Задача 2

Механическая система состоит из прямоугольной вертикальной пли­ты 1массойт₁ = 24кг и грузаDмассойт₂ = 8кг; плита или движется вдоль горизонтальных направляющих (схемы 0 – 4), или вращается вокруг вертикальной осиz, лежащей в плоскости плиты (схемы 5 – 9).

В момент времени t₀ = 0груз начинает двигаться под действием внутренних сил по имеющемуся на плите желобу. Закон его движения:s = AD = F(t)задан в табл. 7.7, где s выражено в метрах,t – в секундах. Форма желоба (схемы 0, 1, 8, 9) прямолинейная (желобКЕ), для схем 2 – 7 (s = ADотсчитывается по дуге окружности)– окружность радиусаR = 0,8м с центром в центре массС₁плиты

Плита для схем 0 – 4 имеет в момент t₀ = 0скоростьи₀ = 0. Плита для схем 5 – 9 имеет в момент времениt₀ = 0угловую ско­ростьω₀ = 8с^-1; в этот момент на плиту начинает действовать вращаю­щий моментМ(момент относительно осиz),заданный в табл. 7.7 в ньютонометрах и направленный какω₀ приМ > 0и в противоположную сторо­ну приМ < 0.Ось zпроходит от центраС₁плиты на расстоянииb; размеры плиты показаны на схемах.

Считая груз материальной точкой и пренебрегая всеми сопротивле­ниями, определить величины, указанные в табл. 7.7 (х₁ – перемещение плиты за время от t₀ = 0доt₁ =1с,u₁– скорость плиты в момент времениt₁ = 1с, N₁ – полную сила нормального давления плиты на направляющие в момент времениt₁ = 1с, указать, куда сила направлена;ω₁ – угловую скорость плиты в момент времениt₁ =1с,ω =f (t) – угловую скорость плиты как функцию времени.

На всех схемах груз показан в положении, при котором s = AD > 0; при s < 0груз находится по другую сторону от точкиА.

Указания.Это задача на применение теорем о движении центра масс и об изменении количества движения и кинетического момента системы. Теоремой о движении центра масс целесообразно воспользоваться в зада­че, где нужно определить поступательное перемещение одного из тел сис­темы (или реакцию связи), а теоремой об изменении количества движе­ния – когда нужно определить скорость такого тела. Теорема об измене­нии кинетического момента применяется в задачах, где нужно найти уг­ловую скорость или закон вращения одного из тел системы.

При решении задачи учесть, что абсолютная скорость () груза слагает­ся из относительной () и переносной () скоростей (определяются так же, как при решении задачи 3 по кинематике),т.e. =+. Тогда количество движения груза:т=т+т, а моменттотносительно осиzпо теореме Вариньона (статика) будет:т_z (т)=т_z (т)+т_z (т). Эти моменты вычисляются так же, как моменты силы.

Момент инерции плиты относительно оси C₁z', направленной так же, как ось z(схемы 5 – 9), но проходящей через центр массС₁плиты, равняется:m₁l²/12 где l – ширина плиты. Для определения момента инерции I_zотносительно оси zвоспользовать­ся теоремой Гюйгенса о моментах инерции относительно параллельных осей. Осьzпри изображении чертежа провести на том расстоянииbот центраС₁,которое указано в табл. 7.7.

Варианты схем к задаче 2

	0)	1)
2) 4) 6) 8)		3) 5) 7) 9)

Таблица 7.7

Номер варианта условий	s = F(t)		Схемы 0 – 4	s = F(t)		Схемы 5 – 9
	Схемы 0 и 1	Схемы 2 – 4	Найти	Схемы 5 – 7	Схемы 8 и 9	b	M	Найти
1	2	3	4	5	6	7	8	9
0			x1				8
1			u1				0
2			N1
3			u1				0
4			x1				0
5			N1				-12
6			u1				0
7			x1				0
8			N1
9			x1				0

Пример решения задачи 2

К вертикальной плите 1массойт₁с помощью невесомого стержняBDдлиной lприкреплен грузDмассойт₂(рис. 7.7).В момент времениt₀ = 0стержень начинает вращаться вокруг точкиВтак, что расстояниеs = ADизменяется по закону s = F (t),где s – в метрах,t – в секундах.

