Лекция 8. Законы сохранения в механике. (2 часа)

8.1. Закон сохранения энергии в механике. Общефизичекий закон сохранения энергии.

8.2. Закон сохранения импульса. Центр инерции. Закон движения центра инерции. Реактивное движение.

8.3. Закон сохранения момента импульса. Уравнение моментов.

8.4. Применение законов сохранения к упругому и неупругому взаимодействиям.

Демонстрации:

1. Гироскопический эффект.

2. Закон сохранения импульса.

3. Закон сохранения момента импульса.

4. Маятник Котельникова.

Видеофильмы:

1. Потенциальная яма и потенциальный барьер - (4 мин.).

2. Прецессия большого гироскопа - (2 мин.).

Закон сохранения

1. Закон сохранения импульса

m₁ F₁ P₁

F₂₁ 2

1

m₂ F₂ P₂

F₃₂

F₃₁

3 m₃ F₃ P₃

Система замкнута => отсутствуют внешние силы =>

=> , => p=const

Центр масс системы материальных точек

Его координаты

; ;

, Таким образом, центр масс системы движется как материальная точка в которой сосредоточена масса всей системы и на которую действуют результирующая всех внешних сил.

, F_i – внешние силы.

Если система замкнута то => .

Центр масс замкнутой системы движется прямолинейно и равномерно.

Работа -

- dS.

mA=F

, , , , ,

, ,

–работа силы, действующей на частицу, идёт на приращение её E

Иначе:

, , ,

, ,

Работа консервативных сил равна убыли потенциальной энергии системы

В системе с одними только консервативными силами полная энергия остаётся неизменной. Могут лишь происходить превращения потенциальной энергии в кинетическую и обратно.

Работа силы при перемещении материальной точки равна приращению кинетической энергии этой точки.

Отличие от закона сохранения импульса:

Внутренние силы системы вследствие не изменяют Р. системы.

Приращение же кинетической энергии определяется работой не только внешних, но и внутренних сил.

– работа результирующей нескольких сил равна алгебраической сумме работ, совершаемых каждой из сил в отдельности.

[А]=Н∙м=Дж

Е – кинетическая энергия [А]=[Е] – способность системы совершать работу.

– хар-ет скорость совершения работы

[P]=

Лошадиная сила (л. с.) = 736 Вт.

Работа

Мощность

II

Консервативные силы

1. Поле сил

2. F=F(z) – центральное поле.

3. Однородное поле F=const.

4. Стационарные.

5. Консервативные силы – такие силы, для которых в стационарном поле работа, совершаемая над частицей силами поля, не зависит от формы пути, а определяется только начальными и конечными положениями частицы в поле.

6. Потенциальное поле – поле сил называют потенциальным, если его можно описать с помощью некоторой функции , градиент которой определяет силу в каждой точке поля

φ – потенциал поля – стационарное потенциальное поле, его силы консервативные, тогда Для нестационарного силового поля отождествлять потенциальные и консервативные силы нельзя. U – потенциальная энергия

Полная механическая энергия системы, на которые действуют только консервативные силы, остаётся постоянной.

Неконсервативные силы – сила трения

– диссипация энергии

Силы – диссипативные ( трения, сопротивления)

Для замкнутой системы

Полная механическая энергия замкнутой системы тел, между которыми действуют только консервативные силы, остаётся постоянной.

Свойства пространства – времени и законы сохранения.

Карпенков С. Х . стр.107

Принцип инвариантности законов природы относительно сдвигов системы отсчета в пространстве и во времени и относительно поворота осей координат в пространстве:

Смещение системы отсчета (инерциальной в пространстве и во времени) и поворот в пространсве не влияют на применение физических процессов внутри этих систем.

Принцип инвариантности связан с понятием симметрия – неизменность свойств системы при некотором изменении ее параметров.

Пространственная симметрия кристаллов является следствием закономерности атомного строения.

