Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Владивостокский государственный университет экономики и сервиса

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

sb_zad_VM_all

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

13.04.2015

Размер:

2.43 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 65 6 > Следующая >>>

б) z

ln( x

);

в) u x

;

y z

г) z

arctg

;

2 z

y 2

2 z

(x2

) y2

д) z e x ;

е) z

ln( x

y );

2 z

x y

ж) z xe

; x2

2xy

x y

6. Составьте уравнения касательной плоскости и нормали к поверхностям:

а)	z	2x2		4 y2	в точке		(2;1;4);
б)	z	3y2		9xy	y	в точке (1;3;3);
в)	z	sin	y	в точке		(1;	;0).
			x

7.2. Экстремумы функций двух переменных

Исследуйте на экстремум следующие функции:

7.	z x2		xy y2	2x 3y .
8.	z	4(x y) x2		y2 .
9.	z	x3	8 y3 6xy 5 .

10.	z	x3		xy 2	6xy .
11.	z	3 ln		x	2 ln y	ln(12 x	y) .
11.	z	3 ln		6	2 ln y	ln(12 x	y) .
				6
12.		x	(x y2 ) .
12.	z	e 2	(x y2 ) .
Найдите наибольшее и наименьшее значения функции в области D:
		x2		y2		x	0,
13.	z	x2		y2	xy x	y, D : y	0,
						x	y 3.

14. z	x2		xy,	D :	1	x	1,
				0		y	3.
		x2			y		x2	,
15. z		x2	xy,	D :	y		3	,
15. z	2		xy,	D :			3
	2				y	3.
					y	3.
16. z	x2		y2 ,	D : x2		y2		4.
							x	1,
17. z		xy(4 x		y),	D :		y	0,
							x	y 6.

7.3. Производная по направлению. Градиент

18.

Как изменяется функция z

2x3 y 3x2 y2 в точке

(

1;2) в на-

правлении

8 j ?

19.

ln(2x2

y3 ). Найдите направление наибольшего возрастания

функции z в точке

(3;1).

20.

arcsin xy. Найдите угол между градиентами этой функции в

точках

(1;0) и (0;4).

21. Найдите точку, в которой градиент функции z

ln(x

) равен

22.

Найдите

наибольшую

скорость возрастания

функции

arctg (xy 2 )

в точке (2;1).

23.

Сравните скорость изменения функции z

2x2

xy в точке

(

1;2)

в направлении

3i 4 j

и в направлении b

4 j. Како-

ва наибольшая скорость изменения функции в точке А? Каково направ-

ление наибольшего возрастания функции?
	Ответы. 1. а) единичный круг с центром в					начале		координат;
б) полуплоскость, расположенная над прямой					x	y 0;	в)	вся плос-
кость		за	исключением	начала координат;	г)	квадрат			1	x 1,
1	y	1;	д) часть плоскости, расположенная выше параболы						y	x2 ;
е)	вся	плоскость за		исключением точек	прямых		x=1		и	y=0.

2. a)

3(x2

ay),

3( y2 ax);

б)

2 y

;

x (x y)2

(x y)2

в)

;

г)

;

д)

;

е)

)

esin

;

ж)

yx y

x y ln x;

з)

cos

;

y x2

sin

и)

ctg

;

x e

cos x ;

2 y

ctg

3. a) 0,96; б) 4,998; в)-0,3. 6.

;

б) 27x 9y z 3 0;

x 1 y 3 z 3

;

в)

x y z 0;

1 y

. 7.

zmin

(

;

)

zmax

8 .

zmin (1;

)

10.

zmin (

3 ,

zmax (

3 .

11.

zmax (6;4)

5ln 2

3,47.

12.

zmin

( 2;0)

13.

3;0)

z(0;

3);

1).

14.

z(1;3) ,

1;3) .

15.

13,5 z( 3;3);

4,5

z(3;3) . 16.

