Плоскость в пространстве

Плоскость в пространстве, всевозможные уравнения, расстояние от точки до плоскости.

Литература: Сборник задач по математике. Часть 1. Под ред А. В. Ефимова, Б. П. Демидовича.

 

Существуют такие формы записи уравнения плоскости:

1) Ax+By+Cz+D=0− общее уравнение плоскости P, где N¯¯¯=(A,B,C)− нормальный вектор плоскости P.

 

2) A(x−x0)+B(y−y0)+C(z−z0)=0−  уравнение плоскости P, которая проходит через точку M(x0,y0,z0) перпендикулярно вектору N¯¯¯=(A,B,C). Вектор N¯¯¯ называется нормальным вектором плоскости.

 

3) xa+yb+zc=1−  уравнение плоскости в отрезках на осях, где a,  b и c− величины отрезков, которые плоскость отсекает на осях координат.

 

4) ∣∣∣∣x−x1x2−x1x3−x1y−y1y2−y1x2−x1z−z1z2−z1x3−x1∣∣∣∣=0− уравнение плоскости, которая проходит через три точки A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2) и C(x3,y3,z3). 

 

 

5) xcosα+ycosβ+zcosγ−p=0− нормальное уравнение плоскости, где cosα,cosβ и cosγ−направляющие косинусы нормального вектора N¯¯¯, направленного из начала координат в сторону плоскости, а p>0− расстояние от начала координат до плоскости.

 

Общее уравнение плоскости приводится к нормальному, путем умножения на нормирующий множитель μ=−sgnDA2+B2+C2√.

 

Расстояние от точки M(x0,y0,z0) до плоскости P:Ax+By+Cz+D=0 вычисляется по формуле

d=∣∣∣Ax0+By0+Cz0+DA2+B2+C2−−−−−−−−−−−√∣∣∣.

 

Примеры:

2.180.

а) Заданы плоскость P:−2x+y−z+1=0 и точка M(1,1,1). Написать уравнение плоскости P′,проходящей через точку M параллельно плоскости P и вычислить расстояние ρ(P,P′). 

Решение.

Так как п.лоскости P и P′ параллельны, то нормальный вектор для плоскости P будет также нормальным вектором для плоскости P′. Из уравнения плоскости получаем N¯¯¯=(−2,1,−1).

Далее запишем уравнение плоскости по формуле (2): A(x−x0)+B(y−y0)+C(z−z0)=0− уравнение плоскости, которая проходит через точку M(x0,y0,z0) перпендикулярно вектору N¯¯¯=(A,B,C). 

−2(x−1)+(y−1)−(z−1)=0⇒−2x+y−z+2=0.

Ответ: −2x+y−z+2=0.

 

 

 

2.181. 

а) Написать уравнение плоскости P′, проходящей через заданные точки M1(1,2,0) и M2(2,1,1)перпендикулярно заданной плоскости P:−x+y−1=0.

Решение.

Из уравнения плоскости P, находим ее нормальный вектор N¯¯¯=(−1,1,0). Плоскость, перпендикулярная плоскости P, параллельна ее нормальному вектору. Отсюда следует, что можно выбрать точку M3(x,y,z)∈P′ такую, что что M1M3¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯||N¯¯¯.

M1M3¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯=(x−1,y−2,z).

Условие коллинеарности векторов M1M3¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯ и N¯¯¯: xM1M3xN=yM1M3yN=zM1M3zN.

Поскольку zN=0, то есть вектор N∈XoY, то zM1M3=0.

x−1−1=y−21. Пусть x=2, тогда y=1.

Мы нашли точку M3=(2,1,0).

Так как точка M1∈P′, то и M3∈P′. Запишем уравнение плоскости, которая проходит через три точки M1(1,2,0),M2(2,1,1) и M3(2,1,0).

∣∣∣∣x−12−12−1y−21−21−2z10−0∣∣∣∣=0⇒

∣∣∣∣x−111y−2−1−1z10∣∣∣∣=0⇒

(x−1)(−1)0+(−1)z+(y−2)−(−1)z−(−1)(x−1)−(y−2)0=0⇒ ⇒−z+y−2+z+x−1=0⇒x+y−3=0.

Ответ: x+y−3=0. 

 

2.182.

а) Написать уравнение плоскости P, проходящей через точку M(1,1,1) параллельно векторам a1(0,1,2) и a2(−1,0,1). 

Решение.

Поскольку вектор [a1,a2] перпендикулярен плоскости векторов a1 и a2 (см. векторное произведение), то он будет также перпендикулярен искомой плоскости. То есть вектор [a1,a2] является нормальным для плоскости P. Найдем этот вектор:

[a1,a2]=∣∣∣∣i0−1j10k21∣∣∣∣=i(1−0)−j(0+2)+k(0+1)=i−2j+k.

Таким образом N¯¯¯=[a1,a2]=(1,−2,1).

Теперь можно найти уравнение плоскости P, по формуле (2), как плоскости, проходящей через точку M(1,1,1) перпендикулярно  вектору N¯¯¯=(1,−2,1):

1(x−1)−2(y−1)+1(z−1)=0⇒

x−2y+z=0.

Ответ: x−2y+z=0.

 

 

2.183.

а) Написать уравнение плоскости P, проходящей через точки M1(1,2,0) и M2(2,1,1) параллельно вектору a=(3,0,1).

Решение.

Поскольку вектор a параллелен плоскости P, то для всякого вектора M1M3¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯, параллельного вектору a, точка M3∈P.

Пусть M3=(x,y,z). Тогда M1M3¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯=(x−1,y−2,z). Так как M1M3¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯||a, то xM1M3xа=yM1M3yа=zM1M3zа.ya=0, то есть вектор a∈XoZ и  всякий параллельный ему вектор так же будет принадлежать этой плоскости. Таким образом, yM1M3=y−2=0⇒y=2.

Из условия параллельности векторов имеем x−13=z1. Пусть x=4, тогда z=1.

Мы получили точку M3=(4,2,1).

Запишем уравнение плоскости, которая проходит через три точки M1(1,2,0),M2(2,1,1) и M3(4,2,1).

∣∣∣∣x−12−14−1y−21−22−2z11∣∣∣∣=0⇒

∣∣∣∣x−113y−2−10z11∣∣∣∣=0⇒

(x−1)(−1)1+1⋅z⋅0+(y−2)3−3(−1)z−0⋅1⋅(x−1)−1(y−2)1=0⇒

⇒−x+1+3y−6+3z−y+2=0⇒−x+2y+3z−3=0.

Ответ: −x+2y+3z−3=0. 

 

2.184.

а) Написать уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки M1(1,2,0), M2(2,1,1) и M3(3,0,1). 

Решение.

Воспользуемся формулой (4):

∣∣∣∣x−12−13−1y−21−20−2z11∣∣∣∣=0⇒

∣∣∣∣x−112y−2−1−2z11∣∣∣∣=0⇒

(x−1)(−1)1+z(−2)+2(y−2)1−2(−1)z−(−2)(x−1)−1(y−2)1=0⇒

⇒−x+1+−2z+2y−4+2z+2x−2−y+2=0⇒x+y−3=0.

Ответ: x+y−3=0.

4