ E = ?назива¹тьс. Точк z

2 C

назива¹тьс

аничн ю

. ïðå

0

\E =6 ?. Точка z0

2 E íà-

дельной) точкою м ожини E, якщо 8Ж > 0 B 0 (z0

я внутрiшньою точк

множини E Ж C , якщо

9Æ > 0:

(ðîñB z ) .

зива¹тьсТочк z 2 C

назива¹ться

межовою

. граничной)

точкою множини

E,

Æ

0

0

Æ

0

якщо 8Ж > 0 B (z ) \ E =6 ? та B (росz ) n E =6 ?. Множина всiх меж вих

0

Æ

0

Æ 0

точок множини E назива¹ться ¨¨ межею i познача¹ться E. Межовi точки

множини, що

¹ ¨¨ граничними точками, ¹ ¨¨ iзольованими точками.

ДоповненнямCE = C n E. Зрозумiло, що C(CE) = E. Множина E назива¹

множини E до розширено¨ комплексно¨ площи

ва¹ться обмеженою, якщо 9B

E. Множина,

æíà òî÷ê

ÿêî¨

¨¨

ðiñi

, ÿêùî âîíà ìiстить усi сво¨ гранич i точки. Множина,назива¹тьсяк мiстивнуть

шньою точкою,

Æ

я замкне-

ÿ âiдкритою в C . Множина

сво¨ межовi точки,назива¹тьзàмкненою.ñ

Додаваííÿ äî

¨¨ граничних очок

ноюзива¹ться замиканням множини. Замик

ямножини

E позна÷à¹òüñ

E.

Таким

E = E \ CE. Множина E назива¹тьс

зв'язною,

ÿêùî

íå

можна знайти двi вiдкритi множини O танO , що

задовольняють

умовам:

E O чином,[ O E \ O \ O = ?, E \ O =6 ?, E \ O =6 ?.

1

2

1

2

íàñ

1

1

2

2

Якщо множина

Ëåìà

3.1. Справедли

упнi твердження. 1.

E замкнена, то CE

âiäêðè

а. 2. Якщо E вiдкрита, то CE

замкнена. 3. Перетин довiльно¨ кiлькостi замкнених множин ¹

-

ною замкненою. 4. Об'¹днання довiльно¨ кiлькостi вiдкритих

îæèí ¹

вiдкритою множиною. 5. Об'¹днання скiнчено¨ кiлькостi замкнеíмножи-

¹ замкненою множиною. 6. Перетин скiнчено¨ кiлькостi вiдкритих

множин ¹ вiдкритою

.

бластю,

çàì

àííÿ áëà

Вiдкрит зв'язнамножиноюжина назива¹ться

стi замкненою

областю. Множина E C

äîâiëüíi

äâi òî÷êè

ÿêî¨ ìîæíà

з'¹днати вiдрiзком, що лежить в цiй множинi,

назива¹ться опуклою. Мно-

жина, що склада¹ться з

днi¹¨ точки, вважа¹тьс

опуклою.

ìежi дано¨ областi назива¹тьсзв'язно¨порядком

зв'язностi цi¹¨ облаñòi. На розши-

Êî

K множини E назива¹тьс

ака зв'язна п дмножина цi¹¨

ножини,мпонентоющо iсну

iíøî¨

K

1

E :

K K

.

Êiëüêi ü êîìï íåíò

1

ðåíié

снiй площинi з

множина назива¹ться ко пактною на

C . Якщоомплекомпактна

1

âîíà

бмежена.

Покриттям Oмножи

E азиваютьточкакуó ñèñ åìó ìí æèí O = fO g,

ùî E S

O

. Якщо всi инам ожимкненамiститьO

âiäêðèòi, òî покриття O назива¹-

òüñÿ âiдкритим.

( ейне Бореля Лебега). Для компа тностi множини

Ëåìà 3.2

E C

необхiдно

достатньо, щоб з довiльного його вiдêритого покриття

можна було

âèäiëèòè

скi чене пiдпокриття.

Теорема 3.2

(принцип

Больцано Вей¹рштрасса). Якщо K

компакт на C , то 8fz

g1

K знайдеться z

0

гранична для fz

g1 .

3.3 Êðèâi

k

k=1

k

k=1

Неперервною кривою в C

назива¹ться мно

= fz(t) = x(t) +

iy(t): t 2 [ ; ; де дiйснi ункцi¨ x; y неперервнiжина[ ; g. Неперерв а кри-

а назива¹ться кривою

простою кривою), якщо вона

íå ìà¹

âнутрiшнiх точок самоперетину, тобт(або 8t

; t

2

2 [ ; , t

1

< t

2

) z(t

) =6 z(t

),

êðiì, ìîæå, t

=

t

= .

