Приближенные методы расчета статически неопределимых рам

Усилия в статически неопределимых системах зависят от соотношений в размерах поперечных сечений. Важно обоснованно задаться размерами поперечных сечений. Для этого и служат приближенные методы расчета. Приближенныминазывают такие методы расчета, при применении которых вводятся больше упрощений, чем в классических методах расчета. Дополнительные допущения дают возможность сократить объем вычислений и исключить решение систем канонических уравнений.

Консольный метод(расчет на горизонтальную нагрузку)

Метод дает быстрое решение с возможной ошибкой 100 – 200%. Применяется для предварительного определения сечений.

Малопролетная высокая рама заменяется консольной балкой, нагруженной узловой горизонтальной нагрузкой. Усилия в стойках определяются по формуле:

(1)

гдеМ– изгибающий момент, как в консольной балке, для сечения, проведенного через середины стоек (рис. 1,б);у_i – расстояние от нейтральной оси до оси стоек (рис. 1,в);A_i– площадь поперечного сечения стойки;

–момент инерции сечения рамы (рис. 1).

Нулевые точки в эпюре изгибающих моментов рамы располагают в середине пролетов ригелей и высот стоек (рис. 1, а). На первом этаже нулевую точку в эпюре изгибающих моментов располагают на расстоянии 2h/3 от нижней заделки. Относительно этой же точки определяетсяМдля формулы (1).

Получив значения в стойках, из условия равновесия определяют поперечные и нормальные силы в ригелях и строят эпюры М, N, Q.

Пример 1.Рассчитать консольным методом двухпролетную трехэтажную раму, показанную на рис. 2. Рама имеет одинаковое поперечное сечение для всех стоек (A_i = A).

Определяем положение нейтральной оси:

Вычисляем момент инерции сечений стоек относительно нейтральной оси z, пренебрегая моментами инерций сечений стоек относительно местных осейz_i:I_z = I = ΣI_zi + ΣA_i ΣA_i = A(5²+1²+4²) = 42A.

Усилия в стойках находим по формуле (1):

Откладываем эти значения на эпюре N(рис. 2,в).

На эпюре Мотмечаем нулевые точки. Вырезаем узелВ. Действие отброшенной части заменяем внутренними усилиями (рис. 3,а).

Из рассмотрения рис. 3, анаходимQ_P3= –N₁₃= –4,76 кН; а из условияM_C=Q₁₃·2 –N₁₃·3 = 0 находимQ₁₃ = 7,14 кН. Тогда Σx=N_P3–Q₁₃+ 20 = 0 иN_P3 =Q₁₃– 20 = –12,86 кН. Далее определяемM_B=Q₁₃ ·2 = 14,28 кН. Откладываем это значение изгибающего момента в узлеВ.

Проводим прямую линию через полученные точки и нулевые точки (рис. 2, б) ригеляР3и стойки13. Затем, рассматривая узелД, определяемQ_P6= –3,81 кН;Q₃₃= 2,86 кН;N_P6 = –2,86 кН;М_Д=Q₃₃·2 = 5,72 кН·м.

Рассматривая равновесие узла Ерамы (рис. 2,а), находимQ₂₃= 10 кН; моменты на концах средней стойкиМ= 14,28 + 5,72 = 20 кН·м.

Узел, показанный на рис. 3, б, должен находиться в равновесии. Следовательно, Σу=N₁₃–N₁₂–Q_P2 =0, тогдаQ_P2 = –9,53 кН.

Из условия, что точка К– нулевая точка, имеем

M_K = Q₁₃·4 + Q_P2 ·3 +N_P2 ·2 = 0,

откуда находим нор-мальную силу

N_P2 = 0.

Поперечная сила Q₁₃ = 7,14 кН была определена ранее.

Затем из рис. 3, бопределяем попереч-ную силуQ₁₂:

Q₁₃=Q₁₂= 7,14 кН.

Продолжая вычисления аналогичным образом, строим эпюры изгибающих моментов М,нормальных Nи поперечных Q сил (рис. 2,б, в, г).

Метод моментных нулевых точек(расчет на горизонтальную нагрузку)

Этот метод более точен по сравнению с консольным методом.

В основе метода лежат следующие допущения:

1. Ветровая нагрузка, распределенная непрерывно по высоте рамы, заменяется узловой.

2. Нулевые моментные точки принимаются посередине высот стоек, для стоек первого этажа – на расстоянии 2h_эт /3 от нижней заделки.

3. Сумма вышележащих горизонтальных сил для каждого этажа распределяется по стойкам пропорционально отношению моментов инерции стоек и кубу их высоты h_n:

(2)

где ; ΣF– сумма вышележащих горизонтальных сил.

4. Построив эпюры моментов в стойках, строят эпюры в ригелях.

Изгибающие моменты в ригелях у крайних узлов определяются из условий равновесия узлов. У средних узлов рамы сумму моментов в примыкающих к узлу стойках распределяют по смежным пролетам ригеля пропорционально их погонным жесткостям.

Пример 2.Рассмотрим верхний этаж рамы, изображенной на рис. 2. Пусть все стойки этажа имеют одну высотуhи одинаковый момент инерцииI(рис. 4,а).

Для верхнего этажа имеем

C_n = C₁₃ = C₂₃ = C₃₃ = I / h³; ΣF = 20 кН; ΣC_i = 3C_n = 3I / h³, тогда

Эти значения поперечных сил откладываем на эпюре Q(рис. 4,в).

Прикладывая поперечные силы в нулевых точках соответствующих стоек, определяем изгибающие моменты в стойках (рис. 5, а).

Рассматривая равновесие узлов ВиД, определяем изгибающие моменты в ригелях в этих точках (рис. 5,а). Затем вырезаем узелЕ(рис. 5,б). Известный изгибающий момент в стойке23равный 13,34 кН·м распределяем по ригелямР 3иР 6пропорционально ихпогонным жесткостямi_Pn:

гдеl_Pn– длины ригелей. Тогда i_P3 = 2I / 6 = I / 3; i_P6 = 2I / 3 или i_P6 / i_P3 = 2.

В этом случае М_ЕД= 2М_ЕВ, ноМ_ЕД + М_ЕВ= 13,34 кН·м, откуда

М_ЕВ= 4,45 кН·м, аМ_ЕД = 8,9 кН·м.

Зная изгибающие моменты в ригелях, находим соответствующие поперечные силы в этих же ригелях

При определении поперечных сил применялось правило знаков для поперечных сил.

Затем можно найти нормальные силы N_P6иN₂₃из условий равновесия узлаЕ(рис. 5,б):

По аналогии рассматриваем нижележащие этажи рамы.