К решению задач по электричеству

§1. Напряженность электростатического поля. Потенциал.

I. Краткие теоретические сведения

Точечным зарядом называется заряженное тело, размерами которого можно пренебречь по сравнению с расстояниями от этого тела до других тел, несущих электрический заряд.

Закон Кулона: Сила взаимодействия двух неподвижных точечных зарядов пропорциональна величине каждого из зарядов и обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними. Направление силы совпадает с соединяющей эти заряды прямой.

F12 k qr1q22 e12 ,

где k – коэффициент пропорциональности, q1 и q2 – величины взаимодействующих зарядов, r – расстояние между ними, e12 – единичный вектор направленный от заряда 1 к заряду 2, F12 – сила, действующая на заряд 2 со стороны заряда 1.

Коэффициент k определяется следующим образом:

где 0 = 8,85 10-12 Ф/м – электрическая постоянная.

Напряженность поля, создаваемого точечным зарядом q прямо пропорциональна заряду и обратно пропорциональна квадрату расстояния от заряда до данной точки поля:

вектор направлен вдоль прямой, проходящей через заряд и данную точку поля, от заряда, если он положителен, и к заряду, если он отрицателе.

Принцип суперпозиции: напряженность поля системы зарядов равна векторной сумме напряженностей полей, создаваемых каждым зарядом в отдельности:

N

ЕEi .

i 1

Потенциал поля точечного заряда:

(r) k q . r

По принципу суперпозиции потенциал системы точечных зарядов равен:

II. Примеры решения задач

Пример 1.1. Тонкая проволока, представляющая по форме четверть кольца радиуса R, заряжена равномерно зарядом q. Найти напряженность поля в центре кривизны.

Решение.

анапряженности электрического поля как функцию расстоя-

поля, создаваемого в точке наблюдения таким зарядом равна:

где l – расстояние от центра стержня до элемента dl. Поле, создаваемое всем стерж7нем будет равно:

III. Задачи для самостоятельного решения

1.1. Кольцо радиуса R имеет заряд q. Найти модуль напряженности электрического поля на оси кольца как функцию расстояния L до его центра.

kqL

Ответ: E R2 L2 32 .

1.2. Тонкая проволока, представляющая по форме кольцо радиуса R, заряжена равномерно зарядом q. Найти напряженность поля в центре кольца.

Ответ: E 0 . 1.3. Тонкое полукольцо радиуса R имеет положительный заряд q. Найти напряженность в центре кривизны этого полукольца.

2kq

Ответ: E .

R2

1.4. Тонкая проволока, представляющая по форме три четверти кольца радиуса R, заряжена равномерно зарядом q. Найти напряженность поля в центре кривизны.

2 2kq

Ответ: E . 3 R2

1.5. Тонкое непроводящее кольцо радиуса R заряжено с линейной плотностью

Ответ: E k 0 .

R

1.7. Очень длинная прямая нить заряжена с линейной плотностью . Найти модуль и направление напряженности электрического поля в точке, которая отстоит от нити на расстояние L и находится на перпендикуляре к нити.

Ответ: E 2k .

L

1.8. Очень длинная прямая нить заряжена с линейной плотностью . Найти модуль и направление напряженности электрического поля в точке, которая отстоит от нити на расстояние L и находится на перпендикуляре к нити, проходящем через один из ее концов.

Ответ: E 2k .

L

1.9. Тонкий прямой стержень длины 2а равномерно заряжен с линейной плотностью . Найти E(L), где L -расстояние от центра стержня до точки прямой, перпендикулярной стержню и проходящей через его центр.

1.10. Тонкий прямой стержень длины 2а равномерно заряжен с линейной плотностью. Найти E(L), где L -расстояние от центра стержня до точки прямой совпадающей с осью стержня, если L a .

2k a

Ответ: E .

L2 a2

1.11. Равномерно заряженная нить, на единицу длины которой приходится заряд , имеет конфигурацию, показанную на рис.1.3. Радиус закругления R гораздо меньше длинны нити. Найти модуль напряженности электрического поля в точке О.

