Раздел 2 лекция 5

Раздел 2 Статистические гипотезы и их проверка

Лекция № 5

Тема: общие принципы проверки статистических гипотез.

План: 1.Понятие статистической гипотезы. Ошибки I и II рода.

2.Критерий оценки статистических гипотез. Уровень значимости.

Понятие статистической гипотезы. Ошибки I и II рода.

Статистической гипотезой называется предположение о том, что распределение случайной величины (результата эксперимента) подчиняется определённому закону распределения.

Статистический критерий (или критерий оценки статистической гипотезы) -это проверка, позволяющая оценить, насколько статистическая гипотеза согласуется с экспериментальными данными.

Пусть в нашем распоряжении имеется величина х – одно из возможных значений случайной величины (результата эксперимента).

Выдвинем гипотезу о том, что случайная величина х распределена по закону, задаваемому функцией плотности вероятности φ₀(х). Гипотезу обозначим как Н₀ и назовем нуль гипотезой.

φ(х)

φ₀(х) φ₁(х)

- х х

Введём также некоторую альтернативную гипотезу Н₁, содержание которой состоит в том, что рассматриваемая случайная величина х подчиняется закону распределения, описываемого функцией плотности вероятности φ₁(х). Будем считать, что гипотеза Н₁ является истинной, если нуль-гипотеза Н₀ не верна. Требуется на основании распределения величины х решить, какой из гипотез Н₀ или Н₁ следует отдать предпочтение. Решение поставленной задачи может быть как верным, так и ложным.

Неправильное решение может быть двух родов:

1. Ошибка первого рода – не принять нуль-гипотезу, когда она в действительности верна, (т.е принять Н₁ вместо Н₀). α – это вероятность совершить ошибку I рода (или риск) – показывает какова вероятность отбросить верные (истинные) результаты.

2. Ошибка второго рода – принять нуль-гипотезу, когда она не верна (т.е. принять Н₀ вместо Н₁ ). β – это вероятность совершить ошибку второго рода. Показывает какова вероятность принять неверные (ложные) результаты.

Тогда, α уменьшается, β увеличивается, а (1–β) уменьшается. Т.е. α уменьшается (вероятность не принять Н₀, когда она верна) следовательно (1- β) уменьшается (вероятность не принять, когда Н₀ не верна).

Поэтому, для принятия проверяемой гипотезы вероятность совершить ошибку I рода α должна быть не самой низкой, а оптимальной.

Для выбора величины α существуют определённые правила (критерии), которые позволяют оценить насколько верно проверяемая гипотеза описывает экспериментальные данные.

Критерии оценки статистических гипотез при обработке результатов эксперимента

Рассмотрим критерии оценки гипотезы Н₀ (т.е. верна она или нет) для случайной величины х (т.е. для результата эксперимента). Пусть гипотеза Н₀ верна и состоит в том, что рассматриваемая случайная величина х действительно распределена по закону, задаваемому функцией φ₀(х). Однако, если х попало в область, расположенную вблизи правого или левого «хвоста» функции φ₀(х), то вероятность попадания случайной величины в эту область, вычисляется при помощи функции φ₀(х) мала и приближается к нулю. Поэтому проще и целесообразнее признать ошибочность гипотезы и не принять её в этой область. Тогда эта область будет характеризоваться α - вероятностью не принять гипотезу Н₀ , когда она в действительности верна.

φ₀(х)

α/2 Р=1 – α α/2

х₁ х₂ х

критическая область доверительный интервал критическая область

1. Назовём интервал значений случайной величины х, т.е отрезок оси абсцисс, расположенный вблизи «хвоста» функции φ₀(х) критической областью данной функции распределения.

2. Значения случайной величины х₁ и х₂, отделяющих критические области, называются критическими значениями данной функции распределения.

3. Размеры критической области определяются вероятностью попадания в неё случайных величин. Вероятность попадания значений х случайной величины в критическую область получила название уровень значимости критерия оценки статистической гипотезы или просто уровень значимости р. Видно, что

р=α или р=1–Р

Уровень значимости (риск) – это вероятность отвергнуть проверяемую гипотезу Н₀, когда она в действительности верна. Проще говоря р – это вероятность отбросить верные результаты.

Критерием оценки статистической гипотезы является попадание х_i в критическую область. Если случайная величина х не попадает в критическую область, то анализируемая гипотеза считается приемлемой. Если случайная величина х попадает в критическую область, то это свидетельствует о неприемлемости анализируемой гипотезы.

Если критическая область, попадание в которую значений х случайной величины, целиком расположена в правой (или левой) части графика φ₀(х), то критерий оценки статистической гипотезы называется односторонним. В случае одностороннего критерия уровень значимости равен α=р=(1 –Р).

φ₀(х) φ₀(х)

или

В противном случае критическую область необходимо рассматривать из двух частей, а соответственный критерий называется двухсторонним. В случае двухстороннего критерия α=р=(1 –Р)/2.

φ₀(х)

α=р=(1 –Р)/2 α=р=(1 –Р)/2

0 х

Односторонний критерий используют только в том случае, если экспериментатор заранее знает, что результаты опытов не попадают в противоположную часть (область) функции, или для него это будет иметь практическое значение.

Пример 1:

φ₀(х)

α=р=1-Р

+W_влаги

- х 0 х

Пример 2: Д окрашивание раствора

-0,16; 0,16; 0,17;…

-0,16 не имеет практического значения, т.к. раствор мутный и луч не проходит через раствор – результат не верен.

α=р=(1-Р)/2

0

Принять проверяемую гипотезу можно только при определённых значениях р. Критерии принятия статистической гипотезы:

1. Если значения уровня значимости р равно 5% и более, то проверяемую гипотезу следует признать согласующейся с полученными экспериментальными данными. В этом случае различия между гипотетическими экспериментальными данными являются статистически незначимым.

р≥0,05

2. Если уровень значимости менее 5%, но более 1%, то можно пойти на риск принятия проверяемой гипотезы, либо взять гипотезу под сомнение. Различие между гипотетическими и экспериментальными данными является спорным. Для уточнения выводов следует признать целесообразным повторение эксперимента

0,01<p<0,05

3. Если значение критерия значимости составляет 1% и менее, то проверяемая гипотеза отбрасывается. Различия между гипотетическими и экспериментальными данными являются статистически значимыми.

р≤0,01