Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

sb_zad_VM_all

.pdf
Скачиваний:
15
Добавлен:
13.04.2015
Размер:
2.43 Mб
Скачать

Министерство образования и науки Российской Федерации

Владивостокский государственный университет экономики и сервиса

_____________________________________________________________

СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ

Владивосток Издательство ВГУЭС

2010

ББК 22.1

С 23

СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ / С 23 сост. И.В. Пивоварова, Л.Я. Дубинина, Л.С. Никулина / 2-е изд., испр. и доп. – Владивосток: Изд-во

ВГУЭС, 2010. – 52 с.

Сборник предназначен для самостоятельной работы студентов 1 курса инженерно-технических специальностей и содержит задачи по основным разделам высшей математики: линейной алгебре, аналитической геометрии, математическому анализу, дифференциальным уравнениям.

ББК 22.1

© Издательство Владивостокского государственного университета экономики и сервиса, 2003

© Издательство Владивостокский государственный университет экономики и сервиса, 2010

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Глава 1. ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.1. Определители

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Вычислите определители:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.

 

 

 

 

1

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

2.

 

 

 

 

 

4

 

5

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3.

 

 

 

 

0

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

4.

 

 

3

 

1

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

7

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

cos

 

 

 

 

 

 

sin

 

 

 

 

 

 

5.

 

 

 

a

 

 

 

 

a

 

.

 

 

 

 

 

 

6.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

sin

 

 

 

 

cos

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7.

 

 

 

sin2

cos

2

 

.

8.

 

 

2

3

 

 

 

 

 

1

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

2

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

sin

2

 

 

 

 

 

cos2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

1

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

2

 

 

 

 

 

 

 

3

4

5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

9.

 

3

5

 

0

.

 

 

 

10.

 

2

3

4

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

3

1

 

 

 

 

 

 

 

1

2

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

4

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7

 

 

 

 

 

8

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

15

 

 

 

18

91

 

11.

 

 

2

 

1

 

 

3

.

 

 

 

 

12.

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

0

 

 

 

 

 

0

 

0

 

 

 

4

 

3

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

27

13

 

 

 

39

1

 

 

 

 

 

 

28

 

 

 

 

 

38

 

 

48

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

378

253

127

 

 

 

 

8

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

3

 

 

 

 

 

 

5

 

 

7

 

 

 

 

 

 

 

13.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

14.

 

 

 

377

252

126

.

 

 

4

 

14

 

 

 

 

 

19

 

 

24

 

 

 

 

7

 

5

 

 

 

 

 

 

3

 

 

1

 

 

 

 

 

3

 

3

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

a

 

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

1

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

15.

 

 

 

a

a

 

a

.

 

16.

 

0

 

 

 

x

 

 

1

 

.

 

 

 

 

 

 

a

a

 

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

1

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

1

 

2

 

 

4

 

 

 

 

3

1

 

 

 

 

 

2

 

4

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

17.

 

 

1

2

 

 

5

 

 

1

.

18.

 

0

0

 

 

 

 

 

1

 

6

.

 

 

 

7

0

 

 

9

 

 

9

 

2

1

 

 

 

 

 

3

 

1

 

 

 

 

13

1

 

17

 

 

4

 

 

 

 

2

 

2

 

 

 

 

 

3

 

1

 

 

 

3

 

 

2

3

2

0

 

 

3

2

1

3

 

19.

 

5

0

3

2

.

20.

4

1

2

3

.

 

 

4

0

1

5

 

 

3

2

1

2

 

 

 

1

6

2

1

 

 

4

1

3

1

 

 

Ответы. 1. 17.

2. –2. 3. –7. 4. -11. 5. 2a. 6. 1. 7.

sin( + ) sin( - ).

8. 21. 9. 10. 10. 0. 11. 33. 12. 0. 13. 0. 14. 0. 15. -4a3. 16. -2x. 17. 0. 18. 75. 19. 102. 20.- 187.

