Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Донецкий национальный университет

Предмет:

Высшая математика

Файл:

Полшков Ю.Н. Курс лекций по высшей математике.pdf

Скачиваний:

207

Добавлен:

13.04.2015

Размер:

4.9 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 114 5 6 7 8 9 10 11 > Следующая >>>

Лекция 2. ПРЯМАЯ ЛИНИЯ НА ПЛОСКОСТИ

План

1.Уравнение линии на плоскости.

2.Уравнения прямой.

3.Угол между прямыми, условия параллельности и перпендикулярности.

4.Основные формулы, связанные с прямой на плоскости.

5.Неравенства, задающие полуплоскости.

6.Экономические задачи, использующие уравнение прямой.

1. Рассмотрим равенство, связывающее переменные x и y :
			F (x, y) = 0 .						(1)
Равенство (1) называют уравнением с двумя переменными [рівнянням з двома змінними]									x и
y , если	это	равенство	выполняется	не для всех	пар	чисел	x ,	y , и тождеством
[тотожністю], если оно справедливо для всех значений x и							y .	Например, равенства
x + y = 0	и	x2 + y2 = 9	являются	уравнениями,	а	равенства		x + y −(x + y) = 0	и
(x + y)2 − x2 −2xy − y2 = 0			– тождествами.
Равенство (1) называют уравнением линии [рівнянням лінії]							l , заданной на плоскости

относительно определенной системы координат, если этому уравнению удовлетворяют координаты x и y каждой точки линии l , и не удовлетворяют координаты x и y ни одной

точки, которая не лежит на этой линии.

Пусть линия l относительно системы координат Oxy определяется уравнением (1). В

аналитической геометрии линии классифицируют в зависимости от свойств уравнения. Если выражение F (x, y) в уравнении (1) является многочленом от переменных x и y (то есть

суммой конечного числа одночленов axk ym , где a – постоянный коэффициент, а показатели

k и m – целые положительные числа или нули), то линия, которая задается этим уравнением, называется алгебраической [алгебраїчною].

Алгебраические линии различают в зависимости от их порядка. Степенью одночлена [cтепенем одночлена] axk ym называется сумма k + m показателей при переменных.

Степенью уравнения (1) называется наивысшая степень одночлена, входящего в его состав. Алгебраической линией n -го порядка называется линия, которая выражается уравнением n - й степени. Порядок алгебраической линии не изменяется при замене одной декартовой системы на другую.

Линия, не являющаяся алгебраической, называется трансцендентной. Мы изучаем линии первого и второго порядков, то есть линии, задаваемые уравнениями

ax +by +c = 0 и ax2 +by2 +cxy + dx +ey + f = 0 .

Таким образом, линию на плоскости можно задать геометрически как совокупность точек с определенными геометрическими свойствами и аналитически – с помощью уравнения. В связи с этим возникают две типичные для аналитической геометрии задачи: составить уравнение линии, которая задана геометрически, и наоборот, установить геометрический образ линии, заданной аналитически. Отметим, что в аналитической геометрии вторая задача решается лишь для алгебраических линий первого и второго порядков. Общий метод исследования линий, заданных уравнениями, дается в курсе математического анализа.

Пример 1. а) Уравнение y = 2x −1 определяет на плоскости прямую линию.

б) Уравнения x2 − y2 = 0 или (x + y)(x − y) = 0 определяют две прямые – биссектрисы координатных углов.

в) Уравнению x2 + y2 = 0 удовлетворяет только одна точка O(0;0) – вырожденная

[вироджена] линия.

г) Уравнение x2 + y2 +1 = 0 не определяет ни какого геометрического места точек, поскольку для любых действительных значений x и y имеем x2 + y2 +1 > 0 .