2;0)

z(2;0) ;

z(0;2)

z(0;

2).

17.

;

);

z(3;3).

18.

Убывает,

15,2.

19.

20.

900.

21.

(

;

);

(

;

22.

0,82.

23.

2 (убывает),

(возрастает),

наиб.

5 в на-

правлении

Глава 8. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

8.1.Дифференциальные уравнения 1-го порядка

1.Проверьте, является ли указанная функция решением данного уравнения:

a) y	Cx, y x y 0 ;	б)	y	sin x, y	y	0 ;
в) y	sin x 2 cos x, y cos x y sin x 1;			Cx4, xy		x2		.
в) y	sin x 2 cos x, y cos x y sin x 1;	г)	y	Cx4, xy	4 y	x2	y	.

Проинтегрируйте дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными. Если даны начальные условия, найдите частные решения:

ydy

xdx

0, y(3)

5 .

(2x

5)dy

ydx

0, y(0)

3, y(6)

10 .

0, y(0) 4 .

1 x

2 y x 9 y2

0 ,

3xdx 2xdy

dy .

y(0) 0 .

y sec5x

0, y( )

y tgx

1, y

10.

, y(e) 1.

11. (xy2

x)dx

( y

x2 y)dy

0 .

ln x

Проинтегрируйте однородные дифференциальные уравнения:

12.

2xyy

4x2 .

13.

(x y)dx

(x y)dy 0 .

14.

(2xy

y2)dx

(2xy

x2)dy

0 .

15.

xdy

ydx

ydy .

16.

xtg

0 .

17.

25x2 y2 .

18.

xy cos

y cos

x .

19.

y(1

ln y

ln x) .

Проинтегрируйте линейные дифференциальные уравнения и уравнения Бернулли:

20.

2 y 4x .

21.

5x4 y

ex5 .

22.

ytgx

sec x, y(0) 0 .

23.

y sin x

sin x sin

24.

ln x

25.

xy 2 0 .

26.

y3e

0 .

27.

y 2 ln x .

y 2

4x(x

0 .

x 2

28.

29. xy

y .

30. Определите тип дифференциального уравнения:

а) x 3 y

y( y 2

x 2 ) ;

б) y

e 2 x

e x y ;

в) y

y 1

;

г) (x 2

1) y xy x(x 2 1) ;

д)

2x 3 y 3

2xy ;

е)

xdy

ydx

0 ;

ж)

x 2

y 2

;

з)

;

x 2

и)

y cos x

y sin x ;

к)

(1 x 2 )dy

2xydx

0 .

Ответы. 1. а) да;

б) нет; в) да; г) нет.

2. y2

C ;

y 2

x2 16 .

3. y

;

y 2

6x C ;

6x 64 .

2x 5

;

4 x

x2 .

3sin(C

1 x2 ) ;

ln C(2x

3sin(

1) .

Cesin 5 x ;

sin5x

C sin x 1;

2 sin x

10.

11. (1 x2 ) (1 y2 ) C .

12.

13.

arctg

C .

14.

xy(x

16.

x sin

C .

17.

5x sin ln Cx . 18.

sin

20.

y Ce 2 x

2x 1 .

21.

y (x C)ex5 .

23.

2sin

24.

y ln x

y	C ln x ;		y				ln x .
	y2	4x2		Cx 0 .
	15.	ln y			x		C .

					y
					y
x	C .	19.	y				xeCx .
		y					x
	22.								.
	22.					cos x			.
25.		y					1	.

				x ln Cx


26.	y2		ex2			.	27.	y(ln x 1 Cx) 1 . 28.	4x2 y2 Ce 2 x .
26.	y2					.	27.	y(ln x 1 Cx) 1 . 28.	4x2 y2 Ce 2 x .
			2x	C
29.		x4 (ln					C)2 . 30. в), е), к) – с разделяющимися переменными;
29.	y	x4 (ln			x		C)2 . 30. в), е), к) – с разделяющимися переменными;

а), ж), з) – однородные; б), г), и) – линейные; д) – Бернулли.