Ответ:a)E 0, б)E 2 k .

R

1.12. Находящаяся в вакууме тонкая пластинка радиуса R равномерно заряжена с поверхностной плотностью . Найти модуль напряженности электрического поля на оси пластинки как функцию расстояния L от ее центра.

1.13. Плоское кольцо, внутренний радиус которого а, внешний в, заряжено с поверхностной плотностью . Найти модуль напряженности электрического поля на оси кольца как функцию расстояния L от его центра.

§2. Теорема Гаусса

I. Краткие теоретические сведения

Теорема Гаусса: поток вектора E сквозь замкнутую поверхность равен алгебраи-

ческой сумме зарядов внутри этой поверхности, деленной на 0 .

Число задач, легко решаемых с помощью теоремы Гаусса, ограничено. Применять теорему Гаусса эффективно лишь в том случае, когда поле обладает специфической симметрией – плоской, сферической или цилиндрической. В этом случае легко найти достаточно простую замкнутую гауссову поверхность.

Для упрощения математических расчетов во многих случаях истинное распределение точечных дискретных зарядов заменяют непрерывным распределением с некоторой объемной , поверхностной или линейной плотностью.

Объемная плотность заряда:

dq q dV . dV

Поверхностная плотность заряда:

dq q dS . dS

Линейная плотность заряда:

dq q dl . dl

II. Примеры решения задач

Пример 2.1. Найти поле равномерно заряженного по объему зарядовой плотностью бесконечного цилиндра на расстоянии r от его оси. Радиус цилиндра R.

Решение.

Электростатическое поле равномерно заряженного цилиндра имеет радиальный характер: направление вектора E в любой точке перпендикулярно оси цилиндра, а модуль вектора E зависит только от расстояния r до оси цилиндра. (рис.2.1.). Ясно, что при такой конфигурации поля в качестве гауссовой поверхности нужно взять цилиндр радиуса r, ось которого совпадает с осью данного цилиндра (рис. 2.2.). Тогда модуль вектора E на гауссовой поверхности всюду имеет одинаковое значение (данный факт позволяет вынести E за знак интеграла).

Рассмотрим два случая:

1) Если r<R, то поток вектора E сквозь боковую поверхность гауссова цилиндра

примет вид:

EdS EdS ES E2 rh ,

где S 2 rh - площадь боковой поверхности гауссова цилиндра высотой h. Заряд, заключенный внутри гауссовой поверхности, равен:

q dV dV V 2h,

где V- объем цилиндра, в котором сосредоточен заряд. В данном случае V совпадает с объемом гауссова цилиндра.

2) При r>R

q dV dV V .

Теперь V не совпадает с объемом гауссова цилиндра V R2 h

q R2 h.

Тогда :

E2 rh R2 h E R2 .

Пример 2.2. Бесконечно длинный цилиндр радиуса R заряжен с объемной плотностьюar , a- постоянная, r- расстояние от оси цилиндра. Найти E(r).

Решение.

Все рассуждения относительно выбора гауссовой поверхности повторяют предыдущую задачу. Поэтому сразу перейдем к рассмотрению двух случаев.

1)При r < R EdS E2 rh и q dV . Так как объемная плотность является

функцией расстояния r, то нельзя выносить за знак интеграла, как это делалось ранее.

V r2 h dV 2 rhdr .

Тогда

2) При r>R

Следует обратить внимание, что интегрирование идет в пределах от 0 до R. В пространстве от R до r заряда нет.

Пример 2.3. На оси бесконечно длинного полого цилиндра радиуса R расположена бесконечная нить, заряженная с линейной плотностью . Пространство за цилиндром заряжено с объемной плотностью 0 r5/3 , 0- постоянная, r- расстояние от оси цилиндра. Найти E(r).

Решение.

Поле обладает цилиндрической симметрией, поэтому выбор гауссовой поверхности очевиден.

1) При r<R существует только электростатическое поле, созданное нитью

2) При r>R в области существует как поле нити, так и поле, создаваемое заряженной средой. В силу принципа суперпозиции:

E Eнити Есреды .