Однородность пространства и времени заключается в том, чтопри параллельном переносе в пространстве замкнутой системы тел как целого (инерциальной системы отсчета) физические свойства и законы движения не применяются, т.е. относителен (не важен) выбор начала отсчета, пространственное положение начала координат и направление координатных осей.

Однородность времени как следствие закона сохранения механической энергии:

в системе тел, между которыми действуют только консервативные силы, полная механическая энергия сохраняется.

Идея закона принадлежит Ломоносову М.В.(1711–1765), количественная формулировка –Ю.Майеру (нем.) (1814–1878).

Однородность пространства как следствие закона сохранения механической энергии:

импульс замкнутой системы сохраняется; импульс незамкнутой системы сохраняется в том случае, если сумма всех внешних сил равна нулю.

Изотропность пространства как следствие закона сохранения момента импульса:

момент импульса замкнутой системы сохраняется.

Теорема Эмми Нетера (нем. математик) (1882–1935):

из однородности времени и пространства следуют законы сохранения энергии и импульса, а из изотропности – закон сохранения момента импульса.

Д

8

вижение тела переменной массы

Рассмотрим исходную ситуацию:

в момент времени t тело имеет массу М и скорость V. За время dt от него отделяется масса

dm, причем по окончании процесса отделения эта масса имеет скорость U. При этом масса тела уменьшается на dM (dM = –dm), а его скорость возрастает на dv, F₁– сила, действующая на «ракету» со стороны вылетающих газов:

 

F₁dt = dP

   

F₁dt = (M-dM)· (v+dv) – (M-dM) · v

_{    }

F₁dt = (M-dM)· (v+dv-v) = (M-dM) dv ≈ M·dv

dM·dv → 0

С другой стороны, импульс силы, действующей на вылетающие газы :

_{  }

F₂dt = (u-v)dm

 

Учитывая, что по третьему закону Ньютона F₁=-F₂ и dm=-dM, получим:

    

M·dv = –(u–v)·dm = (u–v)·dM

_{  }

dv = (u–v)^dM

^M

_

В проекции на ось, направленную по направлению скорости ракеты v, последнее уравнение запишется:

dv = –(u+v)^dM = -ω ^dM

^{M M}

Если предположить, что скорость истечения газов из ракеты постоянна, то ω=u+v можно вынести за знак интеграла:

v

dM

M

M₀

M

M _M

∫^{dv =} ∫^{-ω = -ω·ln M = ω·ln}

v₀ M₀ ^M₀

M₀

M

M₀–M

M

v–v₀=ω·ln = ω·ln(1+ ) –– формула Циолковского К. Э.

Сила тяги двигателя ракеты

_{– – –}

F₁= –F₂ = (u-v) ^dM = –ω· ^dM

^{dt dt}

Для воздушно – реактивных двигателей (турбинных) расчёт скорости ракеты производится по изменению импульса воздуха, начальная скорость которого v=0

Если на ракету действует ещё и внешние силы, то

M·dv=F·dt+F1·dt

_M· ^dv _{= F+(u­–v)·} ^dM – уравнение Мещерского.

^{dt dt}

Космические скорости

I Тело вращается вблизи поверхности Земли по круговой орбите:

v²

R₃

F = ma a=

F = mg

v²

R₃

m = mg

v= √gR₃ ≈ 8 км/c.

II – v₂ – тело могло выйти из сферы влияния земного притяжения => вычислить работу, которую нужно совершить против сил земного притяжения для удаления тела с поверхности Земли в бесконечность.

A = mgR₃

Вывод:

∞

dr

r²

∞

1

r

∞

1

R₃

F

mM₃

r²

R₃

mM₃

r²

R₃

R₃

= γ A = _∫Fdr = _∫γ dr ₌ γmM_3∫ = - γmM₃ = γmM₃·(0+ ) =

γ mM₃

R₃

γ M₃

R₃²

= = · mR₃ = mgR₃

mv₂²

2

= mgR₃

v₂ = √2gR₃ = v₁√2 ≈ 11 км/c

III v₃ – покинуть Солнечную систему – преодолеть силы притяжения к Солнцу.

V₃ ≈ 17 км/c.