Задача 4

Вертикальный вал АК(схемы 0 – 9),вращающийся с постоянной угловой скоростьюω = 10с^-1, закреплен подпятником в точкеАи цилиндрическим подшипником в точке, указанной в табл.7.9 (АВ = BD = DE = ЕК = b). К валу жестко прикреплены невесомый стержень 1длинойl₁ = 0,4м с точечной массойm₁ =6 кг на конце и однородный стержень 2длиной l₂ = 0,6м, имеющий массут₂ = 4кг; оба стержня лежат в одной плоскости. Точки крепления стержней к ва­лу и углыαи β указаны в табл. 7.9.

Пренебрегая весом вала, определить реакции подпятника и подшип­ника. При окончательных подсчетах принять b = 0,4м.

Указания.Это задача на применение к изучению движения систе­мы принципа Даламбера. При решении задачи учесть, что когда силы инерции частиц тела (в данной задаче стержня 2)имеют равнодействую­щую, то численно=ma_C,гдеa_C – ускорение центра массСстерж­ня, но линия действия силыв общем случае не проходит через точкуС.

Варианты схем к задаче 3

Таблица 7.9

Номер варианта условий	Подшипник в точке	Крепление		α, град	β, град	Номер варианта условий	Подшипник в точке	Крепление		α, град.	β, град
		стержня 1 в точке	стержня 2 в точке					стержня 1 в точке	стержня 2 в точке
1	2	3	4	5	6	1	2	3	4	5	6
0	В	D	К	30	45	5	D	К	B	30	45
1	В	В	E	45	60	6	Е	В	К	45	30
2	E	D	В	60	75	7	К	Е	В	60	75
3	К	D	E	75	30	8	D	Е	К	75	60
4	В	Е	D	90	60	9	Е	К	D	90	45

Пример решения задачи 4

Сневесомым валомАВ, вращающимся с постоянной угловой ско­ростьюω, жестко скреплен стерженьOD длиной lи массойm₁, имеющий на конце груз массойт₂(рис. 7.11).

Дано: b₁ = 0,6м;b₂ = 0,2м;а = 30°; l = 0,5м;

т₁ = 3кг,m₃ = 2кг,ω=6c^-1.

Определить: реакции подпятника 4 и подшипника В.

Решение

Для определения искомых реакций рассмотрим движение механической системы, состоящей из вала АВ,стержня ODи груза, и применим принцип Даламбера. Проведем вращающиеся вместе с валом осиАхутак, чтобы стержень лежал в плоскостиху, и изобразим действующие на систему внешние силы: силы тяжести , , составляющие,ре­акции подпятника и реакциюподшипника.

Согласно принципу Даламбера присоединим к этим силам силы инерции элементов стержня и груза, считая груз материальной точкой. Так как вал вращается равномерно (ω =const), то элементы стержня име­ют только нормальные ускорения , направленные к оси вращения, а численно равны: , где – расстояние элемента от оси. Тогда силы инерции будут направлены от оси вращения и численно , где – масса элемента. Поскольку все пропорциональ­ныh_k,то эпюра этих параллельных сил образует треугольник, и их можно заменить равнодействующей ,линия действия которой проходит через центр тяжести этого треугольника, т.е. на расстоянииН₁от вершиныО, где.

Но, как известно, равнодействующая любой системы сил равна ее главному вектору, а численно главный вектор сил инерции стержня равен: , гдеа_С – ускорение центра масс стержня. При этом, как и для любого элемента стержня,а_С =а_Сп =ω²h_С= ω²O csinα(ОС = l/2).В ре­зультате получим:

H.

Аналогично для силы инерции груза найдем, что она тоже направ­лена от оси вращения, а численно равна: H.

Так как все действующие силы и силы инерции лежат в плоскос­ти ху,то и реакции подпятникаЛи подшипникаВтоже лежат в этой плоскости, что было учтено при их изображении.

По принципу Даламбера, приложенные внешние силы и силы инер­ции образуют уравновешенную систему сил. Составляя для этой плоской системы сил три уравнения равновесия, получим:

; (1)

; (2)

(3)

Подставив сюда числовые значения всех заданных и вычисленных величин и решив эту систему уравнений, найдем искомые реакции.

Ответ: X_A = –11,8Н;Y_A = 49,1 Н;X_B = –19,7 H.

Знаки «минус» указывают, что силы инаправлены противоположно показанным на рис. 7.11