Центр масс

Центром масс системы материальных точек называют точку пространства, радиус-вектор которой равен:

Если начало координат совпадает с центром масс, то:

Импульс системы тел равен произведению массы системы на скорость центра масс.

Центр масс механической системы движется как материальная точка, масса которой равна массе всей системы и на которую действует сила, равная равнодействующей приложенных к системе внешних сил.

Поле тяготения

1. Понятие поля.

Поле центральных сил

Силы – центральные, если они зависят только от расстояния между материальной точкой и некоторой неподвижной точкой – центром силы, и направлены вдоль линии, соединяющей центр с данной точкой.

Поле центральных сил – потенциально !

Движение материальной точки

в поле центральных сил.

Материальная точка m движется в поле центральных сил (поле потенциально и стационарно):

Для планет солнечной системы W<0 =>

Законы Кеплера

1. Все планеты Солнечной системы движутся по эллиптическим орбитам, в одном из фокусов которых находится Солнце.

2. Секторная скорость каждой из планет постоянна.

3. Квадрат периодов обращения планет вокруг Солнца прямо пропорционален кубам больших полуосей их орбит.

Космические скорости

1. V₁=7,9 км/с – скорость искусственного спутника, обращающегося вокруг Земли в отсутствие сопротивления атмосферы по круговой орбите вблизи поверхности Земли под действием одной только силы тяготения к Земле.

2. V₂=11,2 км/с – скорость, которую нужно сообщить телу, чтобы оно могло без воздействия каких-либо дополнительных сил преодолеть земное притяжение и превратиться в искусственный спутник Солнца.

При движении тела в центральном поле тяготения Земли полная механическая энергия тела не изменяется.

W_К+W_П=W=const

На бесконечности от Земли W=0.

Тогда и у поверхности Земли:

3. V₃=16,7 км/с – наименьшая скорость, которую нужно сообщить телу, чтобы оно могло преодолеть тяготение не только Земли, но и Солнца.

На современном уровне развития техники ракета не может развить даже V₁. Для реактивных двигателей V_max=5 км/с.

Движение тела переменной массы

Рассмотрим исходную ситуацию: в момент времени t тело имеет массу M и скорость V. За время dt от него отделяется масса dm, причем по окончании процесса отделения эта масса имеет скорость U. При этом масса тела уменьшается на dM (dM=-dm), а его скорость возрастает на dV₁. F₁ – сила, действующая на «ракету» со стороны вылетающих газов.

С другой стороны, импульс силы, действующей на вылетающие газы:

В проекции на ось, направленную по направлению скорости ракеты последнее уравнение запишется:

Если предположить, что скорость истечения газов из ракеты постоянна, то ω=U+V можно вынести за знак интеграла:

Сила тяги двигателя ракеты

Для воздушно-реактивных двигателей (турбинных) расчет скорости ракеты производится по изменению импульса воздуха, начальная скорость которого V=0

Если на ракету действуют еще и внешние силы, то