1.2.Матрицы

1.Даны матрицы А2 3, В3 1, С3 3. Существуют ли а) АВ, б) ВА, в) АС, г) СА, д) АBC, е) ACB, ж) СВ, з) СВА?

2. Найдите

m и n,

если

известно, что

а)

А3 4 В4 5

=

Сm n;

б) А2 3 Вm n = С2 6; в) А2 m Вn 3 = С2 3.

 

 

 

 

 

 

3. Даны матрицы:

A

1

 

2

, B

2

4 .

 

 

 

 

 

 

 

3

 

4

 

5

6

 

 

 

 

Найдите а) A+B; б) В-А; в) 2А-3В; г) А+В+АТТ; д) А В; е) В А;

ж) A-1;з) B-1.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

0

 

1

 

1

2

1

0

1

 

 

 

A

 

 

 

 

 

 

 

4. Даны матрицы:

2

1

 

2 , B

3

1

, C 3

1

2 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

2

0

1

1

Найдите а) АВ; б) ВА; в) АС; г) СВ; д) 2С-ВА; е) С-1; ж) СС-1; з) 3С-

2Е; и) СЕ; к) АЕ.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5. Даны матрицы:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

2

3

 

7

 

5

0

 

1

 

1

 

 

A 2

6 0 , B 4 0 11 , C 8

 

1 .

 

 

3

1

1

 

2

 

3

4

 

2

 

7

 

 

Найдите 4А-В; АС; В-1.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6. Покажите, что A+D-DT = 0,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

a 1

a2

– 1

 

1

1

 

1

 

 

если A

1

a

0

b2

c

, D

a

b

 

c .

 

 

 

1 a2

c b2

 

0

 

a2

b2

c2

 

 

7. Найдите An для матрицы A

1

1 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

1

 

 

 

 

 

4

8. Найдите Р(А), если

а) P(x)=x2-x-3,

A

2

1

,

 

 

 

 

 

 

3

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

1

1

 

 

 

 

 

 

б)P(x)=x2-2x+1, A

3

1

2

,

 

 

 

 

 

 

 

1

 

1

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5

2

3

 

 

 

 

 

в) P(x)=x3-7x2+13x-5,

A

1

3

1 .

 

 

 

 

 

 

 

 

2

2

1

 

 

 

 

 

9. Решите матричные уравнения:

 

 

 

 

 

а) XA = B, где

A

3

 

2 , B

2

 

4

,

 

 

 

 

5

 

4

 

6

8

 

 

 

б) AX = B, где

A

4

 

6

, B

2

5

,

 

 

 

 

 

2

1

 

1

3

 

 

 

 

в) AXB = C, где A

1

2

, B

2

 

3

, C

 

 

2

3

 

 

4

 

1

 

 

 

 

 

 

 

1

2

 

3

 

 

 

г) AX = B и YA = B, где

A

3

2

 

4

, B

 

 

 

 

 

 

2

1

0

 

 

 

д) 2A-3X = B, где

A

2

 

1 ,

B

5

 

2

,

 

 

 

5

3

 

1

 

 

3

 

 

 

 

1

 

2

6

 

 

 

 

 

е) 3A+2X = E, где

A

4

3

8

,

 

 

 

 

 

 

 

2

 

2

5

 

 

 

 

 

1

 

3

,

4

 

2

1

3

0

 

10

2

7

,

10

7

8

 

2

1

3

 

1

1

 

1

0

 

ж) AX+B = C, где A 4

2

5

, B

2

6

, C

5

6

,

0

0

1

 

1

4

 

0

1

 

з) XA-2B = C, где

 

 

 

 

 

 

 

1

1

1

 

2

1

1

 

1

0

5

 

 

 

, B

, C

A 0

1

1

3

0

6

1

2 1 .

