К решению задач по электричеству
.pdfЗаметим, что такой же ответ можно получить, воспользовавшись формулой для плотности энергии электромагнитного поля w :
|
|
|
|
w |
0 E2 |
|
0 H2 |
0 E2 . |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
2 |
2 |
|
|||
Тогда dW wcdt |
0 |
|
E2 . Таким образом, оба выражения – для w и для S - приво- |
|||||
|
||||||||
|
|
0 |
|
|
|
дят к одинаковому результату.
Пример 9.9. Между двумя концентрическими металлическими сферами находится слабо проводящий диэлектрик. Внутренняя сфера заряжена. Найти ток смещения через (произвольную) замкнутую поверхность, охватывающую внутреннюю сферу.
Решение.
|
|
|
|
|
|
|
По определение ток смещения jсм |
D . Полный ток смещения |
|||||
|
|
|
|
d |
|
|
|
Iсм jdS |
|
|
DdS |
q . |
|
|
dt |
|||||
|
|
|
|
|
|
По теореме Гаусса DdS q , тогда
dq I .
см dt
Сдругой стороны, по закону сохранения заряда
jпрdS Iпрq
По закону Ома
jпр E ,
где - проводимость, тогда
|
|
|||||
q EdS |
q |
. |
||||
|
|
|||||
Таким образом, |
|
|
0 |
|||
|
q |
|
|
|||
Iсм Iпр |
|
. |
||||
|
||||||
|
|
0 |
Вектор D уменьшается, так как число положительных зарядов уменьшается. Пример 9.10. Длинный прямой соленоид радиуса R имеет n витков на единицу длины. По нему течет ток I I0 sin t . Найти плотность тока смещения в зависимости от расстояния до оси соленоида.
|
Решение. |
|
|
Из определения следует, что jсм |
0 E . Электрическое поле возникает в результа- |
те электромагнитной индукции E 2 rE Ф, где Ф - магнитный поток через окруж-
ность радиуса r . При r R магнитный поток |
Ф r2 B . Поле внутри соленоида рав- |
но B nI 0 . Таким образом, при r R |
|
|
r |
|
|
nr |
|
, |
|
|
nr |
|
|
|
|
nr 2 0 |
I0 sin t . |
|||||||||
E |
2 |
B |
2 |
|
I 0 |
E |
2 |
|
I 0 |
|
|
|
2 |
|||||||||||
Тогда плотность тока смещения |
|
|
|
|
|
nr 2 0 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
jсм |
|
I0 sin t . |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
При r R магнитный поток |
Ф R2B , так как снаружи соленоида B 0 . Таким об- |
|||||||||||||||||||||||
разом, при r R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R2 |
|
|
|
nR2 |
|
|
, |
|
|||||
|
|
|
|
E |
|
B |
|
|
|
|
I 0 |
|
||||||||||||
|
|
|
|
2r |
|
2r |
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
nR2 |
|
|
|
n 2R2 0 |
|
I0 sin t . |
|
||||||||||||
Т.е. тока смещения |
|
E |
|
2r |
|
0 I |
|
2r |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
n 2R2 0 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
jсм |
|
I0 sin t . |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
III. Задачи для самостоятельного решения
9.1.. Плоский конденсатор с круглыми пластинами медленно заряжают. Показать, что поток вектора Пойнтинга через боковую поверхность конденсатора равен IU . Рас-
сеянием поля на краях пренебречь.
9.2. Плоский конденсатор с круглыми обкладками радиуса a медленно заряжают. Пренебрегая краевыми эффектами (рассеянием поля), показать, что скорость возрастания энергии электрического поля конденсатора равна потоку вектора Пойнтинга через его боковую поверхность.
Ответ: W EDV . 2
9.3. .По прямому проводнику круглого сечения течет постоянный ток I . Найти поток вектора Пойнтинга через боковую поверхность участка данного проводника, имеющего сопротивление R .
Ответ: ФS I2 R . 10.4. Ток, протекающий по обмотке длинного прямого соленоида (r - радиус соленоида, L - длину соленоида, n - число витков на единицу длины) медленно меняется по закону I At2 . Найти поток вектора Пойнтинга через боковую поверхность.
Ответ: ФS A2n2 2I2t3 0 L .