8.2. Дифференциальные уравнения, допускающие понижение порядка

Найдите общие решения или общие интегралы дифференциальных

уравнений:

y x sin x .

y IV

x .

y 0 .

(1 x 2 ) y

y 2

1 0 .

y ln

x 2 y

1 .

y 2 .

2 y 3

y 2 y

y 2 .

10. yy

y (1

y )

0 .

Найдите решения, удовлетворяющие заданным начальным

словииям:

11.

y y 3

y=1, y =1 при x=0,5.

12.

y 2

1; y=1, y =1 при x=0.

13.

y (1

ln x)

2 ln x; y=0,5, y =1 при x=1.

14.

15.

2. y

y y 2 y ( y xy xy 2 y

Ответы. 1. y

x5 C1x3

120

1) 0; y=2, y =2 при x=0. 0; y=2, y =1 при x=2.

6 sin x c1x c2 .

C x2	C x C	4	. 3. y C C	2	ln	x	.
2	3	4	1	2

																								x	1
4. y (1 C 2 ) ln							x C					C x C			. 5. y (C x C 2 )eC1										1
4. y (1 C 2 ) ln							x C					C x C			. 5. y (C x C 2 )eC1										C	2	.
				1					1				1	2					1			1				2
6. y	1	(ln			x	)2		C ln			x		C	. 7. 1 C y2						C	2	C1x		2	. 8.	y C eC2 x .
	1																					C1x		2

	2							1					2				1					2					1
	2																	1				2
9. x	1		ln			y			C			. 10.		y C eC2 x						. 11. 2 y 2					4x2		1.
9. x	1		ln			y			C			. 10.		y C eC2 x						. 11. 2 y 2					4x2		1.
	C1				y C1				2						1			C2
	C1				y C1													C2
										x2			. 14. y 2e			x							x2
12. y x 1 . 13.								y									. 15.		y 2 ln						.
12. y x 1 . 13.								y	2								. 15.		y 2 ln				4		.
									2														4

8.3. Линейные дифференциальные уравнения 2-го и высших порядков с постоянными коэффициентами

Найдите общие решения линейных однородных дифференциаль-

ных уравнений:
1. y' ' 16 y 0 .	2. y' ' 3y' 0 .
3. y' ' 2y' 3y 0 .	4. y' ' 4y' 4 y 0 .
5. y' ' 16 y 0 .	6. y' ' 4y' 20y 0 .
7. 4y'' 8y' 5y 0 .	8. y IV	4 y' ' 0 .
9. y' ' ' 3y' ' 3y' y 0 .	10. yVI	3y IV 4 y' ' 0 .

Найдите частные решения уравнений, удовлетворяющие указан-

ным начальным условиям:
11.	y' '	3y'	2y	0 ; y(0)=1, y' 0	1 .
12.	y' '	4 y	0 ;	y 0 0, y' 0	2 .

Определите вид частных решений неоднородных дифференциальных уравнений:

13. y' '	2 y'	x2	1 .	14. y' '	y'	3xe x .
15. y' '	y'	3xe	x .	16. y' '	4 y	x3	3 .
17. y' '	4 y	cos 2x .		18. y' '	3y'	4 y'	x sin x 2 cos x .
19 y' '	6 y'	9 y	e3x .	20. y' '	2 y'	5y	xe x cos 2x x 2 e x sin 2x .

Найдите общие решения линейных неоднородных дифференциальных уравнений:

21. y' '	4 y'	4 y	x 2 .	22. y' '	2 y' y		e2 x .
23. y' '	y	e x .		24. y' '	y	cos x .
25. y' '	y'	6 y	xe 2 x .	26. y' '	y'	2y	8sin 2x .
27. y' '	y'	5x	2e x .	28. y' '	2 y'	y	e x e x .
29. y IV	2 y' ' '		y' ' e x .	30. y IV	y' ' '		cos 4x .

