§ 4.3. Дебаевский радиус, дебаевский слой

 Каждая заряженная частица в плазме взаимодействует с другими заряженными частицами. Поэтому распределение потенциала электростатического поля выделенной частицы и окружающих её частиц зависит от пространственного расположения этих частиц. В поле данной частицы плотность заряженных частиц в равновесии должна быть распределена по закону Больцмана 

n = n₀ exp (- e / T ) ,  (4.6)

 где  n₀ – концентрация частиц невозмущенной плазмы вдали от выделенной частицы,  - потенциал электростатического поля. Напишем теперь уравнение Пуассона (в сферической системе координат) для поля частиц плазмы, окружающих выделенную частицу: 

(1/ r) ² (r) /r²= - 4e (Zn_i - n_e), (4.7)

где n _i, e – концентрация ионов и электронов плазмы соответственно, Z – кратность ионизации иона плазмы. Для определенности считаем , что плазма состоит из электронов и одинаковых положительно заряженных ионов с одинаковой кратностью ионизации. Учтем, что плотности электронов и ионов в поле выделенной частицы подчиняются закону Больцмана (4.6), и предположим, что температуры Т _e и Т _i  распределений электронов и ионов плазмы могут быть разными. Ограничиваясь линейным приближением, т. е. cчитая /e /<< Т _e,i, разложим входящие в распределения Больцмана экспоненты в ряд. Учитывая квазинейтральность плазмы, т. е. выполненным условие 

Zn_0i =  n_0e, получим упрощенное выражение для уравнения Пуассона: 

(1/ r) ² (r) /r² = 4Ze²  (n_0e Т_e + n_0i Т_i)/ Т_e Т_i =   / d²,  (4.8)

где обозначено 

d = (Т_e Т_i / 4Ze²(n_0e Т_e + n_0i Т_i)) ^½ – радиус Дебая – Хюккеля.  (4.9)

Решение уравнения (4.8) имеет следующий вид: 

 = qe^-r/d /r - потенциал Дебая – Хюккеля (4.10)

где q – заряд выделенной нами « пробной » частицы. Если это положительно заряженный ион с кратностью ионизации Z, то q =Z|e|.

 Вблизи частицы, на расстояниях r << d, потенциал поля совпадает с потенциалом поля, создаваемого частицей в вакууме (  ≈ q/ r), а на расстояниях r >> d поле экспоненциально быстро затухает. В этом случае говорят, что на таких расстояниях от частицы плазма экранирует создаваемое частицей электрическое поле. Поэтому уравнение (4.8) иногда называют уравнением экранировки. 

Поместим в плазму плоский электрод, имеющий потенциал по отношению к другому плоскому электроду,  удаленному от первого на расстояние x>>d (рис .4.2). Примем для простоты, что плазма является изотермической Т _e = Т _i , и состоит из электронов и однозарядных ионов с кратностью ионизации Z = 1, так что условие квазинейтральности записывается теперь в виде  n _0 i =  n _0 e =  n₀ . Тогда уравнение Пуассона для распределения потенциала вблизи электрода с учетом (4.6) будет следующим

Е/  x=- ²  /x² = 4  e (n_i - n_e) (4.11)

 Предполагается, что ось х системы координат перпендикулярна к электроду. 

Решение этого уравнения в предположении, что e /T << 1, имеет следующий вид: 

E = E₀ e ^-x/ d ,

где E₀ – напряженность поля на поверхности пластины, расположенной при х = 0. 

Мы видим, что напряженность электрического поля, проникающего в плазму, экспоненциально быстро затухает. Характерной величиной длины затухания является, так называемый, пространственный масштаб разделения зарядов:

D = (T/8ne²)^1/2  (4. 12)

Пространственный масштаб разделения зарядов – это значение длины, ниже которого разделение зарядов может стать уже заметным. Для плазмы с линейным размером L должно выполняться условие L >>D

 Более сложная картина возникает, если в плазму помещено изолированное незаряженное тело (например, пластина, см. рис. 4.3). 

Такое тело в плазме должно заряжаться, причем, ввиду гораздо большей подвижности электронов, обычно оно приобретает отрицательный – так называемый плавающий – потенциал. Вблизи пластины возникает сложное распределение потенциала, качественно показанное на рис. 4.3, причем в этой области возникает дебаевский слой с существенным разделением заряда. Размер этого слоя примерно равен дебаевскому радиусу (4.9). Однако поле, согласно результатам расчетов, проникает в плазму гораздо дальше, образуя вблизи пластины « предслой » квазинейтральной плазмы. Теория этой структуры сложна и здесь ее обсуждать не будем. 

Плавающий потенциал, который приобретает тело, хорошо описывается формулой:

/e₀ / = T_e ln(m_iT_e/ m_eT_i)/2 (4. 13)