1.000 .000 .000 .000

.000 1.000 .000 .000

.000 .000 1.000 .000

.000 , .000 , .000 , 1.000 .

Индекс k переменной Х_k совпадает с номером строки, где стоит единица.

Вычисленный определитель  = -180.000 представляет собой значение базисного минора.

4. Совместная система с вырожденной матрицей.

Метод Гаусса позволяет находить решение совместной системы линейных уравнений с вырожденной матрицей. Никаких изменений в основной алгоритм вносить при этом не требуется.

Х₁ + 2Х₂ - 3Х₃ + 4Х₄ - Х₅ = -1,

2Х₁ - Х₂ + 3Х₃ - 4Х₄ + 2Х₅ = 8,

8Х₁ + 3Х₂ + 3Х₃ + 4Х₄ = 2, (6)

4Х₁ + 3Х₂ + 4Х₃ + 2Х₄ + 2Х₅ = -2,

Х₁ - Х₂ - Х₃ + 2Х₄ - 3Х₅ = -3.

Gauss Method. Transformation to e - matrix.

5 6 1

1.0 2.0 -3.0 4.0 -1.0 -1.0

2.0 -1.0 3.0 -4.0 2.0 8.0

8.0 3.0 3.0 4.0 .0 2.0

4.0 3.0 4.0 2.0 2.0 -2.0

1.0 -1.0 -1.0 2.0 -3.0 -3.0

1 4 4.000

.250 .500 -.750 1.000 -.250 -.250

3.000 1.000 .000 .000 1.000 7.000

7.000 1.000 6.000 .000 1.000 3.000

3.500 2.000 5.500 .000 2.500 -1.500

.500 -2.000 .500 .000 -2.500 -2.500

2 1 3.000

.000 .417 -.750 1.000 -.333 -.833

1.000 .333 .000 .000 .333 2.333

.000 -1.333 6.000 .000 -1.333-13.333

.000 .833 5.500 .000 1.333 -9.667

.000 -2.167 .500 .000 -2.667 -3.667

3 3 6.000

.000 .250 .000 1.000 -.500 -2.500

1.000 .333 .000 .000 .333 2.333

.000 -.222 1.000 .000 -.222 -2.222

.000 2.056 .000 .000 2.556 2.556

.000 -2.056 .000 .000 -2.556 -2.556

4 5 2.556

.000 .652 .000 1.000 .000 -2.000

1.000 .065 .000 .000 .000 2.000

.000 -.043 1.000 .000 .000 -2.000

.000 .804 .000 .000 1.000 1.000

.000 .000 .000 .000 .000 .000

5 0 .000

.000 .652 .000 1.000 .000 -2.000

1.000 .065 .000 .000 .000 2.000

.000 -.043 1.000 .000 .000 -2.000

.000 .804 .000 .000 1.000 1.000

.000 .000 .000 .000 .000 .000

.000 - Result of Multiplication of the main elements

Rearrangement of lines

1.000 .065 .000 .000 .000 2.000

.000 -.043 1.000 .000 .000 -2.000

.000 .652 .000 1.000 .000 -2.000

.000 .804 .000 .000 1.000 1.000

.000 .000 .000 .000 .000 .000

Determinant = .000

Определитель системы равен нулю, но система совместна. Если Х₂ рассматривать как свободную переменную, то общее решение системы (6) можно записать, используя последнюю матрицу, аналогично тому, как это было сделано при решении системы (5).

Описанный алгоритм может быть использован для вычисления ранга матрицы. Ранг матрицы равен количеству единичек, полученных в базисных столбцах в процессе элементарных преобразований матрицы.