2. Рассмотрим уравнение
y = kx +b .	(2)

Ее графиком является прямая в координатной плоскости. Уравнение (2) в аналитической геометрии называется уравнением прямой с угловым коэффициентом [рівнянням прямої з

кутовим коефіцієнтом]. Параметр		k равен тангенсу	угла α , образованного прямой и
положительным	направлением оси	Ox (k = tgα) . Этот параметр называется		угловым
коэффициентом	или коэффициентом наклона [нахилу]		прямой. Параметр b –	ордината

точки пересечения прямой и оси Oy .

Вторым распространенным типом уравнения прямой является общее уравнение прямой [загальне рівняння прямої]

						Ax + By +C = 0 .
Рассмотрим особые случаи:
а) при C = 0	y = −		A	x – прямая проходит через начало координат;
а) при C = 0	y = −			x – прямая проходит через начало координат;
			B
б) при B = 0	x = −C				= a – прямая параллельна оси Oy ;
			A
в) при A = 0	y = −C				= b	– прямая параллельна оси Ox ;
			B			x = 0 – ось Oy ;
г) при B = C = 0		Ax = 0 ,				x = 0 – ось Oy ;
д) при A = C = 0		By = 0 ,				y = 0 – ось Ox .
Уравнение прямой в отрезках на осях [рівняння прямої у відрізках на осях]
							x	+	y	=1,
							a	+		=1,
							a		b

где a и b – величины отрезков, отсекаемых прямой на осях координат.

(3)

(4)

3. Угол ϕ , отсчитанный

против часовой стрелки

от

прямой

y = k1 x +b1

до

прямой

y = k2 x +b2 , определяется формулой

k2 −k1

tgϕ =

(5)

1+k1k2

Для прямых, заданных общими уравнениями

A1 x + B1 y +C1 = 0 и A2 x + B2 y +C2 = 0 ,

формула (5) примет вид

A1B2 − A2 B1

tgϕ =

A1 A2 + B1B2

(6)

Пример 2. Определить угол

между прямыми:

а)

y = x −1

и y = 4 ;

б)

y = −x и

y = 5x +7 .

Решение. а) k1 = 0 , k2

=1, поэтому

tgϕ =

1−0

=1 ϕ = arctg(1) = 45°.

а) k1 = 5 , k2 = −1, поэтому

1+0 1

tgϕ =

−1−5

= −6 =1,5 ϕ = arctg(1,5) ≈ 56°.

1+5 (−1)

−4

Условие параллельности [умова паралельності]:

y − y1

y2 − y1

k1 = k2 или A1 = B1 . A2 B2

Условие перпендикулярности [умова перпендикулярності]:

k		= −	1	или A A + B B = 0 .
k	2	= −		или A A + B B = 0 .
	2		k1	1	2	1	2
			k1

4. Уравнение пучка [жмутка] прямых, проходящих через данную точку A(x1; y1 ): y − y1 = k (x − x1 ).

Уравнение прямой, проходящей через две данные точки A(x1; y1 ) и B(x2 ; y2 ):

= x − x1 . x2 − x1

(7)

(8)

(9)

(10)

Чтобы найти точку пересечения [перетину] непараллельных прямых, нужно составить из них систему уравнений и решить ее относительно неизвестных x и y . Например, даны

прямые A1 x + B1 y +C1 = 0 и A2 x + B2 y +C2 = 0 . Составив из них систему

A1 x + B1 y = −C1

A2 x + B2 y = −C2

и решив ее, рассчитаем координаты точки пересечения прямых.

Расстояние [відстань] d от точки (x0 ; y0 ) до прямой Ax + By +C = 0

формуле

d = Ax0 + By0 +C . A2 + B2

Пример 3. Найти уравнение прямой, проходящей через точки A(1;4)

(11)

находят по

(12)

и B(−2;3).

