Вопросы для самоподготовки

1. Назовите и запишите основные динамические характеристики вращательного движения.

2. Дайте определение момента силы относительно произвольной точки О и наглядно изобразите тройку векторов: - радиус-вектора точки приложения силы,-силы и- момента силы.

3. Дайте определение момента импульса частицы относительно произвольной точки О и наглядно изобразите тройку векторов: - радиус-вектора частицы,- импульса частицы и- момента импульса частицы.

4. Сформулируйте определение момента инерции твердого тела относительно неподвижной оси. Что характеризует эта физическая величина?

5. Используя формулу (2.5) получите выражения для моментов инерции некоторых однородных тел правильной геометрической формы:

а) однородного тонкого стержня относительно оси, проходящей через центр тяжести стержня перпендикулярно ему;

б) однородного тонкого стержня относительно оси, проходящей через конец стержня перпендикулярно ему;

в) кольца относительно оси, проходящей через его центр перпендикулярно плоскости основания;

г) диска относительно оси, проходящей через его центр перпендикулярно плоскости основания;

д) шара относительно оси, проходящей через его центр.

6. Расскажите, как, используя теорему Штейнера, найти момент инерции тела относительно произвольной оси.

7. Сформулируйте законы Ньютона для вращательного движения.

8. Приведите примеры выполнения законов Ньютона для вращательного движения.

9. Запишите основной закон динамики вращательного движения для изолированной материальной точки, точки в системе, системы материальных точек и твердого тела.

10. Покажите аналогию между основными динамическими характеристиками поступательного и вращательного движения.

Примеры решения задач

2.1. Найти момент инерции тонкой однородной прямоугольной пластинки относительно оси, проходящей перпендикулярно к плоскости пластинки через одну из ее вершин, если стороны пластинки а и b, а ее масса m.

Дано: Найти:

a, J.

b,

m.

Решение:

Пластинка однородна, то есть ее плотность ρ одинакова по всему объему V. Тогда масса пластинки m=ρV=ρab (пластинка тонкая, поэтому ее толщину приняли за единицу).

Направим координатную ось x вдоль стороны b так, как показано на рис. 2.3. Нарежем пластинку на полоски шириной dx так, чтобы центр полоски имел координату x (рис. 2.3). Масса такой полоски:

dm=ρdV=ρadx, (1)

где dV- объем полоски. Расстояние от полоски до оси перпендикулярной поверхности пластинки и проходящей через точку О равно x. Для разных полосок расстояние x меняется от 0 до b.

Момент инерции dJ полоски относительно оси перпендикулярной поверхности пластинки и проходящей через точку О может быть найден как момент инерции стержня относительно оси, проходящей через центр тяжести стержня (точку С) перпендикулярно ему, с учетом теоремы Штейнера:

. (2)

C учетом (1) выражение (2) для момента инерции полоски примет вид:

. (3)

Момент инерции всей пластинки найдем интегрированием:

.

Ответ: .

2.2. Найти момент инерции однородного сплошного конуса относительно его оси симметрии, если масса конуса m и радиус его основания R.

Дано: Найти:

R, J.

m.

Решение:

Конус однородный и сплошной, то есть его плотность ρ одинакова по всему объему V конуса. Пусть h - высота конуса (рис. 2.4), тогда с учетом формулы для объема конуса его масса равна:

. (1)

Направим координатную ось y вдоль оси симметрии конуса так, чтобы начало координат совпадало с вершиной конуса O (рис. 2.4). Нарежем конус на диски радиусом r и толщиной dy так, чтобы центр диска О^/ имел координату y. Радиус r диска может быть выражен из подобия треугольников OO^/A и OO^//B:

. (2)

Масса dm диска радиусом r и толщиной dy с учетом выражения (2):

. (3)

Момент инерции диска dJ относительно оси, проходящей через центр диска перпендикулярно плоскости основания, с учетом выражений (2) и (3):

. (4)

Момент инерции всего конуса найдем интегрированием:

. (5)

C учетом выражения (1) для массы конуса формулу (5) приведем к виду:

.

