6

ЧАСТЬ I АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

Лекция 1. ПРОСТЕЙШИЕ ЗАДАЧИ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

План

1.Система прямоугольных координат на плоскости и в пространстве. Числовая ось. Координаты точки.

2.Расстояние между двумя точками. Деление отрезка в заданном отношении.

3.Преобразование координат.

1. Аналитическая геометрия – это раздел математики, в котором свойства геометрических объектов (точек, линий, поверхностей, фигур, тел и т.п.) изучаются с помощью алгебры на основе метода координат.

Основоположником аналитической геометрии является Рене Декарт (1596-1650) – французский философ, математик, физик, физиолог. Он впервые в 1637 г. в своей книге “Геометрия” дал четкое изложение метода координат на плоскости. Декарт предложил положение точки на плоскости относительно заданной системы координат определять с помощью двух чисел – ее координат, а каждую линию на плоскости рассматривать как множество точек, заданных соответствующим геометрическим условием. Это условие записывается в виде уравнения, которое связывает переменные координаты точки, принадлежащей данной линии, и называется уравнением этой линии. Такой способ исследования геометрических объектов и называют методом координат.

Следующий важнейший вклад в аналитическую геометрию сделал французский математик и механик Жозеф Луи Лагранж (1736-1813), который впервые в 1788 г. в своей работе “Аналитическая механика” предложил определять положение вектора с помощью чисел – его проекций на координатные оси. Развитие идей Лагранжа привело к созданию векторной алгебры. Метод координат и аппарат векторной алгебры широко используется в современной аналитической геометрии.

(“орто” означает взаимную перпендикулярность, “нормированность” – одинаковую единичную длину, понятие “базис” будет точно определено в разделе “Линейная алгебра”).

Рис. 1. Прямоугольная декартова система координат

Совокупность точки и базиса называется прямоугольной декартовой системой координат в пространстве и обозначается через Oxyz . Точка O называется началом

7

координат, а оси, которые проходят через начало координат в направлении базисных векторов, называются осями координат ( Ox – ось абсцисс, Oy – ось ординат, Oz – ось

аппликат). Плоскости, проходящие через оси координат, называют координатными плоскостями и обозначают Oxy,Oyz,Ozx . При изображении системы координат, как

правило, указывают оси и не указывают векторы i, j, k .

Пусть задана прямоугольная система координат Oxyz и произвольная точка M (рис.

Координаты x, y, z этого радиус-вектора называются координатами точки M . Точка M с координатами x, y, z обозначается через M (x; y; z) .

Из ортогональности базисных векторов системы Oxyz следует, что координаты точки M равны соответствующим проекциям радиус-вектора этой точки на оси координат, т.е.

и определяются проектированием точки M на координатные оси (рис. 1).

Прямоугольные координаты точки на плоскости и на прямой определяются таким же образом, как и в пространстве. Прямоугольная система координат Oxy на плоскости задается

точкой O – началом координат и двумя взаимно перпендикулярными единичными векторами i, j – базисом системы координат; система координат на прямой задается точкой O и единичным вектором i . Понятно, что точка M (x; y) на плоскости имеет лишь две координаты (абсциссу и ординату), а точка M (x) на прямой – одну.

2. Пусть начало вектора a = AB находится в точке A(x1; y1; z1 ) , а конец – в точке B(x2 ; y2 ; z2 ) . Координаты этого вектора определяются как ax = x2 − x1 , ay = y2 − y1 , az = z2 − z1 , т.е.

делила этот отрезок в отношении λ , т.е. AM : MB = λ . Формула координат точки деления отрезка в заданном отношении λ имеет вид:

3. При решении задач иногда нужно переходить от одной прямоугольной системы координат к другой. Выполняется такой переход с помощью формул преобразования координат.

Рассмотрим преобразование координат на плоскости. Возьмем две прямоугольные декартовы системы координат Oxy и O1 XY с разными началами координат и одинаково

направленными осями. Пусть точки O1 и M в системе Oxy имеют, соответственно,

Формулы (7) называются формулами преобразования координат при параллельном переносе осей. Они выражают координаты точек в системе O1 XY через координаты точек в системе

Oxy .

Пусть на плоскости заданы две прямоугольные системы координат Oxy и OXY , имеющие общее начало O , причем система OXY получена из системы Oxy поворотом осей

на положительный угол α . Тогда формулы преобразования координат при повороте осей

имеют вид

Заметим, что аналогичный результат можно получить геометрически, построив точку M и системы координат Oxy , OXY .