Методы Оптимизации / lecture / talk_19_lecture
.pdf[Жусубалиев Ж.Т. Методы оптимизации. 2010. Слайд 21]
Пример 3
Найти минимум f(x) = x21+x22, g1(x) = x1¡1 = 0, g2(x) = x1+x2¡2 6 0.
Решение
1.В поставленной задаче m = 1, p = 2.
2.Составим вспомогательную функцию ©(x; sk):
©(x; s |
) = x2 |
+ x2 |
+ |
sk |
(x |
1 |
¡ |
1)2 + |
sk |
(x1 + x2 ¡ 2)2; x1 + x2 ¡ 2 > 0; |
||||
|
|
|||||||||||||
k |
1 |
2 |
2 |
|
2 |
(0; x1 + x2 |
¡ |
2 |
6 |
0: |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
[Жусубалиев Ж.Т. Методы оптимизации. 2010. Слайд 22]
3. Найдем безусловный минимум вспомогательной функции ©(x; sk) по x =
(x1; x2)T с помощью необходимых и достаточных условий экстремума:
(
|
@(x; sk) |
= |
2x1 + sk(x1 ¡ 1) + sk(x1 + x2 ¡ 2) = 0; |
x1 + x2 ¡ 2 > 0; |
||||||||||
|
@x1 |
|
= |
2x1 + sk(x1 ¡ 1) = 0; x1 + x2 ¡ 2 6 0: |
|
¡ |
|
|||||||
|
@x2 k |
|
(2x2 |
= 0; x¡1 + x2 |
|
2 0: |
¡ |
|
|
|
||||
@(x; s |
) |
|
2x2 |
+ sk(x1 |
1) + sk |
(x1 |
+ x2 |
|
2) = 0; |
x1 + x2 |
|
2 > 0; |
||
|
|
|
|
|
|
|
¡ |
6 |
|
|
|
|
|
|
[Жусубалиев Ж.Т. Методы оптимизации. 2010. Слайд 23]
Пусть x1 + x2 ¡ 2 > 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вычитая из первого уравнения второе, получим: |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
sk |
|
|
|
|
||
|
|
x2 = x1 + |
|
(x1 ¡ 1): |
|
|
|
|
||||
|
|
2 |
|
|
|
|
||||||
После подстановки в первое уравнение имеем |
|
|
|
|
||||||||
|
|
sk2 + 6sk |
|
|
|
sk2 + 4sk |
|
|||||
x1¤(sk) = |
|
|
|
|
; x2¤(sk) = |
|
|
|
|
: |
||
s2 |
+ 6s |
k |
+ 4 |
s2 |
+ 6s |
k |
+ 4 |
|||||
|
k |
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
||
Однако при всех sk > 0 имеем
x |
1¤ |
+ x |
2¤ ¡ |
2 = |
¡2sk ¡ 8 |
< 0; |
|
sk2 + 6sk + 4 |
|||||||
|
|
|
|
что противоречит условию x1 + x2 ¡ 2 > 0.
[Жусубалиев Ж.Т. Методы оптимизации. 2010. Слайд 24]
Пусть x1 + x2 ¡ 2 6 0. Тогда
x1¤(sk) = |
sk |
; x2¤ = 0: |
2 + sk |
[Жусубалиев Ж.Т. Методы оптимизации. 2010. Слайд 25]
Матрица Гессе: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
@2©(x) @2©(x) |
|
|
|
|
|
|
||
H(x; sk) = |
6 |
|
|
|
7 |
= |
· |
0 |
2¸ |
: |
@2©(x) |
|
@2©(x) |
||||||||
|
2 |
@x12 |
@x1@x2 |
3 |
|
|
2 + sk |
0 |
|
|
|
6 |
|
|
|
7 |
|
|
|
|
|
|
6 |
|
2 |
7 |
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
6 |
@x2@x1 |
|
@x2 |
7 |
|
|
|
|
|
Так как угловые миноры ¢1 = 2+sk > 0, ¢2 = 2(2+sk) = 4+2sk > 0, (sk > 0), то матрица Гессе является положительно-определенной (достаточные
условия минимума ©(x; sk) выполняются).
[Жусубалиев Ж.Т. Методы оптимизации. 2010. Слайд 26]
4. Условный минимум x¤ ищем как предел x¤(sk) при sk ! 1:
x |
1¤ |
= lim |
sk |
= 1; x |
2¤ |
= 0: |
|
2 + sk |
|||||||
|
sk!1 |
|
|
Точка x¤ = (1; 0)T удовлетворяет условиям x1¤ + x¤2 ¡ 2 = ¡1 6 0 и x1¤ ¡ 1 = 0.
[Жусубалиев Ж.Т. Методы оптимизации. 2010. Слайд 27]
|
ЗАДАЧИ |
1. |
Найти максимум f(x) = x1 ¡ 2x22 + 4x2, 3x1 + 2x2 + 6 = 0. |
2. |
Найти максимум f(x) = ¡4x12 ¡ 8x1 + x2 + 3, x1 + x2 + 2 = 0. |
[Жусубалиев Ж.Т. Методы оптимизации. 2010. Слайд 28]
2. Метод барьерных функций
Постановка задачи
Даны дважды непрерывно дифференцируемые целевая функция функция f(x) и функции ограничений-неравенств gi(x) 6 0, i = 1; m, определяющие множество допустимых решений D.
f(x¤) = min f(x);
x2D
где
D = ©x : gi(x) 6 0; i = 1; mª:
Описание метода. Идея метода состоит в сведении задачи условной минимизации к последовательности задач поиска безусловного минимума вспомогательной функции ©(x; sk):
©(x; sk) = f(x) + Ã(x; sk) ! min ; k = 1; 2; ::::;
x2RN
где Ã(x; sk) штрафная функция, sk > 0 параметр штрафа, задаваемый на каждой k-ой итерации.
[Жусубалиев Ж.Т. Методы оптимизации. 2010. Слайд 29]
Как правило используются:
(а) обратная штрафная функция
Xm 1
Ã(x; sk) = ¡sk i=1 gi(x)
(б) логарифмическая штрафная функция
Xm
Ã(x; sk) = ¡sk ln(¡gi(x)):
i=1
Обе штрафные функции определены и непрерывны внутри множества D, т.е. на множестве D = ©x : gi(x) < 0; i = 1; mª и стремятся к 1 при
приближении к границе множества D изнутри. Поэтому штрафные функции называются барьерными.
При sk > 0 штрафная функция, задаваемая обратной функцией, положительна.
Логарифмическая штрафная функция положительна при ¡1 < g(x) < 0 и отрицательна g(x) < ¡1.
[Жусубалиев Ж.Т. Методы оптимизации. 2010. Слайд 30]
1.Начальная точка x0 задается из области допустимых решений D.
2.На каждой k-ой итерации ищется точка минимума x¤(sk) вспомогательной функции ©(x; sk) с помощью одного из методов безусловной минимизации:
©(x¤(sk); sk) = min ©(x; sk):
x2RN