§4. Распределение Пуассона.

Пусть производится n независимых испытаний, в каждом из которых событие А может появиться либо не появиться. Вероятность появления события А в каждом испытании равна p. Для определения вероятности k появлений событий в этих испытаниях используют формулу Бернулли. Если же n велико, то пользуются асимптотической формулой Лапласа. Однако эта формула непригодна, если вероятность события мала

( р < 0,1 ).

Пусть производится большое число испытаний, в каждом из которых вероятность появления события А равна p ( р < 0,1 ).Найдем вероятность того, что событие наступит k раз. Сделаем допущение: сохраняет постоянное значение (среднее число появлений события в различных сериях испытаний, т.е. при различныхn остается неизменным). Находим: . По формуле Бернулли. Приняв во внимание, чтоn велико, вместо найдем:=

=

=

Формула, выражающая закон распределения Пуассона вероятностей массовых (n велико) и редких ( р мало) событий: =

Существуют таблицы по которым можно найти , знаяи.

	Условие	n	р	k
1	Завод отправил на базу 5000 доброкачественных изделий. Вероятность того, что в пути изделие испортится, равна 0,0002. Найти вероятность того, что на базу прибудут 3 негодных изделия.	5000				0,0613
2	Прядильщица обслуживает 1000 веретен. Вероятность обрыва нити на одном веретене в течение 1 мин. равна 0,001. Найти вероятность того, что в течение 1 мин. обрыв произойдет на двух веретенах.
3	Телефонная станция обслуживает 400 абонентов. Для каждого абонента вероятность того, что в течение часа он позвонит на станцию, равна 0,01. Найти вероятность того, что в течение часа 5 абонентов позвонят на станцию.
4	Прядильщица обслуживает 1000 веретен. Вероятность обрыва нити на одном веретене в течение 1 мин. равна 0,002. Найти вероятность того, что в течение 1 мин. обрыв произойдет б о л е е чем на трех веретенах.					*

* =……………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………..

Ряд распределения закона Пуассона имеет вид:

	0	1	2	…	k	…
				…		…

§5. Геометрическое распределение

Пусть производится n независимых испытаний, в каждом из которых событие А может появиться либо не появиться. Вероятность появления события А в каждом испытании равна p (0 < p <1) и, следовательно, вероятность его непоявления q = 1- p. Испытания заканчиваются, как только появится событие А. Таким образом, если событие А появилось в k- испытании, то в предыдущих k-1 испытаниях оно не появлялось.

Обозначим Х – дискретную случайную величину – число испытаний, которое нужно провести до первого появления события А. Возможными значениями Х являются натуральные числа: . Пусть в первыхk - 1 испытаниях событие А не появилось, а в k-ом испытании наступило. Вероятность этого сложного события по теореме умножения вероятностей независимых событий равна

Полагая k =1, 2, ……, получим геометрическую прогрессию с первым членом р и знаменателем q

( 0< q <1) : ………………………………………………………………………………………………….

Ряд геометрического распределения случайной величины имеет вид:

	1	2	3	…	k	…
	р	p·q		…		…

Легко убедиться, что ряд вероятностей сходится и сумма его равна 1:

.

	Условие	р	q	k
1	Из орудия производится стрельба по цели до первого попадания в цель и его р = 0,6. Найти вероятность того, что попадание произойдет при третьем выстреле.	0,6			0,096
2	Производится подбрасывание игрального кубика до первого выпадения шести очков. Какова вероятность того, что первое выпадение шестерки произойдет при втором подбрасывании кубика?

Условие	Проводится проверка большой партии деталей до обнаружения первой бракованной (без ограничения числа проверенных деталей). Составить закон распределения числа проверенных деталей, если вероятность брака для каждой детали равна 0,1.	Из орудия производится стрельба по цели до первого попадания. Составить закон распределения числа попаданий, если вероятность попадания равна 0,6.
Закон	1 2 3 4 … k … … …	1 2 3 4 k
Вычисления