0

0

1

 

 

 

 

 

 

 

 

5

 

10. Найдите ранги следующих матриц:

 

 

 

 

 

 

 

0

0

0

0

 

 

1

3

5

7

 

4

0

3

 

1

а)

,

б) 1 3 5 7 ,

в) 1 0 3 1 ,

0 0 0 0

 

 

 

 

 

 

 

1

3

5

7

 

5

0

3

 

1

 

1

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

г)

2 2

,

 

 

д)

3 2

,

 

е)

2 3

,

 

 

 

3

3

 

 

 

 

4

1

 

 

 

4

6

 

 

 

 

4

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

4

1

 

 

2

3

 

1

 

2

2

 

1

1

 

 

 

 

 

 

4

3

 

1

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ж) 2

 

1 4 ,

з)

3

4

 

2 ,

и)

8 5

 

3 4 .

 

1

10

6

 

 

1

2

 

4

 

3

3

 

2

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

1

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

11.

A

1

2

0 . При каких

rA = 2?

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

2

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

12.

A

2

 

2

. При каких а) rA = 1, б) rA = 2, в) rA = 3?

 

 

 

 

3

6

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

13. Найдите собственные значения и собственные векторы квад-

ратных матриц:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

4

 

 

 

 

5

21

 

 

 

2

 

3

 

3

а)

;

 

 

б)

;

 

в)

2 1

 

1 ;

5 2

 

 

1 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

0

 

3

 

3

 

4

0

 

 

1

0

 

0

 

5

2

 

3

 

г)

2

1 0 ;

д) 2

1 1 ;

е) 4 5

 

4 ;

 

2

 

1

2

 

 

4

5

 

3

 

6

4

 

4

 

 

7

2

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ж)

 

2

6

 

2 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0 2 5

и покажите, что собственные векторы матрицы (ж) ортогональны.

Ответы. 1. а), в), е), ж) – да; б), г), д), з) – нет. 2. а) 3;5, б) 3;6,

в) m=n — любые натуральные числа. 3. а)

3

2

, б)

1

6

,

2

10

8

2

6

в)

 

 

 

4

16

,

г)

 

6

 

0

,

д)

 

 

 

12

 

16

,

 

 

е)

14 20

 

21

10

 

 

 

0

 

20

 

 

 

 

 

26

36

 

 

 

 

 

 

23

34

 

 

1 4

 

2

 

 

1

 

6 4

 

 

 

 

 

3

8

 

 

 

1

2

 

3

ж)

 

, з)

 

 

. 4. а)

, б)

 

11 1

 

5

 

2

 

3

 

1

 

 

8

 

5

2

1

9

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

2

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

1

 

2

 

 

1

4

 

 

1

2

1

 

 

 

 

1

1

1

1

в)

 

, г)

 

 

0 11 , д)

5 1

 

1

, е)

 

3

1 1

5

1

 

2

 

 

 

 

2

 

 

 

 

3

3

 

 

4

4

 

6

 

 

 

3

1

1

 

 

 

 

 

1

0

3

 

 

 

 

 

 

 

 

3

13

12

 

 

 

 

 

11

 

20

ж) E, з)

9 1

6 , и) C, к) A. 5.

4

 

24

11 ,

 

 

46

 

8

 

 

 

 

 

0

3

5

 

 

 

 

 

 

 

 

10

 

1

 

8

 

 

 

 

 

13

 

5

 

1

 

33

20

 

55

 

1

n

 

 

 

 

 

2

4

 

 

 

 

 

5

0

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6

 

28

 

77 .

7.

0

1 .

8. а)

 

12

6

 

, б)

 

 

5

1

1

 

261

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

12

 

31

20

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

2

0

 

0

0

0

 

 

6

4

 

 

1

 

8

23

 

 

 

1

 

 

25

 

25

в)

 

0 0 0 . 9. а)

, б)

 

, в)

 

 

 

 

 

32

 

18

16 0 2

 

70 26

 

2

 

0

0

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

3

 

2

 

 

 

3 0 , е)

 

 

1

3

 

9

г) X = A-1B, Y = BA-1, A-1 =

 

8 6

 

5 , д)

 

 

6

4 12

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7

5

 

4

 

 

 

3

1

 

 

 

 

3

3

 

7

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

,

,

,

,

,

,

,

 

