Lungu1_math453 / ТФКП Питер[Aleksandrova_E.B.,_Svencickaya_T.A.,_Timofeeva_L.(BookFi.org)

В полученном для f (z) ряде Лорана содержится лишь правильная часть, следовательно, этот ряд совпадает с рядом Тейлора для f (z).

Данное разложение содержит лишь главную часть ряда Лорана. Замечание. Можно раскладывать данную функцию f (z) в ряд Лорана

и в окрестности других точек.

111

§4. Изолированные особые точки аналитической функции

Мы называли функцию f (z) аналитической в точке z0 , если она ана-

литическая в некоторой окрестности z0 , то есть внутри круга с центром в точке z0 . Такая точка z0 называется правильной точкой, а всякая неправиль-

ная точка называется особой. Например, для функции

f (z)= 1 +1z 2 ,

точки z1 = i и z2 = −i являются особыми, а все точки z : z2 ≠ −1 – правиль-

ными.

Так как степенной ряд внутри круга сходимости представляет собой аналитическую функцию, то все точки внутри круга сходимости являются правильными для функции f (z), представимой этим рядом. Что же касается границы круга сходимости, то справедлива теорема:

Теорема 1. На границе круга сходимости степенного ряда лежит хотя бы одна особая точка аналитической функции f (z), к которой сходится дан-

ный ряд.

С доказательством этой теоремы можно ознакомиться в работе [1]. Таким образом, если точка z0 - правильная точка функции f (z), то эта

функция раскладывается в степенной ряд по степеням (z − z0 ), причем ок-

ружность круга сходимости имеет центр в точке z0 и проходит через бли-

жайшую к z0 особую точку. Основываясь на этом выборе, можно легко по-

лучать круг сходимости степенного ряда, представляющего функцию f (z).

Пример 1. Пусть дана функция

f (z)= 1 + z2 − 2 . z

Так как ее производная имеет вид

112

то особыми точками этой функции являются точки z1 = 0 , z2 = i , z3 = −i .

Пусть требуется разложить данную функцию в ряд Тейлора по степе-

Следовательно, кругом сходимости указанного ряда будет круг z − 1 − i < 1.

Следствие. В § 3 установлено, что областью сходимости ряда Лорана является кольцо

R1 < z − z0 < R2 .

Из теоремы 1 следует, что на каждой окружности, ограничивающей кольцо, имеется, по крайней мере, по одной особой точке функции, являю-

мере 1) требуется разложить в ряд Лорана по степеням z − 1 −i . Тогда вся

113

В каждом из этих колец функция f (z) может быть разложена в ряд Ло-

рана.

Замечание. В примерах 1 и 2 мы не приводим сами разложения функции f (z) в степенные ряды, а лишь рассматриваем области, где возможны

различные разложения.

Определение. Точка z0 называется изолированной особой точкой

функции f (z), если f (z) - аналитическая в некотором круге 0 < z − z0 < R

(круг с выколотым центром), а в самой точке либо не определена, либо не дифференцируема.

причем никакая из них не является изолированной ( не существует окрестности особой точки, в которой f (z) была бы аналитической).

Пусть точка z0 - изолированная особая точка функции f (z), то есть

Лорана. В зависимости от получающегося разложения вводится следующая классификация изолированных точек:

1.Точка z0 называется устранимой особой точкой функции f (z), если ряд Лорана для f (z) в кольце K не содержит главной части (все

cn = 0 ).

114

2.Точка z0 называется полюсом, если главная часть ряда Лорана для f (z) в кольце K содержит конечное число отличных от нуля коэф-

фициентов. При этом, наибольшее n , при котором c−n ≠ 0 называ-

ется порядком полюса. При n = 1 полюс называется простым.

3.Точка z0 называется существенно особой, если главная часть ряда Лорана для f (z) в кольце K содержит бесконечное число отличных

от нуля членов.

Пример 4. а) для функции f (z)= sinz z точка z0 = 0 является изолиро-

ванной особой. Разложение данной функции в ряд Лорана в окрестности z0

имеет вид

Значит, изолированная особая точка z0 = 0 для данной функции явля-

ется полюсом пятого порядка.

в) разложение функции f (z)= sin 1z в окрестности z0 = 0 имеет вид

sin 1z = 1z − z31 3! + z51 5! − z717! +K,

откуда вытекает, что z0 - существенно особая точка.

Укажем для каждого вида изолированной особой точки необходимый и достаточный признак существования (критерий).

115

Теорема 2. (критерий устранимой особой точки)

Для того чтобы изолированная особая точка z0 функции f (z) была устранимой необходимо и достаточно выполнение одного из двух условий:

а) существует конечный предел

б) функция f (z) ограничена по модулю в проколотой окрестности точ-

ки z0 , то есть

Доказательство. Покажем, что из устранимости особой точки следует условие а); из условия а) следует условие б); а из условия б) следует, что z0 - устранимая особая точка.

1)Пусть z0 - устранимая особая точка функции f (z). Тогда в коль-

116

к нулю, получаем, что c−n = 0 для всех n N . Следовательно, z0 – устрани-

мая особая точка.

Теорема полностью доказана.

Замечание. Если доопределить функцию f (z) в точке z0 , полагая f (z 0 ) = c0 , то получим функцию, аналитическую в круге z − z0 < R . Тем самым устранена особенность в точке z0 (отсюда название особой точки – устранимая).

Доказательство. Необходимость. Пусть z0 - полюс порядка n

функции f (z). Следовательно, разложение этой функции в ряд Лорана в ок-

рестности точки z0 имеет вид

ставление

f (z) > A . Рассмотрим функцию

117

g(z)= f 1(z).

В указанной ε -окрестности точки z0 эта функция является аналитиче-

ской и ограниченной по модулю:

118

Это означает, что z0 - полюс порядка n .

Теорема доказана.

Замечание. Из доказательства теоремы получается важный вывод о связи между нулями и полюсами аналитических функций:

Если точка z0 является нулем порядка n для аналитической функции g(z), то она будет полюсом того же порядка для функции f (z)= g(1z), и на-

оборот.

Теорема 4. (теорема Сохоцкого).

Для того, чтобы изолированная точка z0 была существенно особой, не-

обходимо и достаточно, чтобы для любого (конечного или бесконечного) комплексного числа А нашлась последовательность {zn }, сходящаяся к z0 ,

такая, что

119

Если сколь угодно близко к z0 существует точка z такая, что имеем f (z)= A , то существует последовательность {zn } такая, что условие (4) вы-

полнено.

Если в достаточно малой окрестности точки z0 функция f (z) не равна

A , тогда функция ϕ(z)= f 1(z) − A - аналитическая в этой окрестности точки

z0 , кроме самой точки z0 . Точка z0 для функции ϕ(z) является изолирован-

ной особой точкой, причем она не может быть ни устранимой точкой, ни полюсом (в противном случае, ϕ(z) в точке z0 имела бы конечный или беско-

нечный предел, следовательно, f (z)= A + ϕ1(z) также имела бы конечный

или бесконечный предел. Следовательно, z0 не была бы для f (z) сущест-

венно особой).

Итак, точка z0 - существенно особая для ϕ(z), тогда на основании до-

казанного существует последовательность {zn }→ z0 такая, что

lim ϕ(zn )= ∞,

zn→z0

следовательно, lim f (zn )= A .

zn→z0

Достаточность. Пусть выполнено (4). Это означает, что в точке z0

функция f (z) не имеет ни конечного, ни бесконечного предела. Поэтому z0

120