Найдите частные решения, удовлетворяющие заданным начальным условиям:

31.	y' '	y' 2 1		x	; y 0		y' 0	1 .
32.	y' '	2 y'	ex	x	1	; y 0	y' 0		2 .
33.	y' ' 4y		sin x ; y 0				y' 0	1 .
34.	y' ' ' 2y' '		2y'		y	x ; y 0		y' 0	y' ' 0 0 .

Ответы. 1.

C e 4 x

e4 x . 2. y

e 3x .

3. y

C e x

e3x . 4.

2 x C

x . 5. y

C cos 4x

sin 4x .

6. y

e 2 x

C cos 4x

sin 4x . 7.

C cos

sin

8. y

C x

C cos 2x

C sin 2x . 9.

x2 .

10.

2 x

cos x

sin x . 11.

e x .

12. y

sin 2x . 13. Ax 2

C x . 14.

B ex

. 15.

B xe x .

16. Ax3

Bx3

D . 17.

Acos 2x

B sin 2x x .

18.

B sin x

D cos x . 19. Ae3x x2 .

20. xe x

Ax 2

C cos 2x

Dx2

F sin 2x .

21.

y C C

x e2 x

2x2

4x 3 . 22. y C C

x e x

e2 x .

23.

C ex

e x

xe x . 24.

C cos x

sin x

x sin x .

25. y C e2 x

e 3x

e2 x .

26.

C ex

e 2 x

3sin 2x

cos 2x .

27.

y C C

e x

5x . 28. y C C

e x

ex .

29. y C C

x C C

ex .

30.

C x2

e x

4 cos 4x

sin 4x . 31. y

ex x2 .

1088

32.

e2 x

. 33.

cos 2x

sin x

sin 2x .

34. y

e x

e 2

cos

sin

2 .

Глава 9. РЯДЫ

9.1. Числовые ряды

Напишите простейшую формулу n-го члена ряда:

1. 1		1						1				1			...						2. 1			1	1	1			...

		3						5				7												4	9	16
		3						5				7												4	9	16
3.	1	1						1						1	...						4.	3		4	5			6	...
3.															...						4.								...
2		4						6				8										4		9	16	25
5. 1		2						3				4			...						6. 1			1	1 1	1 1 ...

		2						4				8
		2						4				8
		По известному общему члену ряда an найдите 1-й, 4-й и 7-й члены ряда:
7. an					3 n 2										8. a		( 1)n n								9.		an				2 ( 1) n 1
							n2									n
												1							2n														n 2
												1							2n														n 2
		Исследуйте сходимость рядов с положительными членами:
10.			1					2					n		11.			n			1				12.					1


	n 1 n 5															n 1 3n 1											n 1 2n 1
13.				2n											14.				n		1		n		15.								1



	n 1 n															n 1 2n 1											n 1					n(n 1)
	n 1 n															n 1 2n 1																n(n 1)
16.			sin							1					17.			1												(n			1)		2
															17.	n 2 n ln n									18.					(n			1)
											2
	n 1								n																								n
	n 1																										n 1			3			n
																											n 1			3
								3n							n					n			2n 1		21.										1
19.															20.
																																	1) ln 2 (n

																											n 1 (n										1)
	n 1					3n						1				n 1			3n		1						n 1 (n										1)
22.			ln					1				1			23.			n!							24.										1
22.			ln					1							23.	n 1 n n									24.
	n 1												n			n 1 n n											n 1 (3n						2)(3n				1)
25.				1											26.				n						27.					arcsin				1
25.															26.	n 1 3n3									27.					arcsin
	n 1 n!															n 1 3n3					1						n 1									n
28.								n 2							29.				3n		1		n		30.					3n


	n 1 2n 2											1				n 1 2n 3											n 1 n!