Плита движется по горизонтальным направляющим, и при t₀ =0 ее скоростьи = и₀.

Дано: т₁ = 12кг;m₂ =6кг;l =0,8м;t₁ =2с;

. (1)

Определить: 1) перемещение х₁плиты за время от t₀ = 0до t = t₁; 2) скоростьи₁; 3) реакцию N₁; 4) угловую скоростьω.

1.Определение перемещения х₁плиты за время от t₀ = 0до t = t₁

Решение

Рассмотрим механическую систему, состоящую из плиты и груза. Изобразим действующие на нее внешние силы: силы тяжести, и суммарную реакцию направляющих. Проведем координатные осихутак, чтобы осьупрошла через начальное положение центра масс плиты. Для определениях,воспользуемся теоремой о движении центра массСсистемы и составим дифференциальное уравнение его движения в проекции на ось х,обозначая массу системы черезт:

, или , так как

.

Интегрируя это уравнение, получим:

, (2)

где С₁иС₂ – постоянные интегрирования.

Из формулы, определяющей абсциссу х_Сцентра масс, следует, что для рассматриваемой системытх_С =т₁х +т₂х_D, гдех – абсцисса цент­ра масс плиты, определяющая одновременно ее положение,х_D – абсцисса груза D.Из рис. 7.7 видно, чтох_D =х – lsinφ, где

и. (3)

В результате, найдя значение mx_С и подставив его в (2),получим:

. (4)

Для определения постоянных С₁иС₂понадобится еще одно уравне­ние, которое получим, продифференцировав обе части равенства (4) по времени. Получим:

, (5)

где – скорость плиты. По начальным условиям при t = 0 х =0,₀ = 0.Подставив эти величины в равенства (5)и (4),получим:С₁ =0,С₂ =–т₂l.При найденных значенияхС₁иС₂из равенства (4)оконча­тельно получим:

.

Этот результат дает зависимость х от t.Полагая здесь t = t₁ = 2с, найдем искомое перемещениех₁.

Ответ: х₁ = -0,4м (плита переместится влево).

2.Определение скоростии₁

Решение

При тех же условиях (1)найдем ско­ростьи₁плиты в момент времени t₁ = 2с. Рассматриваем опять механическую систему, состоящую из плиты и груза, и изображаем действующие на нее внешние силы , и реакцию; проводим осиху(рис. 7.8).Восполь­зуемся теоремой об изменении количества движения системы, учитывая, что для рассматриваемой системы , где и – количества движения плиты и груза соответственно. Составляя уравнение в проекции на осьх,получим:

, или ,

так как

.

Отсюда следует, что

или

(6)

Для определения v_Dxрассмотрим движение груза как сложное, счи­тая его движение по отношению к плите относительным, а движение са­мой плиты – переносным движением. Тогда, где числен­но и. Покажем вектор(рис. 7.8), направив его перпендикулярно BD в сторону положительного отсчета sилиφ, и опреде­лим проекцию вектора на осьх; получим::v_Dx = u_х -u_отн cosφ, где

и. (7)

В данной задаче v_Dxможно еще найти, определив абсциссу точки D, т.е. (рис. 7.7);тогда, где,,а значениеcosφдает равенство (7).

При найденном значении v_Dxравенство (6),если учесть, чтои_х = и, а, примет вид:

. (8)

По начальным условиям при t = 0 и = 0,что даетС₁ = 0,и оконча­тельно из (8)находим:

.

Этот результат определяет зависимость иот t.Полагая здесьt=t₁ = 2с, найдем искомую скоростьu₁.

Ответ: и₁ =-0,48 м/с (скорость направлена влево).

