Тема 7: Нелинейное программирование
Задание 1
Составить модель
задачи по определению оптимального
плана производства n
типов машин при заданных объемах
ресурсов,
норм расхода
(i=1,…,
m,
j=1,
..., n)
i-го
ресурса на производство j-й
машины и величинах
(j=1,
…, n)
прибыли при реализации одной машины
j-ого
вида. Предполагается, что к концу
планируемого периода не должно быть
незавершенного производства.
Решение
Задание 2
Имеются суда m
типов в количествах
,
на каждом из которых имеютсяn
грузовых емкостей с грузоподъемностью
.
Подлежат перевозкеp
типов грузов в количестве
.
Составить математическую модель задачи
по выбору оптимального состава судов,
если затраты по эксплуатации одного
суднаi-ого
типа равны
.
Решение
Задание 4
Используя метод множителей Лагранжа, найти максимальное значение следующих функций:
1) При ограничении
Решение
Составим функцию Лагранжа:
Продифференцируем ее по переменным
Приравнивая полученные выражения нулю, получим следующую систему уравнений:
Решим полученную систему:
Ответ:
2) При ограничении.
Решение
Составим функцию Лагранжа:
Продифференцируем ее по переменным
Приравнивая полученные выражения нулю, получим следующую систему уравнений:
Решим полученную систему:
Ответ:
3) При ограничении.
Решение
Составим функцию Лагранжа:
Продифференцируем ее по переменным
Приравнивая полученные выражения нулю, получим следующую систему уравнений:
Решим полученную систему:
Ответ:
4) При ограничении.
Решение.
1) Ищем стационарные точки для безусловного экстремума. Для этого продифференцируем Z по ее переменным:
Приравниваем полученные выражения к нулю и решаем систему
Находим значения функции Z в точках, удовлетворяющих ограничениям:
2) Составим функцию Лагранжа:
Продифференцируем ее по переменным
Приравнивая полученные выражения нулю, получим следующую систему уравнений:
Решим полученную систему:
Сравним результаты 1) и 2)
Ответ:
5) При ограничении.
1) Ищем стационарные точки для безусловного экстремума. Для этого продифференцируем Z по ее переменным:
Приравниваем полученные выражения к нулю и решаем систему
Находим значения функции Z в точках, удовлетворяющих ограничениям:
2) Составим функцию Лагранжа:
Продифференцируем ее по переменным
Приравнивая полученные выражения нулю, получим следующую систему уравнений:
Решим полученную систему:
Сравним результаты 1) и 2)
Ответ:
Задание 5
В области решений
системы неравенств 2x+5y≤30,
2x+y≤14,
x≥0,
y≥0
определить глобальные экстремумы
функций: а)
;
б) 
.
Решение
а) Построим область допустимых решений.
|
1: |
A |
B |
|
2: |
A |
B |
|
x |
|
|
|
x |
|
|
|
y |
|
|
|
y |
|
|
Построим линию уровня:
Линия - _______________________________________________________
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
Получим систему и решим ее:
Ответ:
б) Область допустимых решений такая же, что и в а).
Построим линию уровня:
Линия - _______________________________________________________
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
Получим систему и решим ее:
Ответ:
Задание 6
В области решений
системы неравенств
,
,x+y≥8,
x≥0,
y≥0
определить глобальные экстремумы
функций: а) z=x+3y,
б) z=x+y,
в)
,
г)z=xy.
Решение
а) Построим область допустимых решений.
Построим линию уровня:
Линия - _______________________________________________________
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
Получим систему и решим ее:
Ответ:
б) Область допустимых решений такая же, что и в а).
Построим линию уровня:
Линия - _______________________________________________________
__________________________________________________________________
Получим систему и решим ее:
Ответ:
в) Область допустимых решений такая же, что и в а).
Построим линию уровня:
Линия - _______________________________________________________
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
Получим систему и решим ее:
Ответ:
б) Область допустимых решений такая же, что и в а).
Построим линию уровня:
Линия - _______________________________________________________
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
Получим систему и решим ее:
Ответ: