31

Получилась система уравнений с базисными неизвестными x1 , x2 , x4 и свободным неизвестным x3 . Наличие свободного неизвестного означает, что решений бесконечное множество. Следовательно, система векторов (3) линейно зависима в R5 .

2. Одним из способов определения индекса цен и уровня инфляции является расчет стоимости «потребительской корзины», состоящей из основных видов товаров и услуг, получаемых потребителями. Обычно это 300 необходимых видов товаров и услуг. В табл. 1 приведен условный пример, отражающий изменение стоимости потребительской корзины по трем товарам.

Табл. 1. Изменение стоимости товаров, входящих в потребительскую корзину

32

Т.к. i > 0 , то это инфляция – повышение общего (среднего) уровня цен в экономике страны. Заметим, что при i < 0 речь идет о дефляции – снижении общего (среднего) уровня цен в

В случае пространств R2 и R3 ортогональность векторов означает их перпендикулярность.

Возвращаясь к потребительской корзине, можно сказать следующее. Индекс цен можно определить как численный коэффициент p , который делает вектор q ортогональным

вектору 100c − pcp .

Индекс инфляции рассчитывается по формуле

3. Очевидным является тот факт, что в пространстве R3 для любых векторов p и r существует ненулевой вектор q , ортогональный обоим векторам (рис. 1). Обобщим этот факт.

33

Ключевым понятием арифметических векторных пространств является понятие базиса.

Определение 3. Система векторов из Rn называется базисом пространства Rn , если:

1)эти векторы линейно независимы;

2)любой вектор из Rn является линейной комбинацией векторов данной системы. Примером базиса в Rn может служить система из n векторов

e1 = (1,0,...,0)e2 = (0,1,...,0).....................

en = (0,0,...,1)

Действительно, векторы e1 , e2 ,..., en образуют лестничную систему и потому линейно независимы. Если a = (x1 , x2 ,..., xn ) – произвольный вектор из Rn , то очевидно равенство

a = x1e1 + x2 e2 +... + xn en ,

которое и указывает на то, что a есть линейная комбинация e1 , e2 ,..., en .

В приведенном примере базис состоял из n векторов. Это не случайно, как показывает следующая теорема.

Теорема 3. Линейно независимая система векторов в Rn тогда и только тогда является базисом, когда число этих векторов ровно n .

Пример 2. Система векторов

a1 = (1;−3;5) , a2 = (0;5;−2) ,

a3 = (0;0;−7)

является базисом в R3 . Действительно, векторы a1 , a2 , a3 образуют лестничную систему и потому линейно независимы. Поскольку их число равно 3 , то эти векторы образуют базис.

координатами вектора b в базисе e1 , e2 ,..., en .

Часто в задачах практики возникает необходимость осуществить переход от одного базиса пространства Rn к другому.

Например, требуется перейти от базиса e1 , e2 ,..., en к другому базису a1 , a2 ,..., an . Для этого мы должны иметь четкий алгоритм, который бы нам позволял записывать

34

Решение. Согласно теореме 3, векторы a1 , a2 , a3 образуют базис пространства R3 ,

если: 1) число этих векторов совпадает с размерностью пространства; 2) векторы линейно независимы. Условие 1) выполняется, поэтому проверим выполнение условия 2). Для этого запишем равенство вида (2)

c1a1 +c2a2 +c3a3 = 0 .

Если оно будет выполняться лишь при c1 = 0,c2 = 0,c3 = 0 , то система векторов a1 , a2 , a3

будет линейно независимой.

В координатной форме это равенство имеет вид

а затем в виде системы трех линейных уравнений с тремя неизвестными:

6λ1 − 2λ2 − 7λ3 =15

−8λ1 + 7λ2 + 7λ3 = −315λ1 − 2λ2 − 7λ3 =12

Применяя метод Гаусса, получим координаты вектора b в новом базисе a1 , a2 , a3 :

λ1 = 3,λ2 = −2,λ3 =1.

Т.о., по теореме 4 вектор b пространства R3 может быть представлен единственным образом в виде линейной комбинации:

b = 3a1 − 2a2 + a3 .

36

Над матрицами можно производить ряд операций. Матрицы одинаковой размерности можно складывать. Сложить две матрицы означает сложить их элементы, стоящие на одинаковых местах.

Матрицы можно умножать на число. Это означает, что все элементы матрицы надо умножить на данное число.

Пример 2. Если ассортимент продукции заводов из примера 1 не изменился в течение следующего года, то отчет о производстве за второй год тоже имеет вид матрицы:

Если же в течение третьего года производство каждого вида продукции на каждом заводе увеличилось на 20% по сравнению со вторым годом, то отчет за третий год будет таким:

Отчет же за три года будет выглядеть следующим образом:

количество столбцов первой матрицы равно количеству строк второй матрицы, то можно

37

Произведение AB оказалось возможным, т.к. число столбцов первой матрицы совпадает с числом строк второй и равно 3 . В то же время, произведение BA невозможно, т.к. теперь число столбцов первой матрицы равно 3 , а число строк второй – 2 .

Приведем основные свойства умножения матриц.

1.Как известно, для любых чисел a и b выполняется свойство: ab = ba . Для матриц, в общем случае, AB ≠ BA. Например,

2. Единичной матрицей E называется квадратная матрица, у которой все элементы главной диагонали равны единице, а остальные нули. Особенности умножения на эту матрицу такие:

AE = EA = A .

3. Произведение матриц подчиняется сочетательному закону: ( AB)C = A(BC) .

4. При перемножении матриц и транспонировании имеет место свойство: ( AB)T = BT AT .

Пример 4. Предприятие выпускает три вида продукции P1 , P2 , P3 , используя два вида сырья S1 , S2 . Нормы расхода сырья характеризуются матрицей

Например, a21 = 3 означает, что на выпуск единицы продукции P1 расходуется 3 единицы

сырья S2 .

1) Требуется определить затраты сырья, необходимые для выполнения плана выпуска продукции: P1 – 100 ед., P2 – 50 ед., P3 – 80 ед. 2) Стоимость единицы сырья составляет:

S1 – 15 грн., S2 – 22 грн. Рассчитать общие расходы на приобретение сырья, необходимые

для выполнения плана 1).

Решение. 1) Введем вектор-столбец плана выпуска продукции:

100 p = 50 .

80

Рассчитаем затраты сырья, необходимые для выполнения этого плана:

Решая подобные задачи в дальнейшем, можно без рассуждений использовать формулу:

R = cAp .