1

10

57

0

1 12

 

ж)

12

14 , з)

. 10. а) 0, б) 1, в) 2, г) 1, д) 2, е) 1, ж)

8

5

1

0

 

8

40

 

 

 

 

 

 

 

3, з) 2, и) 4. 11. 2. 12. а) -4, б)

-4, в) ни при каких. 13. а) -2; 7; (-4;5),

(1;1), б) -2; 8; (-3;1), (7;1), в) -1; 3; 4; (1;1;0), (-9;7;4), (-3;2;0), г) -1;2;5; (3;3;-2), (0;0;1), (6;-3;4), д) -2;1;4 (0;-1;1), (1;0;-2), (0;1;5), е) 1;2;3; (1;1;2), (1;0;1), (1;2;2), ж) 3;6;9.

1.3.Системы линейных уравнений

1.Решите системы по формулам Крамера, матричным способом, методом Гаусса:

а)

7x

2 y

8,

б)

3x

4 y

11,

в)

2x1

3x2

1

0,

5x

3y

19;

2x

5 y

8;

3x1

4x2

1

0;

 

 

 

7

x1

3x2

x3

2,

2x1

x2

x3

0,

x y z 6,

 

г) 2x1

4x2

3x3

3,

д) 3x1

2x2

x3 5,

е) 2x

3y

4z

21,

3x1

2x2

5x3

13;

x1

x2

x3

6;

7x

y

3z

6;

4x 2 y z 6,

 

2x 3y 2,

 

3x y 2z 1,

ж) x 3y 2z 5,

 

з) 3x y 2z 5,

и) x 3y

1,

 

3x y 4z 5;

 

x y 3z

2;

x 2 y 3z 7.

2. Исследуйте системы и в случае совместности решите их методом Гаусса или Жордана-Гаусса:

а)

в)

д)

ж)

и)

а)

6x1

3x2

4x3

3,

 

3x1

x2

2x3

5;

 

2x

3y

1,

 

 

3x

4 y

1,

 

 

7x

y 6,

 

 

5x

3y

2;

 

 

3x1

2x2

3x3

3,

 

x1

2x2

4x3

9,

 

2x1

7x2

x3

0,

 

3x1

8x2

x3

1;

 

2x1

3x2

x3

x4

2,

7x1

2x2

x4

3,

 

3x1

x2

x3

2x4

7,

3x1

8x2

2x3

x4

5;

4x1

3x2

x3

5,

 

2x1

x2

2x3

3,

 

3x1

4x2

3x3

10,

 

8x1

9x2

4x3

17.

 

7x1

x2

2x3

5;

 

б)

2x1

3x2

x3

x4

4 0,

 

x2

x3

x4 6 0;

 

 

 

 

 

 

 

 

3x1

2x2

3x3

5,

 

 

 

г) x1

3x2

4x3

1,

 

 

 

 

7x1

7x2

2x3

0;

 

 

 

 

x1

x2

2x3

2x4

2,

 

е)

3x1

2x2

x3

x4

 

1,

 

5x1

3x2

4x3

2x4

4,

 

 

7x1

4x2

7x3

5x4

7;

 

2x1

3x2

5x3

x4

 

x5

0,

з)

x1

2x2

3x3

2x4

 

2x5

3,

4x1

7x2

x3

5x4

 

3x5

1,

 

 

 

5x1

9x2

4x3

7x4

5x5

8;

 

x1

2x2

x3

x4

x5

1,

 

2x1

5x2

6x3

5x4

x5

0,

к) x1

2x2

x3

x4

x5

3,

 

 

x1

3x2

2x3

2x4

 

x5

1,

 

x1

4x2

x3

x4

x5

3.

