Лекция 4

выглядит совсем иначе. Во-первых, даже при Е > U0 отлична от нуля вероятность того, что частица отразится от барьера и повернётся в обратную сторону; во-вторых, при Е < U0 отлична от нуля вероятность того, что частица пройдет сквозь барьер и окажется в области (x l). Эту способность квантовой частицы проходить сквозь барьер словно бы по туннелю,

называют туннельным эффектом.

Такое невозможное с классической точки зрения поведение микрочастицы вытекает непосредственно из решения уравнения Шредингера.

Рассмотрим случай Е < U0. Уравнение Шредингера

причем Е - U0 <0.

Будем искать решение уравнений (4.20, 4,21) в виде

e x .

Подстановка этой функции в (4.20) приводит к характеристическому уравнению

2 2m E 0.

2

Отсюда

ik,

где k 1 2mE. Для уравнения (4.21)

1

где 2m(U0 E).

Таким образом, общие решения уравнения Шредингера для каждой из трех областей имеют вид:

І: 1(x) А1eikx B1e ikx ,

ІІ: 2(x) А2e x B2e x ,

ІІІ: 3(x) А3eik(x l) B3e ik(x l) .

Заметим, что решение вида eikx соответствует волне, распространяющейся в положительном направлении оси х, а e ikx – в противоположном. Тогда A1eikx и B1e ikx характеризуют падающую и отраженную волны, A3eikx – волну, прошедшую барьер а B3e ikx – отраженную, идущую из бесконечности. Поскольку последняя в нашем случае отсутствует, необходимо положить В3 = 0.

Для того, чтобы функция была непрерывной во всей области определения х от до , должны выполняться условия:

ikA1 ikB1 A2 B2

А2e l B2e l ikА3 .

Для характеристики величины туннельного эффекта введем коэффициент прозрачности барьера, определяющий вероятность прохождения частицы сквозь барьер:

inA1 inB1 A2 B2А2e l B2e l inА3.

Из второго и четвертого уравнений (4.22) выразим А2 и В2 через А3 и учтем, что l 1:

A1 B1 1 in A3e l ,

2

Следовательно для коэффициента прозрачности получим:

Таким образом, вероятность прохождения микрочастицы сквозь барьер не равна нулю. Коэффициент прозрачности не очень мал тогда, когда

2l

2m(U0 E) 1.

Для электрона, если (U0 – E) 1 эВ

т.е. коэффициент прохождения отличен от нуля, если ширина потенциального барьера имеет порядок атомных размеров. В макроскопических явлениях туннельный эффект не играет существенной роли.

4.6. Свойства момента импульса частицы

Момент импульса L является одной из важнейших характеристик движения. Его значение связано с тем, что L сохраняется, если система изолирована или движется в центральном поле.

Определим оператор момента импульса в квантовой механике. В классической механике L [r, p]. Такое определение в квантовой механике не имеет смысла, поскольку не существует состояния, в котором оба вектора

Lˆz (xˆpˆy yˆpˆx) i x y y x .

Выясним смысл этого векторного оператора. Для этого найдем результат действия Lˆ на произвольную функцию :

вектор, определяющийся приведенной формулой. Возникает вопрос, всегда ли существует такая функция , для которой все три проекции вектора имеют определенные значения, т.е. одновременно выполняются три равенства

Lˆx Lx , Lˆy Ly , Lˆz Lz ).

Для ответа на этот вопрос необходимо найти правила коммутации операторов Lˆx, Lˆy, Lˆz . Перемножая Lˆx и Lˆy и сохраняя порядок их расположения, получим

2 z x y z z x z y x z y z x z z y

2 zy x2z z2 x2y xy z22 x y xz z2y .

Операции дифференцирования по двум независимым переменным

перестановочные, т.е. 2 2 , поэтому

x y y x

Lˆx Lˆy LˆyLˆx 2 y x x y i Lˆz .

Аналогично получаются и два других правила коммутации. Тогда

Таким образом, любые де проекции оператора момента импульса не коммутируют между собой, поэтому не существует состояния, в котором бы вес три проекции и даже любые две из трёх имели бы определенные значения. Т.е. оператор Lˆ не имеет собственных функций и соответствующих им собственных значений. Это означает, что не существует состояния, в котором бы вектор момента импульса был бы полностью определен как по величине, так и по направлению.

Возникает вопрос, какими же физическими величинами (а не их операторами) характеризуется в квантовой механике момент импульса частицы? Оказывается, что существует состояние, в котором одновременно имеют определенные значения квадрат момента импульса и одна из его проекций на выбранное направление.

Квадрат момента импульса принято обозначать L2 . Но это не квадрат вектора L (которого не существует), а собственное значение оператора квадрата момента импульса, т.е.

Lˆ2 (iLˆx jLˆy kLˆz )2 Lˆ2x Lˆ2y Lˆ2z .

Чтобы убедиться в том, что величина L2 и одна из проекций момента импульса, например Lz , могут быть одновременно измерены в одном и том

же состоянии, необходимо показать, что операторы Lˆ2 и Lˆz коммутируют

между собой. Для этого пишем

Lˆ2Lˆz (Lˆ2x Lˆ2y Lˆ2z )Lˆz Lˆx (LˆxLˆz ) Lˆy (LˆyLˆz ) Lˆ3z ,

или в силу соотношений коммутации (4.23):

Lˆ2Lˆz Lˆx(Lˆz Lˆx i Lˆy ) Lˆy (LˆzLˆy i Lˆx ) Lˆ3z .

Аналогично

LˆzLˆ2 Lˆz (Lˆ2x Lˆ2y Lˆ2z ) (LˆzLˆx )Lˆx ) (LˆzLˆy )Lˆy ) Lˆ3z(Lˆx Lˆz i Lˆy )Lˆx (LˆyLˆz i Lˆx )Lˆy Lˆ3z .

Почленным вычитанием найдём

Lˆ2Lˆz LˆzLˆ2 0,

наибольшее положительное значение числа m при заданном значении L2 .

Пусть – общая волновая функция операторов Lˆ2 и Lˆz , причем m = l. Тогда

Lˆ2 L2 , (4.31)

Из соотношений коммутации (4.29) для такой функции получим

Lˆz (Lˆ ) (Lˆ Lˆz Lˆ ) (l 1)(Lˆ ).

Отсюда видно, что функции Lˆ и Lˆ являются собственными функциями оператора Lˆz , имеющими собственные значения (l 1) и (l 1) соответственно. Но величина (l 1) не может быть собственным значением оператора Lˆz , так как максимальное собственное значение этого оператора, как мы договорились, равно l.

отсюда

(Lˆ2 2l2 2l) 0, или Lˆ2 2l(l 1) 0.

Таким образом, является собственной функцией оператора Lˆ2 с собственным значением

L2 2l(l 1).

Пусть L2 имеет определенное значение 2l(l 1), тогда проекция Lz также имеет определенное значение, если m l, (l 1),...0,...(l 1),l, т.е.

существует (2l 1) возможных состояния Lˆz .

Квантовое число l называют орбитальным квантовым числом.

Причины такого названия выясним позднее.