Задачи для самостоятельного решения

1.1. Два бруска массами m₁=1 кг и m₂=4 кг, соединенные шнуром, лежат на столе. С каким ускорением а будут двигаться бруски, если к одному из них приложить силу F=10 H, направленную горизонтально? Какова будет сила натяжения Т шнура, соединяющего бруски, если силу 10 Н приложить к первому бруску, ко второму бруску? Трением пренебречь.

[Ответ: 2 м/с²; 8 H; 2 H.]

1.2. На гладком столе лежит брусок массой m=4 кг. К бруску привязаны два шнура, перекинутые через неподвижные блоки, прикрепленные к противоположным краям стола. К концам шнуров подвешены гири, массы которых m₁=1 кг и m₂=2 кг. Найти ускорение а, с которым движется брусок, и силу натяжения Т каждого из шнуров. Массой блоков и трением пренебречь.

[Ответ: 1,4 м/с²; Т₁ =11,2 Н; Т₂ =16,8 Н.]

1.3. Брусок массой m₂=5 кг может свободно скользить по горизонтальной поверхности без трения. На нем находится другой брусок массой m₁=1 кг. Коэффициент трения соприкасающихся поверхностей брусков μ=0,3. Определить максимальное значение силы F_max, приложенной к нижнему бруску, при которой начнется соскальзывание верхнего бруска.

[Ответ: F_max=17,7 Н.]

1.4. На горизонтальной поверхности находится брусок массой m₁=2 кг. Коэффициент трения μ₁ бруска о поверхность равен 0,2. На бруске находится другой брусок массой m₂=8 кг. Коэффициент трения μ₂ верхнего бруска о нижний равен 0,3. К верхнему бруску приложена сила F. Определить: 1) значение силы F₁, при котором начнется совместное скольжение брусков по поверхности; 2) значение силы F₂, при котором верхний брусок начнет проскальзывать относительно нижнего.

[Ответ: F₁= 19,6 Н ; F₂=39,2 Н.]

1.5. Материальная точка массой m=2 кг движется под действием некоторой силы F согласно уравнению , гдеС=1м/с², D= -0,2 м/с³. Найти значение этой силы в моменты времени t₁=2с и t₂=5с. В какой момент времени сила равна нулю?

[Ответ: F₁= -0,8 Н ; F₂= -8 Н; F=0 при t=1,67 с.]

1.6. Тело массой m движется в плоскости xy по закону x=Acosωt, y=Bsinωt, где A,B и ω- некоторые постоянные. Определить модуль силы, действующей на это тело.

[Ответ: F=mω² ]

1.7. На горизонтальной плоскости с коэффициентом трения лежит тело массыm. В момент к нему приложили горизонтальную силу, меняющуюся со временем по законугде постоянный вектор. Найти путь, пройденный телом за первые секунд после начала действия этой силы.

[Ответ: где - момент начала движения.]

1.8. С вершины клина, длина которого l=2 м и высота h=1 м, начинает скользить небольшое тело. Коэффициент трения между телом и клином μ=0,15. Определить: 1) ускорение, с которым движется тело; 2) время прохождения тела вдоль клина; 3) скорость тела у основания клина.

[Ответ: 3,63 м/с²; 1,05 с; 3,81 м/c.]

1.9. По наклонной плоскости с углом наклона к горизонту, равным 30⁰, скользит тело. Определить скорость тела в конце второй секунды от начала скольжения, если коэффициент трения μ=0,15.

[Ответ: 7,26 м/c.]

1.10. На тело (рис.1.8) массой m=10 кг, лежащее на наклонной плоскости (угол φ=20⁰), начинает действовать горизонтально направленная сила F=8 Н. Пренебрегая трением, определить: 1) ускорение тела; 2) силу, с которой тело давит на плоскость.

[Ответы: 1) 4,11 м/с²; 2) 89,4 Н.]