9.5.Ток, протекающий по обмотке длинного прямого соленоида, увеличивают. Показать, что скорость возрастания энергии магнитного поля в соленоиде равна потоку вектора Пойнтинга через его боковую поверхность.
9.6.Нерелятивистские протоны, ускоренные разностью потенциалов U , образуют пу-
чок круглого сечения с током I . Найти модуль и направление вектора Пойнтинга вне пучка на расстоянии r от его оси.
Ответ: S |
I2 |
|
m |
. |
4 2 0r2 |
|
|||
|
|
2eU |
9.7. Плоский воздушный конденсатор, обкладки которого имеют форму дисков радиуса R , подключен к переменному синусоидальному напряжению частоты . Найти отношение амплитудных значений электрической и магнитной энергий внутри конденсатора.
Ответ: Wм 0 0 2 R2 .
Wэ 8
9.8. Переменный синусоидальный ток частоты течет по обмотке прямого соленоида, радиус сечения которого R . Найти отношение амплитудных значений электрической и магнитной энергий внутри соленоида.
Ответ: Wэ 0 0 2 R2 .
Wм 8
9.9. .Показать, что на границе раздела двух сред нормальные составляющие вектора Пойнтинга не терпят разрыва.
9.10.Двухпроводная линия соединяет генератор постоянного тока с нагрузкой. Определить направление вектора Пойнтинга, не учитывая потерь на линии. Что изменяется при учете потерь?
9.11.На двухпроводной линии ток отстает по фазе от напряжения на 900 . Показать, что вектор Пойнтинга каждую четверть периода изменяет направление на обратное, и полный поток энергии равен нулю.
9.12.Двухпроводная линия соединяет генератор переменного тока с нагрузкой. Определить направление вектора Пойнтинга, не учитывая потерь на линии. Что изменяется при учете потерь? Используйте методику решения предыдущей задачи.
9.13.. Энергия от источника постоянного напряжения U передается к потребителю по длинному коаксиальному кабелю с пренебрежимо малым сопротивлением. Ток в кабеле I . Найти поток энергии через поперечное сечение кабеля. Внешняя проводящая оболочка кабеля тонкостенная.
Ответ: ФS IU .
9.14. Генератор переменного напряжения U U 0 cos t передает энергию потребите-
лю по длинному прямому коаксиальному кабелю с пренебрежимо малым активным сопротивлением. Ток в цепи меняется по закону I I0 cos( t ). Найти средний по
времени поток энергии через поперечное сечение кабеля. Внешняя оболочка кабеля тонкостенная.
Ответ: ФS I0U0 cos . 2
9.15. Плоский конденсатор образован двумя дисками, между которыми находится однородная слабо проводящая среда. Конденсатор зарядили и отключили от источника напряжения. Пренебрегая краевыми эффектами, показать, что магнитное поле внутри конденсатора отсутствует.
Ответ: Кроме тока проводимости следует учесть ток смещения. 9.16. Плоский воздушный конденсатор, площадь каждой пластины которого S 100см2, включен последовательно в цепь переменного тока. Найти амплитуду напряженности электрического поля в конденсаторе, если амплитуда синусоидального тока в подводящих проводах Im 1 мА и частота тока 1,6 107 с-1.
Ответ: Em |
|
Im |
. |
|
|||
|
|
0 S |
9.17. Пространство между обкладками плоского конденсатора, имеющими форму круглых дисков, заполнено однородной слабо проводящей средой с удельной проводимостью и диэлектрической проницаемостью . Расстояние между обкладками d . Пренебрегая краевыми эффектами, найти напряженность магнитного поля между обкладками на расстоянии r от их оси, если на конденсатор подано переменное напряжение U U m cos t .
|
|
cos t , где H |
|
|
rUm |
|
|
|
|
Ответ: H H |
|
|
|
|
2 2 |
, |
определяется из выраже- |
||
|
|
2d |
|||||||
|
m |
|
m |
|
0 |
|
|
ния tg 0 .
9.18. Точечный заряд q движется с нерелятивистской скоростью v const . Найти плотность тока смещения jсм в точке, находящейся на расстоянии r от заряда на пря-
мой:
а) совпадающей с траекторией заряда; б) перпендикулярной к траектории и проходящей через заряд.
Ответ: а) j |
|
|
2qv |
; б) j |
|
|
qv |
. |
см |
4 r3 |
см |
|
|||||
|
|
|
|
4 r3 |