Ответ: .

2.3. В установке (рис. 2.5) известны масса однородного сплошного цилиндра m, его радиус R и массы тел m₁ и m₂. Скольжения нити и трения в оси цилиндра нет. Найти угловое ускорение цилиндра и отношение натяжений T₁/T₂ вертикальных участков нити в процессе движения.

Дано: Найти:

m, 1.,

m₁, 2. T₁/T₂.

m₂,

R.

Решение:

Заданная система состоит из трех тел - грузов m₁ и m₂ и блока m. Груз m₁ находится под действием двух сил: силы тяжести и силы натяжения нити. Второй закон Ньютона для этого груза:

. (1)

Аналогично, рассматривая силы, действующие на груз , получим:

. (2)

Направив ось y вертикально вниз, запишем для каждого груза уравнение движения (1) и (2) в проекциях на эту ось:

(3)

, (4)

где Т₁ и Т₂ - силы натяжения нитей. : за счет этого обеспечивается вращающий момент, действующий на блок.

Ускорения обоих грузов считаем равными по модулю на основании нерастяжимости нити. Если нить не проскальзывает относительно блока, то касательное ускорение его точек, соприкасающихся с нитью, равно ускорению нити в любой ее точке, а, следовательно, и ускорению грузов:

, (5)

где ε - угловое ускорение цилиндра, R – радиус цилиндра. Согласно второму закону Ньютона для вращательного движения, модуль результирующего вращающего момента, приложенного к цилиндру равен:

, (6)

где M₁=R, M₂=R (согласно уравнению (2.1.)); и - силы, приложенные к ободу цилиндра; R - плечо силы, равное радиусу цилиндра. По третьему закону Ньютона, с учетом невесомости нити и. Учитывая вышесказанное, перепишем уравнение (6) в виде:

. (7)

Выражая =a_τ/R из соотношения (5) и учитывая, что момент инерции однородного диска , выражение (7) можно привести к виду:

. (8)

Совместное решение уравнений (3), (4), (5) и (8) относительно a_τ приводит к выражению:

. (9)

Тогда угловое ускорение цилиндра равно:

. (10)

Совместное решение уравнений (3), (4), (9) дает отношение натяжений вертикальных участков нити в процессе движения:

.

Ответ: 1) , 2).

2.4. Маховик, масса которого m=5 кг можно считать распределенным по ободу радиуса r=20 см, свободно вращается вокруг горизонтальной оси, проходящей через его центр, с частотой n=720 мин^-1 (рис. 2.6). При торможении маховик останавливается через промежуток времени . Найти тормозящий момент и число оборотов, которое сделает маховик до полной остановки.

Дано: Найти:

m=5 кг, 1. М,

r=20 см=0,2 м, 2. N.

n=720 мин^-1=12 с^-1,

.

Решение:

Рис. 2.6. к примеру решения задач 2.4.

Движение маховика равнозамедленное, поэтому тормозящий момент постоянен и согласно второму закону Ньютона для вращательного движения равен:

, (1)

где - изменение угловой скорости за интервал. Так как в конечный момент времени угловая скорость=0, то изменение угловой скорости за интервал времениравно угловой скоростив начальный момент торможения:

. (2)

Поскольку масса маховика распределена по ободу, то его момент инерции можно найти как момент инерции кольца:

. (3)

Подставив выражения (2) и (3) в (1), получим:

=0,75 Н/м. (4)

Очевидно, что векторы инаправлены в сторону, противоположную вектору. Угловое перемещение, пройденное маховиком до остановки, можно найти из уравнения равнопеременного вращательного движения:

. (5)

Формула зависимости угловой скорости от времени для равнозамедленного вращательного движения имеет вид:

. (6)

Выражая из формулы (6) и подставляя в (5), получим:

. (7)

Учитывая, что и подставляя (2) в (7), можно выразить искомое число оборотовN, которое маховик сделает до полной остановки:

об.

Ответ: 1) M=0,75 Н/м, 2) N=120 об.