 

3. Решите однородные системы уравнений:

3x1

2x2

x3

0,

2x1

3x2

x3

0,

5x1

4x2

3x3

0,

б) x1

x2

x3

0,

4x1

3x2

2x3

0;

5x1

5x2

x3

0;

8

2x1

 

x2

x3

3x4

 

0,

 

 

 

 

 

 

 

 

x1

x2

x3

x4

0,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

в) 5x1

 

4x2

 

x3

 

8x4

 

 

0,

 

 

 

 

 

 

 

г) x1

x3

5x4

0,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x1

x2

2x3

x4

 

0;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x1

2x2

x3

 

3x4

0;

 

 

 

 

 

 

 

 

x1

3x2

x3

x4

 

0,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7x1

 

5x2

 

x3

 

5x4

 

 

0,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

д) 3x1

 

x2

x3

2x4

 

0,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5x1

 

7x2

 

x3

 

4x4

 

 

0.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ответы.

1.

 

а)

(2;3),

б) (-1;2),

в) (1;-1),

г) (2;-1;1),

 

 

д) (4;5;-3),

е) (0;3;-3), ж)

(2;1;0),

 

з)

(1;0;-1), и)

(-1;0;2).

2. а) (с;-

 

7

 

;

9

-

 

3

 

с),

б) (с 1 ;

 

5

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

с 2 ; c1

 

2c2

 

5 ;

c1

c2

 

1 ), в) (1; -1), г) Ø, д) (1; 0; 2), е) (5с-5;7с-7;с;0),

ж) Ø, з) Ø, и) (0; -1; 2), к) (

 

c

; 1

c

 

;0; 1

c

; c ). 3. а) (с; -2с; с), б) (0; 0;

2

2

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0),

 

 

 

 

 

в)( c;

 

1

c;0;

3

c ),

 

 

 

 

 

г)( c ; c

 

 

; c

 

 

5

c

 

;

 

1

c

 

),

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

4

 

 

 

 

 

 

1

 

 

2

1

 

4

 

2

 

4

 

2

 

д) ( c ; c

 

;

c1

5c2

;

4 c1

 

c2

).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

3

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

9

Глава 2. ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА

2.1.Линейные операции над векторами

1.Даны точки А(3;2;0), В(4;0;1), С(-5;0;2), D(-8;6;-1). Проверьте,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

AB

 

 

 

 

CD или АВ

CD . Какой из векторов длиннее и во сколько

раз?

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2.

 

При каких

значениях

и

векторы а

 

 

i

j

3k

 

и

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

b

12i

 

3 j

 

 

 

k коллинеарны?

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3.

По данным векторам а и b

постройте векторы 2 а , -3 b ,

 

а

b ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

а b ,

3а

2b .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4.

 

Постройте

параллелограмм на

векторах

ОА

 

i

 

 

j

 

и

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ОВ

 

 

к

 

 

3 j , найдите длины его диагоналей.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5.Даны три последовательные вершины параллелограмма А(1;-2;3), В(3;2;1) и С(6;4;4). Найдите его четвертую вершину D.

6.Вектор длины 23 составляет с осями координат равные острые углы. Найдите эти углы.

7.Вектор составляет с осями ОY и ОZ углы 60и 120 . Какой угол он составляет с осью ОX?

8.На оси ОZ найдите точку, равноудаленную от А(4;-1;2) и

В(0;2;-1).

9.Покажите, что АВСD – параллелограмм, если А(0;2;-3), В(3;1;1),

С(4;-5;2), D(1;-4;-2).

10. Докажите, что АВСD — трапеция, если AB а 2b ,

BC 4a b , CD 5a 3b .

11.Определите координаты центра тяжести треугольника АВС, ес-

ли А(5;1;12), В(11;3;8), С(2;5;0).

12.Найдите орт вектора a (12;-4;3) и его направляющие косинусы. Острые или тупые углы образует вектор с осями координат?

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ответы. 1. CD длиннее в 3 раза; AB

CD . 2. -4; -9. 4.

6 ;

18 .

5. (4;0;6).

 

6. arccos

1

 

. 7. 45 или 135 . 8.

0;0;

8

. 11.

6;3;

20

. 12.

 

 

 

3

3

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

12

;

 

4

;

 

3

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

13

13

13

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

10

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]