1.11. Наклонная плоскость (рисунок 1.9) составляет угол φ=30⁰ c горизонтом. Отношение масс тел . Коэффициент трения между теломm₁ и наклонной плоскостью . Массы блока и нитей пренебрежимо малы. Найти модуль и направление ускорения телаm₂, если система пришла в движение из состояния покоя.

[Ответ:.]

1.12. Небольшой брусок начинает скользить по наклонной плоскости, составляющей угол φ c горизонтом. Коэффициент трения зависит от пройденного пути по закону, гдепостоянная. Найти путь, пройденный бруском до остановки, и максимальную скорость его на этом пути. [Указание. Чтобы привести уравнение движения к виду, удобному для интегрирования, надо представить ускорение каки затем произвести замену переменных по формуле.]

[Ответ: ; .]

1.13. Грузик, привязанный к шнуру длиной 50 см, описывает окружность в горизонтальной плоскости. Какой угол φ образует шнур с вертикалью, если частота вращения n=1 с^-1?

[Ответ: φ=60,2⁰.]

1.14. Груз, привязанный к нити длиной 1 м описывает окружность в горизонтальной плоскости. Определить период Т обращения, если нить отклонена на угол φ=60⁰ от вертикали.

[Ответ: 1,42 с.]

1.15. Простейшая машина Атвуда, применяемая для изучения законов равноускоренного движения, представляет собой два груза с неравными массами m₁ и m₂ ( например, m₁>m₂), которые подвешены на легкой нити, перекинутой через неподвижный блок (рис. 1.10). Считая нить и блок невесомыми и пренебрегая трением в оси блока, определить: 1) ускорение грузов; 2) силу натяжения нити Т; 3) силу F, действующую на ось блока.

[Ответ: ,]

1.16. На рис. 1.11 изображена система блоков, к которым подвешены грузы массами m₁=200 г и m₂=500 г. Считая, что груз m₁ поднимается, а неподвижный блок с m₂ опускается, нить и блоки невесомы, силы трения отсутствуют, определить: 1) силу натяжения нити Т; 2) ускорения, с которыми движутся грузы.

[Ответ: 1) 2,26 Н; 2) а₁=1,5 м/c², а₂=0,75 м/c².]

1.17*. В установке (рисунок 1.12) известны масса стержня M и шарика m, причем M>m. Шарик имеет отверстие и может скользить по нити с некоторым трением. Массы блока и трение в его оси пренебрежимо малы. В начальный момент шарик находился напротив нижнего конца стержня. После того как систему предоставили самой себе, оба тела стали двигаться с постоянными ускорениями. Найти силу трения между шариком и нитью, если через t секунд после начала движения шарик оказался напротив верхнего конца стержня. Длина стержня равна .

[Ответ: .]

Рис.1.12 к задаче 1.17.

1.18. Самолет летит в горизонтальном направлении с ускорением а=20 м/с². Какова перегрузка пассажира, находящегося в самолете? (Перегрузкой называется отношение силы F, действующей на пассажира, к силе тяжести Р.)

[Ответ: 2,27.]

1.19. Тело массой m=5 кг брошено под углом β=30⁰ к горизонту с начальной скоростью v₀=20 м/с. Пренебрегая сопротивлением воздуха, найти: 1) импульс силы F, действующей на тело, за время его полета; 2) изменение Δp импульса тела за время полета.

[Ответ: 1)100 Н∙c; 2) 100 кг∙м/c .]

1.20. Шарик массой m=300 г ударился о стену и отскочил от нее. Определить импульс p₁, полученный стеной, если в последний момент перед ударом шарик имел скорость v₀=10 м/с, направленную под углом β=30⁰ к поверхности стены. Удар считать абсолютно упругим.

[Ответ: 3 Н∙c .]

1.21. На покоящуюся частицу массы m в момент времени t=0 начала действовать сила, зависящая от времени t по закону , где- постоянный вектор,τ – время, в течение которого действует постоянная сила. Найти:

1) импульс частицы после окончания действия силы;

2) путь, пройденный частицей за время действия силы.

[Ответ: 1) ; 2)S=bτ⁴/12m.]