Metodichka_lab_Ekonometria

Раздел 3. Модель парной регрессии

3.1 Теоретические замечания

Для количественной оценки влияния факторного признака X на результативный признак Y по выборкам наблюдений (x1, x2 ,..., xn ) и

( y1, y2 ,..., yn ) данных признаков объема n определяют уравнение

регрессии [3].

Решение данной задачи осуществляется в несколько этапов:

( y1, y2 ,..., yn ) для оценки параметров модели;

3)вычисляются оценки параметров модели (определяют выборочное уравнение регрессии);

4)выполняется проверка качества модели: точности и адекватности совокупности наблюдений;

5)проводится экономический анализ на основании эконометрической модели (прогноз, количественная оценка влияния факторов).

Предполагается, что зависимость результативного признака Y от факторного признака X описывается эконометрической моделью в виде уравнения с одной объясняющей переменной и аддитивной случайной составляющей ε следующего вида:

Далее рассмотрим как выполняются пять этапов, перечисленные выше.

Первый этап. Для спецификации модели (3.1) необходимо определить явный вид функции f (X ) . Этот этап выполняется на

основании теоретических знаний о взаимосвязи между данными показателями или на основании статистического анализа при помощи выбора из возможных альтернативных вариантов.

Простейшей является линейная форма зависимости между двумя переменными

где a0 и a1 – параметры модели.

Возможны также другие формы зависимости результативного признака Y от факторного признака X в формуле (3.1)

29

f (X ) = a0ea1X – показательная, f (X ) = a0 X a1 – степенная,

f (X ) = a0 + aX1 – гиперболическая,

f (X ) = a0 + a1 ln X – логарифмическая.

После спецификации модели необходимо сформировать совокупность наблюдений, на основании которых оценить параметры модели. Рассмотрим как рассчитать оценки параметров линейной модели (3.2), т. е. построить уравнение линейной регрессии

Отметим, что в случае, если выбрана нелинейная модель, ее легко преобразовать к линейной методом замены переменных или алгебраических преобразований (например, при помощи операции логарифмирования). После оценки параметров линейной модели нужно

Применение МНК требует выполнения условий Гаусса–Маркова для случайной составляющей εi . Также предполагается, что случайный член

εi имеет нормальное распределение вероятностей. Если случайный член

εi удовлетворяет данным условиям, то оценки aˆ0 и aˆ1 будут обладать

свойствами несмещенности, эффективности и состоятельности. Вычислить оценки aˆ0 и aˆ1 можно несколькими способами:

1)решить систему нормальных уравнений,

2)по явным формулам,

3)матричным способом.

30

Первый способ. Система нормальных уравнений является системой двух линейных уравнений с двумя неизвестными aˆ0 и aˆ1 и имеет

следующий вид:

Система (3.6) может быть решена методом подстановки.

Второй способ. Явные формулы для вычисления оценок aˆ0 и aˆ1 следующие

Третий способ. В матричном виде формулы для вычисления оценок aˆ0 и aˆ1 имеют вид

Четвертый этап. Оценка качества построенной модели осуществляется на основании значений коэффициента детерминации и

средней относительной ошибки аппроксимации. Также проверяется

значимость коэффициента детерминации, коэффициентов уравнения регрессии и определяются доверительные интервалы для коэффициентов

уравнения регрессии.

Расчетные формулы для коэффициента детерминации и средней относительной ошибки аппроксимации соответственно имеют вид

31

экономического анализа и прогноза средняя относительная ошибка аппроксимации Eср.отн. должна быть меньше 7 %–10 % (в зависимости от

уровня модели: макро– или микроуровень).

Значимость (адекватность) модели проверяется с помощью F–

критерия Фишера, который проверяет нулевую гипотезу H0 : R2 = 0 о статистической незначимости уравнения регрессии. Для этого сравним

где m – число регрессоров, в случае однофакторной модели m =1. Если Fрасч. > Fтабл. = Fα,m,n−m−1 , то уравнение статистически значимо

(с надежностью 1 −α ).