Заметим, что поле среды также обладает цилиндрической симметрией, поэтому от векторов в принципе суперпозиции можно перейти к модулям:

E Eнити Есреды .

Определим поле среды:

При r поле, создаваемое нитью, стремится к нулю; поле же среды с расстоянием растет, что связано с возрастающей от расстояния объемной плотностью заряда.

Пример 5.4. Внутри бесконечно длинного равномерно заряженного цилиндра имеется бесконечная цилиндрическая полость (Рис.2.3). Объемная плотность заряда цилиндра. Ось цилиндрической полости параллельна оси цилиндра и смещена относительно

Определим напряженность поля большого цилиндра в точке, характеризуемой ра- диус-вектором r (рис. 2.4):

ным, и вектор E направлен параллельно вектору l . Этот вывод справедлив независимо от соотношения радиусов цилиндров и расстояния между их центрами.

Пример 2.5. Две длинные параллельные нити равномерно заряжены каждая с линейной плотностью . Расстояние между нитями l. Найти максимальное значение модуля напряженности электрического поля в плоскости симметрии этой системы, расположенной между нитями.

Решение.

Модуль вектора напряженности каждой нити легко определить с помощью теоремы Гаусса. Действительно, выбирая в качестве гауссовой поверхности цилиндр, получим:

Найти: а) модуль напряженности электростатического поля внутри и вне шара как функцию r; б) максимальное значение модуля напряженности Emax и соответствую-

щее ему значение rmax .

Решение.

а) Поле шара является центрально-симметричным: вектор напряженности электростатического поля E направлен по радиус-вектору r и проходит через центр ша-

ра, а модуль вектора E зависит только от расстояния r до центра шара. В качестве гауссовой поверхности необходимо выбрать концентрическую сферу радиуса . Рассмотрим два случая:

1)При r<R найдем поток вектора E сквозь гауссову сферу.

EdS EdS ,

так как E dS .

На гауссовой поверхности | E | const , поэтому E можно вынести за знак интегра-

ла. Следовательно, EdS E4 r2 , где S 4 r2 - площадь гауссовой сферы.

Найдем заряд q, заключенный внутри гауссовой поверхности:

Подставим полученные значения заряда и потока в формулу теоремы Гаусса:

E4 r2 0 (4 r3 r4 ) E 0 r (1 3r )

б) Найдем максимальное значение модуля напряженности электростатического поля шара E max . Максимум имеется при r<R, что следует непосредственно из вида

зависимости E(r). Найдем производную d E 0: dr

Emax 0 .

9R 0

Пример 2.7. Вычислить напряженность электростатического поля равномерно заряженной зарядом q сферы радиуса R.

Решение.

В качестве гауссовой поверхности выбираем сферу радиуса r.

2) Пусть r<R. В этом случае замкнутая поверхность не содержит внутри зарядов, поэтому в этой области всюду E 0 , т.е. внутри заряженной сферической поверхности электростатическое поле отсутствует.

Пример 2.8. Система состоит из шара радиуса R, заряженного сферически симметрич-

но, и окружающей среды, заполненной зарядом с объемной плотностью a , где a- r

постоянная и r расстояние до центра. Найти заряд шара, при котором модуль напряженности электрического поля вне шара не зависит от r.

Решение.

Так как шар заряжен сферически симметрично, то в качестве гауссовой поверхности выбираем сферу радиуса r.

Пусть искомый заряд шара q. Напряженность электростатического поля при r>R равна сумме: E Eшара Eсреды

Напряженность E не зависит от r при условии, что q 2 aR2 E a . 2 0

Пример 2.9. Найти напряженность электрического поля в области пересечения двух

шении использовать тот факт, что такое распределение заряда можно представить как результат малого сдвига друг относительно

друга двух равномерно заряженных шаров, заряды которых одинаковы по модулю и противоположны по знаку.

Решение.

