Простая модель распознавания образов.

Простая схема распознава­ния содержит два основных блока: датчик и классификатор.

Датчик представляет собой устройство, преобразующее физиче­ские характеристики объекта, подлежащего распознаванию, в набор признаков , которые характеризуют дан­ный объект. Классификатор представляет собой устройство, от­носящее каждый поступающий на его вход допустимый набор значений к одному из конечного числа классов (категорий), вычислив множество значений решающих функций.

Считается, что система распознавания допускает ошибку в том случае, если она относит к классу w_jобъект, на самом деле принадлежащий отличному отw_jклассу. Считается, что система распознаванияR₁лучше системы распознаванияR₂, если вероятность совершить ошибку для системыR₁меньше, чем для системыR₂.Датчик выдает информацию в виде вектора,гдеп—число измеренных характеристик каждого физического объекта. Предполагается, что вектор из­меренийхпринадлежит одному изМклассов образовw₁, w₂, . . . , w_m.

Принимаем допущение о том, что априорныевероятности появления объектов каждого класса одинаковы, т. е. векторхможет с равной вероятностью относиться как к одному, так и к другому классу. Пустьр(х | w_i)=p_i(х)есть плотность рас­пределения для векторахпри условии, что он принадлежит классуw_i. В таком случае вероятность того, что на самом деле векторхпринадлежит классуw_j, определяется выражением

.

Вероятность того, что вектор хне принадлежит классуw_j, опре­деляется выражением

,

задающим вероятность ошибки.

Решающая функция представляет собой функцию d(x),от­носящуюхточно к одному изМзаданных классов. Оптимальной считается решающая функцияd°(x), которая дает наименьшую вероятность ошибки при всех допустимых значениях х, Значениеj, при котором величина1 – р_j, будет наименьшей, совпадает с тем значениемj, которому соответствует наибольшее значение вероятностир(х|w_j). Итак, оптимальная решающая функция d°(x)относит набор х к классуw_iв том и только том случае, если выполняются неравенства

или

.

При р(х|w_i)=р(х|w_k)ир(х|w_i)>р(х|w_j), j=1, 2, .... M, jik,оптимальная решающая функцияd°(х)может отне­сти векторхкак к классуw_i, так и к классуw_k. Для заданного значенияхклассификатор определяет оптимальную решающую функцию.

Допустим, наконец, что измеренные значения распределены нормально и соответствующие ковариационные матрицы имеют вид

,

где c_ij– ковариацияi-й иj-й компонент вектора измеренийx, а c_ij – дисперсияi-й компоненты измеренийx. Поскольку в случае нормального распределения имеем

,

где m_i–вектор математического ожидания, отношение двух плотностейp(x|w_i)иp(x|w_j)определяется выражением

Так как ковариационная матрица симметрична, данное отношение условных вероятностей сводится к следующему:

.

Введем величину

;

тогда получим выражения для разделяющей функции

.

Для определения оптимальной разделяющей функции следует вычислить М(М–1) значений функцийr_ij(х)для всехi, j, ij и выбрать наибольшее из полученных значений. Если окажется что этот максимум равенr_kj, то относимхк классуw_k. Схема оптимального распознавания, воспроизводящая описанный ме­тод, приведена на рис. 10.6.

Отметим, что уравнениеописывает гиперплоскость, проведенную вn-мерном простран­стве и разделяющую его в случае наличия двух классов на две части:

Следовательно, уравнение r_ij=0определяет разделяющую по­верхность дляi-го иj-го классов образов.

Рис. 10.6. Пример простой схемы распознавания образов.