1

1

2

1

2

данова крива назива¹ться

, ÿêùî

z( ) = z( ). ЗамкненаЖорданаж данова крива роздiля¹ розширенузамкненоюомплексну

площину на двi областi: внутрiшню (що не мiстить точку z = 1, познача¹-

òüñÿ int )

зовнiшню (що мiстить точку z = 1).

жордан вiй кри-

Ïðè

змiнi параметра t вiд до або навпаки

âié òî÷ê

z(t) здiйсню¹ обхiд. Якщо пiд час обх ду замкнено¨ жорд но о¨

криво¨

область int залиша¹ться лiворуч, то

àêèé

напрям обходу

àçè à-

¹ться позитивним або додатним (в протилежному

випадку нег

тивним

аботой, що

).

ßêùî

розiмкнена, то позитивним

апрямом ввàжатиме-

iдповiда¹ зростанню параметра t. Додатíим напрямом обхода

межiвiд'¹мнимодноз 'язно¨ областi вважа¹ться той, для якого область залиша¹ться

лiворуч.

я гладкою (гладенькою), якщо

Жорданова крива

0

гладкоункцi¨

x; y 2 C

1

0

(t)

0

(t) =6 0 íà [ ; . Äëÿ

æ

([ ; ) i z

= x

(t) + iy

ено¨ жорданово¨ криво¨назива¹тьсiсну додатне число Ж

( ): 8z

0

2 8Æ 6 Æ

( )

)

æè à \ B

(z

)

0

0

Æ

я з двох точок. Для розiмкнено¨ глад-

замко¨ жор

0

аксклада¹тьсмножина скл

à¹òüñÿ ç

днi¹¨ або двох точок

ово¨ криво¨

Число Ж

( )

я стандартним раäióñîì,

âiäïîâiä๠êðèâié .

0

назива¹ться кусково-гладкою, якщо

[ ; ìî-

Æîðданова крива

óíêöiÿ z0

(t) неперервна,0

точках

t0k óíêöiÿ z

0(t) 0ма¹ лiву i праву

границi, причому z (t) 6= 0 на [ ; дiленняlim

z (t) 6= 0,

lim

z (t) 6= 0.

t!t

+0

t!t

0

k

k

неперервною

í

Множина E C , довiльнi двi точки яко¨ можна

¹ лiнiйно зв'язною. Обернене

дження взагалiз'¹днатине справедливим,

E,

я лiнiйно зв'язною. Множина, що склада¹ться з

д i¹¨ точки, вважназива¹ться лiнiйно зв'язною. Якщо множина

зв'язною, то

кривоюх чà викону¹ться, наприклад, для вiдктверитих множин.

3.4

я симетричними

ÿìî¨ àáî êîëà

,

Двi точкиСиметрiяz z

довiльне колоназиваютьспряма, що прох дить черезвiдноснопеz z ,

пендику

äîÿêùî. Ò ÷êè z ; z

1

2

прямо¨ l, якщо

z z ëÿðíi? l

¹ симетричними

лежать на

дному променi з

вiдносноом вiдносноz , добуток вiдстанейâiäðiçîêöèõ

òî÷îê

z1+z2

1

2

1

2

1

2

êè

2 l. Т чки z1; z2 ¹ симетричними

êîëà B R (z0), ÿêùî öi

äî z

äîðiâíþ¹

квадрату радiусапочаткола, тобто якщо (z

z ) (z z ) = R2.

2

0 3.5 Контрольнi запитання

0

1

0

2

0

. Дайте визначення наступним поняттям, наведiть приклади:

18. Iзольована точкiманамножини.019. ранична точка множини.

20. Внутрiшня

12. Ñ åðà

. 13. Стереогра iчна пр екцiя. 14. озширена

омпле-

сна п ощина. 15. Окiл точки z 2 C . 16. Проколотий окiл. 17 Окiл точки 1.

точка

.

1 Межова точка множини. 22. Межа множини. 23. Допов

íà ìíîæèíà. 27. Замикання множини. 28. Зâ'ÿçíà ìíî

. 29. Область.

åííÿ

ìíî

èíè.

24.

Обмежена множина. 25. Вiдкрита множина. 26. Замкне-

30. Замкнена область. 31. Опукла

íî

. 32. Компонентжинамножини. 33.

-

ядок зв'язностi множини. 34. Ко

пактна на C множина. 35. Покриття мПо

Жордана. 39. Замкнена

. 40.

Внутрiш iсть

криво¨. 41. ДодатнийКрива

жини. 36. Вiдкрите покриття

ìíîжижина. 37. Неперервна крива. 38.

