2. Координати і вектори в просторі

1. Знайдіть відстань між точками А(2; 3; 1) і В (1;1;-1).

2. Знайдіть відстань між точками А(-1; -2; 3) і В (-2;0;1).

3. Знайдіть координати середини відрізка АВ, якщо А(2;4;-5), В(6;-2;1).

4. Знайдіть координати середини відрізка TU, якщо T(7;-2;0), U(1;4;-4).

5. Знайдіть координати середини відрізка ВС, якщо В(6;-2;1), С(-2;-4;3).

6. Знайдіть координати середини відрізка RS, якщо R(-1;-3;0), S(0;-1;-2).

7. Знайдіть координати середини відрізка PQ, якщо P(11;3;-6), Q(-1;-3;0).

8. Знайдіть координати середини відрізка NO, якщо N(-4;-6;-3), O(0;2;0).

9. Знайдіть координати вершини D паралелограма ABCD,якщо координати решти трьох його вершин відомі: А(2;3;2), В(0;2;4), С(4;1;0).

10. Знайдіть координати вершини D паралелограма ABCD,якщо координати решти трьох його вершин відомі: А(4;2;-1), В(1;-3;2), С(-4;2;1).

11. Знайдіть на оz точки, які віддалені від А (3; -4;6) на відстань 13.

12. Знайдіть на оу точки, які віддалені від А (-3; 2;4) на відстань 13.

13. Дано точки А (1; 0; -2), В (-2; 1; 3). Знайдіть координати вектора .

14. Дано точки А (1; 0; -2), В (-2; 1; 3) і вектор . Знайдіть координати.

15. Дано точки А (3; 2; 1), В (1; 2; 3). Знайдіть координати вектора .

16. Дано точки А (3; 2; 1), В (1; 2; 3) і вектор . Знайдіть координати.

17. Знайдіть довжину вектора , якщо(3; 1; 0) та(0; 1; -1).

18. Знайдіть довжину вектора , якщо(1; 1; -1) та(2; 0; 0).

19. Дано точки А (1; 0; -2), В (-2; 1; 3). Знайдіть абсолютну величину .

20. Дано точки А (3; 2; 1), В (1; 2; 3). Знайдіть абсолютну величину .

21. Знайдіть косинус кута С трикутника АВС, якщо А (0; 1; -1), В (1; -1; 2), С (3; 1; 0).

22. Знайдіть косинус кута С трикутника АВС, якщо А (2; 2; -4), В (2; -1; -1), С (3; -1; -2).

23. Із точки, віддаленої від площини на відстані 10 см, проведено дві похилі, які утворюють з площиною кути в 30⁰ , а кут між собою дорівнює 60⁰. Знайти відстань між кінцями похилих.

24. Знайдіть довжину медіани АМ трикутника АВС, якщо В (2;1;5), С (0;1;1), А(2;1;3).

25. Знайдіть скалярний добуток векторів , якщо:

(5; 0; 2) та (0; 1; 0).

(1;-2; 0) та (0; 1; -10).

(2; -1; 1) та (-2; 1; -1).

(1; 1; 0) та (7; 2; -5).

3. Многогранники. Об’єми та площі поверхонь геометричних тіл

1. Обчисліть довжину сторони основи правильної чотирикутної піраміди з об’ємом 9 см³ і висотою 3 см.

2. Обчисліть довжину сторони основи правильної трикутної піраміди з об’ємом 2 см³ і висотою 2√3см.

3. Знайдіть площу поверхні чотирикутної піраміди, у якої кожне ребро дорівнює см, а в основі лежить квадрат.

4. Бічні ребра піраміди дорівнюють гіпотенузі прямокутного трикутника, що лежить в її основі, і дорівнюють 12 см. Знайдіть висоту піраміди.

5. Знайдіть площу поверхні чотирикутної піраміди, у якої кожне ребро дорівнює см, а в основі лежить квадрат.

6. Знайдіть об’єм тетраедра, ребро якого дорівнює а.

7. Знайдіть об’єм октаедра, ребро якого дорівнює а.

8. У правильній чотирикутній піраміді двогранний кут при основі дорівнює . Знайдіть повну поверхню піраміди, якщо відстань від основи її висоти до бічної грані дорівнюєd.

9. У правильній чотирикутній піраміді кут між апофемою і площиною основи дорівнює . Бісектриса цього кута перетинає висоту піраміди в точці, яка розміщена на відстаніd від апофеми. Знайдіть бічну поверхню піраміди.