Сущность и методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений

Уравнения, в которые неизвестная функция входит под знаком производной или дифференциала, называются дифференциальными уравнениями.

Обыкновенным дифференциальным уравнением называется такое уравнение, в котором неизвестная функция является функцией одной переменной.

Порядком дифференциального уравнения называется наивысший порядок производной, входящей в уравнение.

Общий вид обыкновенного дифференциального уравнения N-го порядка:

F(x, y⁰, y', y'', … , y⁽ⁿ⁾ ) = 0, (1)

где:- x - неизвестная переменная; - y - неизвестная функция; - y', y'', … , y⁽ⁿ⁾ - производные неизвестной функции.

Уравнение N-го порядка, разрешённое относительно старшей производной, может быть записано в виде:

y⁽ⁿ⁾ = f(x, y, y', y'', … , y^{(n - 1)} ). (2)

Решением (или интегралом) уравнения (2) называется всякая дифференцируемая функция y = (x), которая обращается в тождество после подстановки её в уравнение (2).

Численное решение дифференциального уравнения означает нахождение неизвестной функции y = (x) не в аналитическом виде, а в виде приближённых значений этой функции в отдельных точках, то есть в форме таблицы.

Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений, возможно, такими методами, как метод Эйлера, модифицированный метод Эйлера - Коши, которые относятся к семейству методов Рунге - Кутта, собственно метод Рунге - Кутта и другими методами.

Метод Эйлера приемлем в основном для ориентировочных расчётов ввиду малой его точности, но идеи, положенные в его основу, являются исходными для ряда других более точных методов. Этот метод принято считать методом Рунге - Кутта первого порядка.

Модифицированный метод Эйлера - Коши несколько повышает точность решения и его принято считать методом Рунге - Кутта второго порядка.

Метод Рунге - Кутта является методом четвёртого порядка, обеспечивает требуемую точность решения и является наиболее популярным. Для получения таблицы приближённых значений искомой функции y = (x) по этому методу применяются следующие расчётные формулы:

Алгоритм численного решения обыкновенного дифференциального уравнения методом Рунге - Кутта

Варианты заданий к лабораторной работе № 5

№ п/п	Функция f(x)	№ п/п	Функция f(x)
1		16
2		17
3		18
4		19
5		20
6		21
7		22
8		23
9		24
10		25
11		26
12		27
13		28
14		29
15		30

Примечание: для всех вариантов x0 = 0 и y0 = 0. Границы отрезка [a, b] рекомендуется выбирать в пределах от 0 до 5.

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 6

Обработка массивов данных

Цель работы:овладеть навыками составления, ввода, отладки, исполнения и оформления программных модулей формирования и обработки массивов данных (сортировки и поиска по заданному алгоритму).

Время на выполнение работы - 6 часов.

Содержание работы: