
§ 4.3. Дебаевский радиус, дебаевский слой
Каждая заряженная частица в плазме взаимодействует с другими заряженными частицами. Поэтому распределение потенциала электростатического поля выделенной частицы и окружающих её частиц зависит от пространственного расположения этих частиц. В поле данной частицы плотность заряженных частиц в равновесии должна быть распределена по закону Больцмана
n = n0 exp (- e / T ) , (4.6)
где n0 – концентрация частиц невозмущенной плазмы вдали от выделенной частицы, - потенциал электростатического поля. Напишем теперь уравнение Пуассона (в сферической системе координат) для поля частиц плазмы, окружающих выделенную частицу:
(1/ r) 2 (r) /r2= - 4e (Zni - ne), (4.7)
где n i, e – концентрация ионов и электронов плазмы соответственно, Z – кратность ионизации иона плазмы. Для определенности считаем , что плазма состоит из электронов и одинаковых положительно заряженных ионов с одинаковой кратностью ионизации. Учтем, что плотности электронов и ионов в поле выделенной частицы подчиняются закону Больцмана (4.6), и предположим, что температуры Т e и Т i распределений электронов и ионов плазмы могут быть разными. Ограничиваясь линейным приближением, т. е. cчитая /e /<< Т e,i, разложим входящие в распределения Больцмана экспоненты в ряд. Учитывая квазинейтральность плазмы, т. е. выполненным условие
Zn0i = n0e, получим упрощенное выражение для уравнения Пуассона:
(1/ r) 2 (r) /r2 = 4Ze2 (n0e Тe + n0i Тi)/ Тe Тi = / d2, (4.8)
где обозначено
d = (Тe Тi / 4Ze2(n0e Тe + n0i Тi)) ½ – радиус Дебая – Хюккеля. (4.9)
Решение уравнения (4.8) имеет следующий вид:
= qe-r/d /r - потенциал Дебая – Хюккеля (4.10)
где q – заряд выделенной нами « пробной » частицы. Если это положительно заряженный ион с кратностью ионизации Z, то q =Z|e|.
Вблизи частицы, на расстояниях r << d, потенциал поля совпадает с потенциалом поля, создаваемого частицей в вакууме ( ≈ q/ r), а на расстояниях r >> d поле экспоненциально быстро затухает. В этом случае говорят, что на таких расстояниях от частицы плазма экранирует создаваемое частицей электрическое поле. Поэтому уравнение (4.8) иногда называют уравнением экранировки.
Поместим в плазму плоский электрод, имеющий потенциал по отношению к другому плоскому электроду, удаленному от первого на расстояние x>>d (рис .4.2). Примем для простоты, что плазма является изотермической Т e = Т i , и состоит из электронов и однозарядных ионов с кратностью ионизации Z = 1, так что условие квазинейтральности записывается теперь в виде n 0 i = n 0 e = n0 . Тогда уравнение Пуассона для распределения потенциала вблизи электрода с учетом (4.6) будет следующим
Е/ x=- 2 /x2 = 4 e (ni - ne) (4.11)
Предполагается, что ось х системы координат перпендикулярна к электроду.
Решение этого уравнения в предположении, что e /T << 1, имеет следующий вид:
E = E0 e -x/ d ,
где E0 – напряженность поля на поверхности пластины, расположенной при х = 0.
Мы видим, что напряженность электрического поля, проникающего в плазму, экспоненциально быстро затухает. Характерной величиной длины затухания является, так называемый, пространственный масштаб разделения зарядов:
D = (T/8ne2)1/2 (4. 12)
Пространственный масштаб разделения зарядов – это значение длины, ниже которого разделение зарядов может стать уже заметным. Для плазмы с линейным размером L должно выполняться условие L >>D
Более сложная картина возникает, если в плазму помещено изолированное незаряженное тело (например, пластина, см. рис. 4.3).
Такое тело в плазме должно заряжаться, причем, ввиду гораздо большей подвижности электронов, обычно оно приобретает отрицательный – так называемый плавающий – потенциал. Вблизи пластины возникает сложное распределение потенциала, качественно показанное на рис. 4.3, причем в этой области возникает дебаевский слой с существенным разделением заряда. Размер этого слоя примерно равен дебаевскому радиусу (4.9). Однако поле, согласно результатам расчетов, проникает в плазму гораздо дальше, образуя вблизи пластины « предслой » квазинейтральной плазмы. Теория этой структуры сложна и здесь ее обсуждать не будем.
Плавающий потенциал, который приобретает тело, хорошо описывается формулой:
/e0 / = Te ln(miTe/ meTi)/2 (4. 13)