2.3. Однородные дифференциальные уравнения

К уравнению с разделяющимися переменными приводятся однородные ДУ первого порядка. Функция f(x; y) называется однородной функцией n-го порядка (измерения), если при умножении каждого ее аргумента на произвольный множитель λ вся функция умножится на λⁿ, т. е.

Например, функция f(x; y) = х²- 2ху есть однородная функция второго порядка, поскольку

Дифференциальное уравнение

y′=f(x; y) (2.6)

называется однородным, если функция f(x; y) есть однородная функция нулевого порядка.

Покажем, что однородное ДУ (2.6) можно записать в виде

(2.7)

Если f(x; y) — однородная функция нулевого порядка, то, по определению, Положив λ=1/x, получаем:

Однородное уравнение (2.7) преобразуется в уравнение с разделяющимися переменными при помощи замены переменной (подстановки)

или, что то же самое,(2.8)

Действительно, подставив у=ux и у'=u'х + u в уравнение (2.7), получаем u′x+u=φ(u) или, т.е. уравнение с разделяющимися переменными. Найдя его общее решение (или общий интеграл), следует заменить в нем u на y/x. Получим общее решение (интеграл) исходного уравнения.

Однородное уравнение часто задается в дифференциальной форме:

(2.9)

ДУ (2.9) будет однородным, если P(x; у) и Q(x; у) однородные функции одинакового порядка. Переписав уравнение (2.9) в виде и применив в правой части рассмотренное выше преобразование, получим уравнение

Метод Лагранжа (метод вариации произвольной постоянной)

Рассмотрим уравнение

(2.10)

(где p(x) и g(x) — заданные функции, в частности постоянные) без правой части, т. е. уравнение у' + р(х)·у = 0. Ононазываетсялинейным однородным ДУ первого порядка. В этом уравнении переменные разделяются:

Таким образом, т. е.

илигде c = ± c1.

Метод вариации произвольной постоянной состоит в том, что постоянную с в полученном решении заменяем функцией с(x), т. е. полагаем с =с(х). Решение уравнения (2.10) ищем в виде

(2.11)

Находим производную (для удобства воспользуемся обозначением ):

Подставляем значения у и у' в уравнение (2.10):

Второе и третье слагаемые взаимно уничтожаются, и уравнение примет вид

Следовательно

.

Интегрируя, находим:

Подставляя выражение с(x) в равенство (2.11), получим общее решение ДУ(2.10):

Пример 2.3.Проинтегрировать уравнение y′ +2xy = 2x методом Лагранжа.

Решение:Решаем уравнение у' + 2ху = 0. ИмеемилиЗаменяем с на с(x), т. е. решение ДУ у' + 2ху = 2x ищем в видеИмеем

Тогда

т. е.илиилиПоэтомуили— общее решение данного уравнения.

§3. Дифференциальные уравнения высших порядков

3.1. Основные понятия

Дифференциальные уравнения порядка выше первого называются ДУ высших порядков. ДУ второго порядка в общем случае записывается в виде

F(x; y; y′; y′′) = 0 (3.1)

или, если это возможно, в виде, разрешенном относительно старшей производной:

y" = f(x; y; y'). (3.2)

Будем в основном рассматривать уравнение вида (3.2): от него всегда можно перейти к (3.1).

Решением ДУ (3.2) называется всякая функция у = φ(x), которая при подстановке в уравнение обращает его в тождество.

Общим решением ДУ. (3.2) называется функция у = φ(x; c₁; c₂), где c₁и c₂— не зависящие от х произвольные постоянные, удовлетворяющая условиям:

1. φ(x; c₁; c₂) является решением ДУ для каждого фиксированного значения c₁и c₂.

2. Каковы бы ни были начальные условия

(3.3)

существуют единственные значения постоянных итакие, что функция является решением уравнения (3.2) и удовлетворяет начальным условиям (3.3).

Всякое решение уравнения (3.2), получающееся из общего решения у = φ(х; c₁; c₂) при конкретных значениях постоянныхиназывается частным решением.

Решения ДУ (3.2), записанные в виде называются общим и частным интегралом соответственно.

График всякого решения ДУ второго порядка называется интегральной кривой. Общее решение ДУ (3.2) представляет собой множество интегральных кривых; частное решение — одна интегральная кривая этого множества, проходящая через точку (x₀; y₀) и имеющая в ней касательную с заданным угловым коэффициентом у'(х₀) = у′.

Как и в случае уравнения первого порядка, задача нахождения ре­шения ДУ (3.2), удовлетворяющего заданным начальным условиям (3.3), называется задачей Коши.

Теорема 3.1 (существования и единственности задачи Коши). Если в уравнении (3.2) функция f(x; y; y′) и ее частные производные f′_yи f′_y′непрерывны в некоторой области D изменения переменных х, у и у', то для всякой точки (x₀;y₀; y′₀)D существует единственное решение у = φ(х) уравнения (3.2), удовлетворяющее начальным условиям (3.3).

Аналогичные понятия и определения имеют место для ДУ п-го порядка

(3.4)

если его можно, разрешить относительно старшей производной.

Начальные условия для ДУ (3. 4) имеют вид

(3.5)

Общее решение ДУ n-го порядка является функцией вида

содержащей n произвольных, не зависящих от х постоянных.

Решение ДУ (3.4), получающееся из общего решения при конкретных значениях постоянных называется частным решением.

Задача Коши для ДУ n-го порядка: найти решение ДУ (3.4), удовлетворяющее начальным условиям (3.5).

Проинтегрировать (решить) ДУ n-го порядка означает следующее: найти его общее или частное решение (интеграл) в зависимости от того, заданы начальные условия или нет.

Задача нахождения решения ДУ n-го порядка сложнее, чем первого. Поэтому рассмотрим лишь отдельные виды ДУ высших порядков.