3.Определение реакции N₁

Решение

При тех же условиях (1)найдем реакцию (N₁)направляющих в момент времени t₁ = 2с. Опять рассмотрим механическую систему, состоящую из плиты и грузаD,и изобразим действующие на нее внешние силы, и реакцию (см. рис. 7.7).Для определенияN₁, воспользуемся теоремой о движении центра масс системы и составим дифференциальное уравнение его движения в проекции на осьy:

или , (9)

где т – масса системы;Р₁ =m₁g; Р₂ =m₂g. Из формулы, определяющей ординату (у_С) центра масс системы, следует, что для рассматриваемой системы:ту_С = т₁у_С1+ т₂у_D,где (как видно из рис. 7.7)у_С1 = h,y_D = 2h – lcosφ.Тогда, используя равенство (7),получим:

.

Вычисляя производные и учитывая, что h=const, получим:

;

.

Подставив найденное значение в равенство (9),найдем зависимость N отtи из нее, полагая t =t₁ = 2с, определим искомую величинуN₁.

Ответ: N₁ = 197,3 H.

4.Определение угловой скоростиω

Плита вращается вокруг оси z, лежащей в плоскости плиты (рис. 7.9), и в момент времениt₀ = 0,ког­да угловая скорость плиты равнаω₀, на нее начинает действовать вращаю­щий моментМ.

Дано: дополнительно к усло­виям (1):ω₀ = 5с^-1;М =kt, гдеk = 10Н·м/с.

Определить: ω = f(t) – зави­симость угловой скорости плиты от времени.

Решение

Рассмотрим механичес­кую систему, состоящую из плиты и груза D. Изобразим действующие на нее внешние силы: силы тяжести,, реакции и подпятника и подшипника и вращающий моментМ.Для определенияωприменим теорему об изменении кинетического момента системы относительно осиz. Предварительно заметим, что, так как силыипараллельны осиz, а реакции и эту ось пересекают, то их моментыотносительно оси z равны нулю. Тогда , и согласно теореме имеем:

или. (10)

Умножая обе части этого уравнения на dtи интегрируя, получим:

. (11)

Для рассматриваемой механической системы

, (12)

где и – кинетические моменты относительно оси zплиты и гру­заDсоответственно. Поскольку плита вращается вокруг осиz,то

, где . (13)

Для определения рассмотрим движение груза как сложное, считая его движение по отношению к плите относительным, а вращение плиты вокруг оси z – переносным движением. Тогда, и по теореме Вариньона имеем:

. (14)

Но вектор лежит в одной плоскости с осьюz и, следовательно,. Векторнаправлен перпендикулярно плите (как осьх,если осьув плоскости плиты); по модулю. Тогда. Но из рис. 7.9 видно, что.Взяв значениеsinφ из формулы (3)и подставив все най­денные величины в равенство (14),получим:

. (15)

Зная и (формулы (13)и (15)),найдем из равенства (12) значение;тогда уравнение (11)примет вид:

или при числовых значениях задачи

. (16)

Постоянную интегрирования определим по начальным условиям: при t = 0 ω = ω₀ = 5с^-1;получимС₁ = 128.При этом значенииС₁из уравнения (16)находим искомую зависимостьω от t.

Ответ: .

Примечание.Из полученного результата можно найти и значениеω₁, при t = t₁.Но если по условиям задачи одновременноМ = 0,то уравнение(10)даетK_z=const, и тогда проще не искать зависимостьωот t в общем виде, а сначала определить положение грузаDпри t = 0(т.е. уголφ₀) и вычислить значениеК_z0приφ =φ₀, иω=ω₀с помощью ра­венств, аналогичных (11) – (15);затем определить положение груза приt = t₁, (уголφ₁) и тем же путем найтиК_z1 приφ =φ₁, иω=ω₁.

Так, в рассмотренном примере при t = 0будетφ₀ =π/2 и DD₁ =2l(рис. 7.9),а приt = t₁ = 2с будетφ₁ =–π/6 иDD₁ = l/2.Тогда

.

Значение ω₁ находится из равенства: .