Рассмотрим два шара одинакового радиуса R, имеющие равномерно распределенные по объему заряды с плотностью ( ) и ( ). Пусть центры шаров смещены друг

относительно друга на вектор l (Рис. 2.7). В области пересечения шаров поле является однородным, что было показано в предыдущей задаче:

l E .

3 0

При малом смещении шаров, т. е. при малой длине вектора l мы можем перейти к представлению о поверхностной плотности заряда на сфере. Определим толщину заряженного слоя в точках, определяемых углом . Для этого рассмотрим O1 O2 A , по теореме косинусов:

R2 (R a)2 l2 2l(R a)cos ,

где R- радиус шара. Так как по условию R>>a, R>>l

R2 R2 a2 2Ra l2 2lR (1 a) cos . R

При a 0 2Ra 2l Rcos a lcos .

Зная толщину слоя и объемную плотность, получаем, что на единицу площади в этом месте приходится заряд a lcos 0 cos , где 0 l . Таким образом, мы

пришли к выводу, что результат малого сдвига друг относительно друга двух равномерно заряженных шаров приведет к такому же результату, как если бы у нас была сфера с поверхностной плотностью 0 cos .

Напряженность можно представить как E 0 k , где k - орт оси z, от которой от- 3 0

считывается угол .

Пример 2.11. Найти поле плоскости, равномерно заряженной зарядом с поверхностной плотностью

.

Решение.

Из симметрии задачи следует, что вектор E перпендикулярен плоскости. Он направлен от плоскости, если плоскость заряжена положительно, и к плоскости, если ее заряд отрицателен. В симметричных относительно плоскости точках

вектор E одинаков по модулю. Заметив это, по- Рис. 2.8 строим гауссову поверхность в виде цилиндра с площадью оснований S , расположенными сим-

метрично по разные стороны плоскости. Образующие гауссова цилиндра перпендикулярны плоскости (Рис. 2.8).

Тогда поток вектора напряженности электростатического поля плоскости через одно основание цилиндра будет E S , а через оба основания 2E S . Поток через бо-

бесконечной равномерно заряженной плоскости не зависит от расстояния до нее. Пример 2.12. Бесконечно большая пластина толщиной 2d равномерно заряжена с объ-

емной плотностью 0 x3/2 , 0-

постоянная. Ось x перпендикулярна плоскости пластины, начало координат в середине пластины. Найти напряженность электрического поля как функцию расстояния x.

Решение.

Выберем начало координат в средней плоскости пластинки, а ось x направим перпендикулярно к ней (Рис. 2.9). Тогда, проводя рассужде-

ния, как в предыдущей задаче, рассмотрим два случая: Рис. 2.9

1) При x<d

E2 S dV ,

0

V 2x S dV 2 S dx ,

где V- объем цилиндра, в котором находится заряд. В данном случае V совпадает с объемом гауссова цилиндра.

Интегрирование в этом случае идет в пределах от ( d) до ( d) ; в пределах от ( d)

до ( x) заряда нет, поэтому интеграл обращается в нуль.

Если непрерывно уменьшать толщину пластинки d, одновременно увеличивая плотность электричества 0, чтобы величина 0 d5/ 2 оставалась постоянной, то в пределе получится бесконечная равномерно заряженная плоскость с поверхностной плот-

Пример 2.13. Какое поле создавали бы две безграничные плоскости, если бы одна была заряжена с поверхностной плотностью заряда ( ), а другая - (4 ) , и плоскости

были перпендикулярны друг другу?

Решение. Воспользуемся формулой напряженности равномерно за-

Это поле является однородным, и вектор напряженности

E составляет некоторый угол с плоскостью одной из пластин. Проведенные расчеты справедливы вдали от линии пересечения пластин.

III. Задачи для самостоятельного решения

2.1 Найти поле равномерно заряженного по объему зарядовой плотностью цилиндра на расстоянии r от его оси. Радиус цилиндра R.

2.2 Бесконечно длинный цилиндр радиуса R заряжен с объемной плотностью ar , a- постоянная, r- расстояние от оси цилиндра. Найти E(r).