Исследуйте сходимость знакочередующихся рядов. В случае сходимости исследуйте на абсолютную и условную сходимость.

31.				( 1) n 1										32.						( 1) n 1									33.							( 1) n n
31.	n 1 2n 1													32.			n 1					n 2							33.					n 1 6n 5
	n 1 2n 1																n 1					n 2												n 1 6n 5
34.				(		1) n								35.					(		1)n n								36.					(			1)n 1			n			1		n
34.	n 1													35.			n 1				3n								36.					(			1)n 1			2n 1
	n 1				4n 3												n 1				3n													n 1						2n 1
		(			1)			n	3		n								(		1)		n		ln n												1)n 1tg						1
37.		(			1)				3					38.															39.					(									1

	n 1 n 2

										2							n 1						n											n 1								n n
40.				( 1) n n 2										41.						( 1) n									42.									( 1) n
40.	n 1 3n					2					2			41.			n 1 (n						1)!						42.					n 1 (n				1) ln(n					1)
	n 1 3n					2					2						n 1 (n						1)!											n 1 (n				1) ln(n					1)
		Ответы.							1.			1				.	2.		1			.	3.			1		.	4.			n		2			.	5.	n		.		6.	1		n 1	.

													2n	1					n2								2n					n		1 2					2n 1
7.	1	;	10		;		19				.	8.		1	;		1	;			7			.		9. 3;				1	;			3	. 10. Сходится.									11. Рас-
	2	17				50								2			4				128								16				49

ходится. 12. Расходится. 13. Расходится. 14. Сходится 15. Расходится. 16. Сходится . 17. Расходится. 18. Сходится. 19. Расходится. 20. Сходится . 21. Сходится . 22. Расходится. 23. Сходится. 24. Сходится. 25. Сходится. 26. Сходится. 27. Расходится. 28. Расходится. 29. Расходится. 30. Сходится. 31. Сходится условно. 32. Сходится абсолютно. 33. Расходится. 34. Сходится условно. 35. Сходится абсолютно. 36. Сходится абсолютно. 37. Расходится. 38. Сходится условно. 39. Сходится абсолютно. 40. Расходится. 41. Сходится абсолютно. 42. Сходится условно.

9.2. Степенные ряды

Найдите интервалы сходимости степенных рядов, исследуйте сходимость на концах интервалов:

1.		x n .				2.	x n		.
1.		x n .				2.			.
n	0					n 1 n2 n
			1 n 2n 1 2 x n .				x n
4.						5.		.
4.						5.		.
n 1						n 1	n!
			n	x	n		x 3 n
7.					.	8.				.
7.			n 1	2	.	8.	n5n			.
n 1			n 1	2		n 1	n5n
n 1						n 1

		1 n 1 x n
3.			.

	n 1	n

6.n! x n .

n 1

		x	1	2n
9.					.
9.	n 1		n9n		.
			n9n

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 65 6 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
13.04.2015222.7 Кб36Pабочая программа_История Тригуб Г. Я..pdf
#
07.11.2018141.82 Кб2Pабочая программа_История.doc
#
13.04.2015890.16 Кб16Rimskoe_chastnoe_pravo_Barinova_M_A__Maximenk.pdf
#
13.04.2015658.01 Кб25Rimskoe_chastnoe_pravo_Konspekt_lektsy_Smirnov.pdf
#
21.08.2019116.22 Кб2S.P.E.C.I.A.L.- Vadik..doc
#
13.04.20152.43 Mб15sb_zad_VM_all.pdf
#
13.04.20153.21 Mб31Sito_Matematika.doc
#
13.04.2015869.89 Кб14STO_1_005-2007.doc
#
13.04.2015258.16 Кб18task6.pdf
#
13.04.20151.13 Mб31tekst.pdf
#
13.04.2015109.28 Кб54Tema_2.docx