-

ïðÿì

бх ду на замкненiй

ié.

2. Додатний напрям обхода межi одí

зв'язно¨ областi. 43. ладккривава.

44. Стандартний радiус кри о¨. 45. Кусково-

гладка крива. 46. Лiнiйно зв'язна множина. 47. Симетрiя

âiдносно кола.

48. Симетрiя вiдносно прямо¨.

II. Наведiть наступнi твердження, дайте ¨м по

i об'¹днання вiдкритих

множини. 8. Лемаяснення:йí Бореля (про

6. Çâ'ÿçîê

то¨ (замкнено¨)

з ¨¨ доповн

ям. 7. Перетин

ìåòðèчно¨ данiй вiдносноБольц(замкнених).

ïîê

ття). 9. Принцип

но Вей¹рштрасса. 10. Знаходжåння точки си-

ÎÇ

IË 4

ЧИСЛОВI ПОСЛIДОВНОСТI I ЯДИ

4.1 Послiдовностi

C

обмежена i ма¹ ¹дину граничну точку,

ßêùî ïîñëiäîâíiñòü fzkg1

k=1

позначають

lim zk

= z0

то кажуть, що ця послiдовнiсть збiга¹ться до z0,

ничною точкою, то вона назива¹ться збiжною до нескiнченностi

(тобто в C )

(àáî zk

z0). ßêùî ïîñëiäîâíiñòü ðîçáiãà¹òüñÿ (â C )

k!1

1 ¹ ¨¨ ¹äèíîþ ãðà-

k!1

zk

1). Таким чином, lim zk = z0

2 C

ÿêùî

i пишуть lim zk = 1

k!1

k!1

k!1

8Æ > 0 9N(Æ): 8k > N(àáîÆ) ) zk

2 B

Æ (z0). Ïîñëiäîâíiñòü, ùî íå ¹ çáiæíîþ,

азива¹ться розбiжною. Послiдовнiсть fzkg1

назива¹ться ундаменталь-

k=1

z

j < ".

íîþ, ÿêùî 8" > 0 9N(") > 0: 8n; m > N(") ) jz

m

n

1. Ï

ëiäîâ-

Теорема 4.1. Наступнi умови попарно еквiвалентнi:

íiñòü fzkgk=1

çáiãà¹òüñÿ â C . 2. fzkgk=1

. 3. Ïîñëiäîвностi

fRe z

g1

1

g1

1

= Re lim z

,

i fIm z

збiгаються (разоундаментальназ цим lim Re z

k

k

k=1

k

k=1

1

1

k!1

k!1 k

lim Im zk

= Im lim zk). 4. fRe zkgk=1

è fIm zkgk=1

ундаментальнi.

k!1

k!1

= z0

=6 1, 9 lim k = 0 =6 1. Òîäi:

Теорема 4.2. Нехàé 9 lim zk

1. lim (zk k) = z0

k!1

k!1

0. 2. lim (zk

k) = z0 0. 3. Якщо додатково k =6 0

k!1

lim

z

z

k!1

òà 0

=6 0, òî

k =

0

. 4. jznj ! jz0j.

k

!1

P1

4.2 Числовi ðÿäè

= z1

+z2

+: : :+zn +: : :

ÿ

Нехай fzkgk=1

C . Символ

k=1 zk

рядом,

числа zk членами цього ряду. Sn

= P

zk

назива¹ться n-

n

g çáiãà¹òüñÿ, òî

n!1

n

назива¹ться сумîþ

частковою сумою. Якщо fS

= lim S

ряду. В цьому випадку пишуть

P1

z

= S,

k=1

називають збiжним.

ð

Вираз S Sn

=

k=1 zn+k

назива¹ться

залишком

ðÿäó. ÿä

k=1 zk íàçè-

âà¹òüñÿ

P1

k=1

k

P1

P1

, ÿêùî çáiæíèì ¹ ðÿä

jzkj. Çáiæíèé ðÿä,

ùî íå ¹

àáñîлютнозбiжним,називають неабсолютно (умовно) збiжним.

3

ßêùî ðÿä P1

z

k=1

= 0.

òî lim z

Теорема 4.4.

ÿä

k=1 zk

çáiãà¹òüñÿ òîäi

òiëüêè òîäi, êîëè âèêî-

íó¹òüñÿ

ìîâà 8" > 0 9N("):

8n > N(çáiãà¹òüñÿ,") 8p 2 N )

Pp

z

< ".

P1

k=1

k

k!1

k

n+k

Äîáóòêîì ðÿäiâ

P1

k

òà

P1

k=1

1 k=1

k=1

k назива¹ться ряд

(4.3)

X( 1 k + 2 k 1