Лекция 6. Регулярные и представимые события

«Жизнь» конечного автомата протекает в дискрет­ные моменты t= 1,2,3, ..., и его «общение» с внеш­ним миром осуществляется только посредством вхо­дов, которые он воспринимает в эти моменты. Следо­вательно, если в некоторый момент спросить «его», наступило ли некоторое событие (предварительно до­говорившись интерпретировать некоторые выходные символы как «да», а другие—как «нет»), то «его от­вет» может зависеть только от входного слова (и начального состояния автомата). Та­ким образом, в «жизнь» автомата может проникнуть только такое событие, которое состоит из некоторого множества входных слов, где

Определение 6.1.Событием называется лю­бое подмножество множества всех входных слов в не­котором конечном алфавите.

Если a₁, a₂, a₃, a₄— входы автомата, то будем счи­тать, чтоa₁a₂a₃a₄является входным словом, в которомa₁предшествует a₂и т. д.

Рассмотрим теперь следующую модель распозна­вания события. Будем говорить, что некоторое собы­тие Е«распознаваемо» (или «представимо») в конеч­ном автоматеА, еслиAотвечает «да» на всякое вход­ное слово из событияЕ.

Определение 6.2.СобытиеЕназывается представимым, если существуют конечный автомат

А ={Х, Y, Q, , }

с начальным состоянием q₀и разбиениеYна два раз­личных подмножества «да» и «нет» такие, что входное словоa₁a₂…a₄принадлежитEтогда и только тогда, когдаА, находясь в начальном состоянииq₀, последо­вательно воспринимает входыa₁, a₂, …, a₄и на по­следнем такте на выход выдает «да».

Очевидно, что пустое событие и события, каждое из которых состоит из единственного однобуквенного входного слова, представимы.

Введем три операции над событиями: дизъюнкцию, умножение и итерацию.

Определение 6.3.ЕслиЕиF—два события (множества слов), то определим:

ЕUF{дизъюнкцияЕиF):xEUFтогда и только тогда, когдахЕилиxF.

Е• F{произведениеЕиF):хЕ•Fтогда и только тогда, когда словохможет быть записано в видеef, т. е. за словомеизЕследует словоfизF.

Е* {итерацияЕ):хЕ* тогда и только тогда, когда словохможет быть записано в видеe₁, …,е_nпри не­которомn, а словае₁, ..., е_nпринадлежатЕ, илихесть пустое слово ^.

Лемма 6.1.Если Е и F — представимые события, то такими же являются события ЕUF, E•F и Е*.

Доказательство.Пусть автоматА(E)={Х, Y, Q, , }с начальным состояниемq₀представ­ляет событиеЕ, а автоматА(F)={Х’, Y’, Q’, ’, ’}с начальным состояниемq'₀представляет событиеF. Без потери общности можно считать, чтоХ=Х',Y=Y'={да, нет}.

Утверждение леммы получается из следующих построений.

а) А{Е U F}= {X, Y, QQ', ’’, ”)с начальным состоянием (q₀, q’₀):

(’)((q, q’), x)=( (q, x), ’(q’,x))

и

”((q, q’), x)=да

тогда и только тогда, когда

(q, x)=да

либо

’( q’, x)=да

б) Построение автомата, представляющего собы­тие Е•F, является более сложным. Через 2^Q’обозна­чим множество всех подмножеств множестваQ'. Тогда

А{Е •F}= {X, Y, Q2^Q', , )

с начальным состоянием (q₀,);

,

где

тогда и только тогда, когда ’{t, х)=да при некоторомtT.

с) А{F*}= {X, Y, Q2^Q', , )

с начальным состоянием {q’₀};

,

где R={q’₀} тогда и только тогда, когда’{t, х)=да при некоторомtT; в противном случаеR=.{T, х)=датогда и только тогда, когда’{t, х)=да, при некоторомtT. Что и требовалось доказать.

Таким образом, показано, что все регулярные со­бытия представимы, где

Определение 6.4.Множество словЕназы­вается регулярным, если: а)Епусто или содержит в точности один элемент, или б)Еможет быть полу­чено из пустого множества и одноэлементных мно­жеств с помощью конечного числа дизъюнкций, умно­жений и итераций.

Покажем теперь, что все представимые события регулярны, т. е. регулярные события являются точной характеристикой представимых событий. Для доказа­тельства этого факта требуется следующая лемма.

Лемма 6.2.Пусть Т — конечное множество и R — бинарное отношение на Т (т. е. для каждой пары a и b либо «aRb» (а и b находятся в отношении R}, либо «не aRb»). Слово a₁a₂…a_m из элементов Т называется R-переходным словом тогда и только тогда, когда a_iRa_i+1 для i=1,...,m-1. Тогда для любых двух элементов а и b из Т множество всех R-переходных слов, начинающихся с а и оканчивающихся b, регу­лярно.

Доказательство проведем индукцией по n –числу символов в Т.

а) n=1,T=(а).

Пусть aRa. Тогда искомым множеством слов яв­ляется регулярное множество {а,аа,ааа, ...}={а}*. Если же неaRa, то искомое множество состоит из од­ного элемента {а} и, следовательно, регулярно.

б) n>1. Предположим, что теорема доказана для всехm<n. Тогда любоеR-переходное слово, начинающееся саи оканчивающеесяb, может быть записано в виде

аА₁аА₂а ... аА_mаВb, (5.1.)

причем в словах A_iиВнет вхождения буквыа. ПустьC=[x|aRx],D=[x|xRa],E=[x|xRb].

Тогда каждое A_iявляется переходным словом, начинающимся с элемента изСи оканчивающимся элементом изD, аВявляется переходным словом, начи­нающимся с элемента изСи оканчивающимся эле­ментом изЕ. ПустьR_xy— множествоR-переходных слов, начинающихсяхи оканчивающихсяу. По пред­положению индукции оно регулярно (ибо алфавитT\{а} состоит изn-1 элементов), когдахС,уD, или когдаxС,yЕ.

Так как операция дизъюнкции сохраняет свойство регулярности множества, то

регулярны. Используя условие (5.1), получаем

и поэтому R_abрегулярно, что и требовалось доказать.

Теорема 6.1.Событие представимо тогда и толь­ко тогда, когда оно регулярно.

Значение этой теоремы состоит в том, что она по­зволяет математически выразить возможности конеч­ных детерминированных автоматов.

Доказательство.Теперь в качестве множестваТвозьмем множествоQX пар «состояние—вход» автоматаАиз опреде­ления 5.2, представляющего событиеЕ. Бинарное отношение определим так:(с, d)R(e, f)тогда и только тогда, когдаe=(с, d), т. е.(с, d)переводит автоматАв состояниее. Входное словоa₀ ... a_mпринадлежитЕтогда и только тогда, когда(q₀, a₀), (q₁, a₁),…, (q_m, a_m)являетсяR-переходным словом таким, что(q_m, a_m)=да. Следовательно, множество

регулярно. Поскольку Еполучается изЕ путем извлечения только второго элемента пары, а эта операция не нарушает регулярности (см. определения 5.3 и 5.4), что и требовалось доказать.

Известно, что если конечному авто­мату добавить рецепторы и эффекторы, с помощью которых он мог бы в некоторой степени воздейство­вать на окружающий мир (например, ленту с ленто­протяжным, считывающим и записывающим устрой­ством, за счет чего автомат может работать как машина Тьюринга), можно радикально изменить его возможности поведения.