Определить уравнение высоты h , опущенной на прямую AB из точки C (0;−5), и вычислить

ее длину. Найти координаты точки пересечения прямой AB и высоты h . Решение. Уравнение прямой AB найдем по формуле (10):

y −4	=	x −1	y −4	=	x −1	−3( y −4) = −1(x −1) y =	1 x +	11 .
		−2 −1	−1		−3
3 −4							3	3

Угловой коэффициент высоты найдем из условия перпендикулярности (8):

kh = −	1	= −	1	= −3 .
			1
	kAB

Подставив координаты точки C (0;−5) и kh = −3 в уравнение пучка прямых (9), найдем

уравнение высоты h :

y −(−5) = −3(x −0) y = −3x −5 .

Длину высоты h найдем, как расстояние							от точки		C (0;−5)	до прямой AB . Запишем
уравнение прямой AB в общем виде
		y = 1 x +		11	1 x − y +11 = 0 x −3y +11 = 0 .
3				3	3		3
Воспользовавшись (12), получим
	h	=	1 0 −3 (−5) +11			=	26	= 26 10	= 13 10	≈8,22 .




			12 +(−3)2				10	10	5
			12 +(−3)2				10	10	5

Обозначим точку пересечения прямой AB и высоты h через D . Для нахождения ее координат составим систему уравнений:

															1	x +		11			x = −13
														y =	3	x +			3					5
															3				3					14
																								14
														y = −3x −5							y =			5
																								5
Итак,	D		−	13	;	14
Итак,	D		−	5	;	5	.
				5		5
	Заметим, что																h			CD
поэтому																		=					,
																		=					,

	h	=			0 −			−	13	2		−5	−	14 2		169			+		39 2			=	169	+	1521	=	1690	=	13 10	.
	h	=			0 −			−			+	−5	−	=					+	−				=		+		=		=		.
									5					5		25						5			25		25		25		5

Т.о., результаты расчетов совпали.

5. Множество точек, лежащих на некоторой прямой и по одну сторону от нее, называется полуплоскостью [півплощиною]. Очевидно, что любая прямая Ax + By +C = 0 делит

плоскость на две полуплоскости, для которых она является общей границей. Эти полуплоскости определяются неравенствами

Ax + By +C ≤ 0 ,

Ax + By +C ≥ 0 .

Выбрав произвольную точку N (x0 ; y0 ), не принадлежащую границе, подставим ее координаты в выражение Ax + By +C . Если окажется, что

Ax0 + By0 +C ≤ 0 ,

то неравенство

Ax + By +C ≤ 0

определяет полуплоскость, содержащую точку N (x0 ; y0 ). Если же

Ax0 + By0 +C ≥ 0 ,

то полуплоскость задается неравенством

Ax + By +C ≥ 0 .

Пример 4. По данным примера 2.3 найти неравенство, которое определяет полуплоскость, содержащую прямую AB и точку C (0;−5).

Решение. Общее уравнение прямой AB :

x −3y +11 = 0 .

Подставляя координаты точки C (0;−5) в выражение x −3y +11, получим

0 −3 (−5) +11 ≥ 0 .

Поэтому искомым неравенством будет

x −3y +11 ≥ 0 .

6.Приведем примеры использования уравнения прямой в экономике.

1)Если через k обозначить тариф перевозки груза за единицу расстояния; b –

издержки при перевозке груза, не зависящие от расстояния x , то общую стоимость y перевозки груза на расстояние x можно вычислить по формуле

y= kx +b .

2)Если обозначить через y издержки предприятия в течение месяца при выпуске x

единиц однородной продукции, то они могут быть определены по формуле y = kx +b ,

где k – издержки предприятия в течение месяца на выпуск единицы продукции, b – постоянные издержки, не зависящие от объема выпуска продукции (амортизация здания, заработная плата, охраны, коммунальные услуги и т.д.).

Пример 5. Издержки производства x1 =10 единиц продукции составляют y1 =1000 ден.ед., x2 = 50 единиц – y2 = 2000 ден.ед. Пусть функция издержек производства от объема

продукции является функцией линейного типа.