Оценка статистической значимости коэффициентов регрессии и

32

Если taˆ j > tтабл. =tα,n−m−1 , то коэффициент aˆ j статистически значим

(с надежностью 1 −α ).

Для расчета доверительного интервала определяем предельную ошибку ∆ для каждого параметра

Формулы для расчета доверительных интервалов имеют следующий

вид:

Оценим точность прогноза, рассчитав ошибку прогноза и его доверительный интервал. Оценка ошибки прогноза (при доверительной вероятности 1 −α ) рассчитывается по формуле

3.2 Организация данных и расчетов на листе MS Excel

Рассмотрим пример построения и анализа модели парной регрессии по пунктам 1) – 8) задания лабораторной работы 3 (исходные данные примера в табл. 3.1).

Таблица 3.1

Выборочные данные наблюдений статистических признаков: объем реализации Y и площадь магазина X

33

Для выполнения лабораторной работы 3 нужно создать новую рабочую книгу MS Excel, в ячейки которой ввести исходные данные задачи: значения показателей объема реализации Y и площади магазина X (ячейки B26 : C35, рис. 3.1). Организация расчетов на листе MS Excel по пунктам 1) – 6) лабораторной работы 3 при помощи таблицы вспомогательных расчетов показана на рисунке 3.1. Реализация формул в соответствующих ячейках описана в таблице 3.2.

Рис. 3.1 – Расчеты лабораторной работы 3

34

35

Для построения корреляционного поля X и Y и прямой выборочной регрессии воспользуемся «Мастер диаграмм» в Excel. Для этого во вкладке «Стандартные» выберем пункт «Точечная», затем «Далее»;

сделаем ссылки на массивы X и Y, затем «Далее». Затем можно сделать необходимые подписи на диаграмме. После чего выбрать «Далее»; «Готово». Для того чтобы на корреляционное поле добавить линию тренда, необходимо сделать двойной щелчок на точке корреляционного поля и в открывшемся окне выбрать «Добавить линию тренда»; «Параметры»; «Показать уравнение на диаграмме»; «ОК». После этих действий получим график, такой как на рис. 3.2.

Рис. 3.2 – Результат построения корреляционного поля и прямой выборочной линейной регрессии

Анализируя корреляционное поле (рис. 3.2) можно строить как линейную модель, так и нелинейную, что будет рассмотрено ниже.

Рассмотрим выполнение пункта 1) лабораторной работы 3 третьим способом – с помощью матричных преобразований. Для этого перейдем на новый лист MS Excel (рис. 3.3) и введем значения элементов матриц X и Y , которые согласно формуле (3.9) имеют следующую структуру: в первом столбце матрицы X все элементы равны 1, во втором столбце элементы равны значениям признака X , Y – вектор–столбец, элементы которого равны значениям результативного признака Y . После выполнения расчетов по формуле (3.9) с помощью функции программы

36

MS Excel (табл. 3.2) в последовательности, как указано в таблице, в

Результаты, полученные в пунктах 1) – 6) с помощью табличных преобразований и операций с матрицами (второй и третий способы) можно получить с помощью надстройки «Анализ данных» программы MS Excel.

Используя инструменты надстройки «Анализ данных» (функцию – регрессия) программы MS Excel получим отчет регрессионного анализа зависимости объема реализации Y от площади магазина X .

Рис. 3.3 – Расчет параметров модели лабораторной работы 3 в матричном виде

37

Для этого во вкладке «Сервис» выберем пункт «Анализ данных», в котором в свою очередь выберем функцию «Регрессия». После этого появится диалоговое окно, в котором нужно ввести ссылки на входные интервалы, выделяя их последовательно курсором, а также установить другие необходимые параметры задачи (например, «Вывод остатков») и нажать «ОК». После этого появится отчет, как представлен на рис. 3.3.

В отчете есть все необходимые результаты для пунктов 1) – 6) (табл. 3.3) за исключением средней относительной ошибки аппроксимации. Но, используя отчет «Вывод остатка», ее легко рассчитать на этой же странице

(рис. 3.4, табл. 3.4).

Рис. 3.4 – Результаты регрессионного анализа зависимости (Y ) от ( X )

38