Дополнительный материал о круглых и некруглых числах

«Из подъезда вышел человек лет около 49; пройдя по улице метров 196, он зашел в магазин, купил там две семерки яиц и пошел дальше…». Не правда ли, такое описание звучит несколько странно? Когда мы оцениваем какую-то величину – возраст человека, расстояние и т.п. – приблизительно, то мы всегда пользуемся круглыми числами и говорим обычно «метров 200», «человек лет 50» и т.п. С круглыми числами проще оперировать, чем с некруглыми, их легче запоминать, с ними удобнее производить арифметические действия. Например, ни для кого не составит труда умножить в уме 100 на 200. Если же нужно перемножить два некруглых трехзначных числа, скажем, 147 и 343, то далеко не всякий сделает это без карандаша и бумаги.

Говоря о круглых числах, мы обычно не отдаем себе отчета в том, что деление чисел на круглые и некруглые, по существу, условно и что одно и то же число может быть круглым или некруглым в зависимости от того, какой системой записи чисел или, как обычно говорят, какой системой счисления мы пользуемся. Чтобы разобраться в этом вопросе, посмотрим, прежде всего, что представляет собой наша обычная десятичная система счисления, которой мы все пользуемся. В этой системе каждое целое положительное число представляется в виде различных степеней числа 10 с коэффициентами, которые могут принимать значения от 0 до 9 включительно. Например, запись 2548 означает, что рассматриваемое число содержит 8 единиц, 4 десятка, 5 сотен и 2 тысячи, т.е. 2548 – это сокращенное обозначение выражения

2·103 + 5·102 + 4·10 + 8·100.

Однако можно было бы с таким же успехом представить каждое число в виде комбинации степеней не числа 10, а какого-либо другого целого числа (кроме 1), например, числа 7. В этой системе, называемой «семеричной системой счисления», или «системой счисления с основанием 7», мы вели бы счет от 0 до 6 обычным образом, а число 7 приняли бы за единицу следующего разряда. Его естественно обозначать в нашей новой семеричной системе символом 10 (единица второго разряда). Чтобы не путать это обозначение с десятичным числом 10, припишем к нему значок ₇, т.е. окончательно вместо 7 будем писать (10)7.

Единицами следующих разрядов должны служить числа 7², 7³ и т.д. Их естественно обозначать

(100)₇, (1000)₇ и т.д.

Любое целое число можно скомбинировать из степеней числа 7, т.е. представить в виде

,

где каждый из коэффициентов может принимать любое целое значение от 0 до 6. Как и в случае десятичной системы, естественно опускать при записи чисел в системе с основанием 7 сами степени этого основания и писать это число в виде

,

отметив, опять-таки, значком ₇ тот факт, что в основу системы счисления, которой мы пользуемся, положено именно число 7.

Рассмотрим пример. Десятичное число 2548 можно представить в виде

,

т.е., в принятых нами обозначениях, в виде

(10300)7.

Таким образом,

(2548)₁₀ = (10300)₇.

Обратим внимание на то, что при пользовании этой новой «семеричной» системой записи круглыми будут совсем не те числа, которые были круглыми в десятичной системе. Например,

(147)₁₀ = (300)₇,

(343)₁₀ = (1000)₇

(так как 147 = 3 · 7² и 343 = 7³); в то же время

(100)₁₀ = (202)₇,

(500)₁₀ = (1313)₇

и т.д. Поэтому в семеричной системе умножить в уме (147)₁₀ на (343)₁₀ проще, чем (100)₁₀ на (200)₁₀. Если бы мы пользовались семеричной системой, то, несомненно, возраст 49 лет (а не 50) воспринимался бы как «круглая дата» и отмечался бы как юбилей, мы говорили бы «метров 98» или «метров 196», прикидывая расстояние на глаз (поскольку (98)₁₀ = (200)₇) и (196)₁₀ = (400)₇ – круглые числа в семеричной системе), считали бы предметы семерками, а не десятками и т.д. Короче говоря, фраза, с которой мы начали изложение, никого бы не удивила.

Однако на самом деле семеричная система не имеет сколько-нибудь широкого распространения и никак не может конкурировать с повсеместно распространенной десятичной системой. В чем же причина этого?