Методы Оптимизации / lecture / talk_19_lecture
.pdf
ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ ПОИСКА УСЛОВНОГО ЭКСТРЕМУМА
[Жусубалиев Ж.Т. Методы оптимизации. 2010. Слайд 2]
1. Метод штрафов
Постановка задачи
Даны дважды непрерывно дифференцируемые целевая функция функция
f(x) и функции ограничений gj(x) = 0, j = 1; m, gj(x) 6 0, j = m + 1; p, определяющие множество допустимых решений D.
f(x¤) = min f(x);
x2D
где
D = ©x : gj(x) = 0; j = 1; m; m < N; gj(x) 6 0; j = m + 1; pª:
[Жусубалиев Ж.Т. Методы оптимизации. 2010. Слайд 3]
Описание метода. Идея метода состоит в сведении задачи условной минимизации к последовательности задач поиска безусловного минимума вспомогательной функции ©(x; sk):
©(x; sk) = f(x) + Ã(x; sk) ! min ; k = 1; 2; ::::;
x2RN
где Ã(x; sk) штрафная функция, sk параметр штрафа, задаваемый на каждой k-ой итерации.
[Жусубалиев Ж.Т. Методы оптимизации. 2010. Слайд 4]
Штрафная функция строится, исходя из условий:
8 <0; при выполнении ограничений;
Ã(x; sk) = :> 0; при невыполнении ограничений:
[Жусубалиев Ж.Т. Методы оптимизации. 2010. Слайд 5]
Причем при невыполнении ограничений и sk ! 1, k ! 1 справедливо
Ã(x; sk) ! 1.
Для ограничений типа равенств использунтся квадратичный штраф, а для ограничений типа неравенств квадрат срезки:
|
|
|
m |
|
|
|
|
p |
|
|
Ã(x; sk) = |
sk |
|
8 |
[gi(x)]2 + |
|
[gj+(x)]29 |
; |
|||
|
j=m+1 |
|||||||||
2 |
|
<i=1 |
|
|
|
|
= |
|
||
|
|
|
X |
|
|
|
|
X |
; |
|
где gj+(x срезка функции: |
: |
|
|
|
8 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
||||
gj+(x) = max 0; gj(x) |
|
= |
|
|
|
|||||
|
f |
|
|
g |
|
gj(x); gj(x) > 0 |
|
|||
|
|
|
|
: |
gj(x) 6 0: |
|
||||
|
|
|
|
<0; |
|
|||||
[Жусубалиев Ж.Т. Методы оптимизации. 2010. Слайд 6]
1.Начальная точка x0 задается из области допустимых решений D.
2.На каждой итерации ищется точка минимума x¤(sk) вспомогательной функции ©(x; sk) с помощью одного из методов безусловной минимизации:
©(x¤(sk); sk) = min ©(x; sk):
x2RN
[Жусубалиев Ж.Т. Методы оптимизации. 2010. Слайд 7]
3. Полученная точка x¤(sk) используется в качестве начальной на следующей итерации, выполняемый при возрастающем значении параметра штрафа sk.
4. При неограниченном возрастании sk последовательность fx¤(sk)g стремится к точке условного минимума x¤.
Алгоритм
Шаг 1. Задать начальную точку x0, начальное значение параметра штрафа s0, коэффициент ¸ > 0 увеличения параметра штрафа и параметр точности поиска ". Полагаем k = 0 и переходим к основной части алгоритма.
[Жусубалиев Ж.Т. Методы оптимизации. 2010. Слайд 8]
Шаг 2. Строим вспомогательную функцию:
8
©(x; sk) = f(x) + sk <Xm [gi(x)]2 +
2 :i=1
где
gj+(x) = max 0; gj(x) |
g |
= |
8 |
f |
|
<0; gj |
|
|
|
|
gj(x); |
|
|
|
: |
9
Xp =
[gj+(x)]2;;
j=m+1
gj(x) > 0 (x) 6 0:
[Жусубалиев Ж.Т. Методы оптимизации. 2010. Слайд 9]
Шаг 3. Находим точку x¤(sk) безусловного минимума вспомогательной функции ©(x; sk) по x с помощью какого-либо метода безусловной минимизации (нулевого, первого, второго порядков):
©(x¤(sk); sk) = min ©(x; sk):
x2RN
В качестве начальной точки взять xk. Вычислить значение штрафной функции Ã(x¤(sk); sk).
[Жусубалиев Ж.Т. Методы оптимизации. 2010. Слайд 10]
Шаг 4. Проверить условие окончания поиска:
(а)Если Ã(x¤(sk); sk) 6 ", то закончить поиск, положив x¤ = x¤(sk).
(а)Если Ã(x¤(sk); sk) > ", то положить sk+1 à ¸sk, xk+1 à x¤(sk), k à k + 1 и перейти к шагу 2.