Требуется определить: 1) издержки производства k на выпуск единицы продукции; 2) постоянные издержки b , не зависящие от объема выпуска продукции; 3) издержки производства x3 = 30 единиц продукции.

Решение. Пусть x – объем продукции, y – издержки производства. Тогда данные задачи будут определять две точки на плоскости с координатами: A(10;1000) , B(50;2000) .

Определим согласно (10) уравнение прямой (т.е. линейной зависимости) по этим двум точкам:

	y −1000	=	x −10	y = 25x +750 .
	2000 −1000		50 −10			k = 25 . 2) Постоянные

1) Издержки производства на выпуск единицы продукции:
издержки, не зависящие от объема выпуска продукции: b = 750 . 3)						Издержки производства
x3 = 30 единиц продукции: y(30) =1500 .				y
Пример 6. Стоимость перевозки груза					железнодорожным		и автомобильным
транспортом линейно зависит от расстояния				x .	Автотранспортный		тариф перевозки

составляет k1 = 50 ден.ед. за единицу расстояния и за перевозку на x1 = 2 ед. расстояния было уплачено y1 = 250 ден.ед. Услуги железнодорожного транспорта за перевозку на x2 = 2 ед. расстояния стоят y2 = 300 ден.ед., на x3 = 6 ед. расстояния – y3 = 400 ден.ед.

Требуется определить: 1) постоянные издержки b1 автотранспортных перевозок, не зависящие от расстояния; 2) железнодорожный тариф k2 за единицу расстояния и постоянные издержки b2 железнодорожных перевозок, не зависящие от расстояния; 3) при

каких расстояниях более выгоден тот или иной вид транспортировки. Проиллюстрировать эти выводы графически.

Решение. Данные задачи имеют вид:

k1 = 50 , x1 = 2 , y1 = 250 , x2 = 2 , y2 = 300 , x3 = 6 , y3 = 400 . 1) Общий вид линейной зависимости

y = kx +b ,

поэтому постоянные издержки b1 автотранспортных перевозок, не зависящие от расстояния, равны:

b1 = y1 −k1 x1 = 250 −50 2 =150 (ден.ед.).
2) Числовые данные задачи x2 = 2 , y2 = 300 ,					x3 = 6 , y3 = 400 определяют две точки
на плоскости: A(2;300) , B(6;400) .			Определим		уравнение прямой	(т.е. линейной
зависимости) по этим двум точкам:
	y −300	=	x −2	y =	25x + 250 .
	400 −300
			6 −2
Т.о., железнодорожный тариф k2 за		единицу расстояния и постоянные издержки b2
железнодорожных перевозок, не зависящие от расстояния, равны: k2 = 25 , b2						= 250 .

3) Для того, чтобы определить при каких расстояниях выгоден тот или иной вид транспортировки, надо решить систему уравнений:

y = 50x +150y = 25x +250

Корни системы: x = 4 , y = 350 . Следовательно, при расстоянии x = 4 стоимость перевозки одинакова для автомобильного и железнодорожного транспорта, и равна: y = 350 (ден.ед.).

Построим обе прямые в координатной плоскости (рис. 1).

Судя по графику, при x > 4 прямая y = 50x +150 расположена выше прямой y = 25x +250 , т.е. более дорогой вид транспорта – автомобильный. Поэтому при расстоянии

x > 4 более выгоден железнодорожный вид транспортировки, а при расстоянии x < 4 более выгоден автомобильный вид транспортировки.

Рис. 1. Иллюстрация к примеру 6

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 114 5 6 7 8 9 10 11 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете Высшая математика

#
13.04.20154.9 Mб207Полшков Ю.Н. Курс лекций по высшей математике.pdf
#
13.04.20156.31 Mб221Практикум по высшей математике_часть 1.pdf
#
13.04.20157.85 Mб238Практикум по высшей математике_часть 2.pdf