Тема 4. Случайные величины и законы их распределения

Понятие случайной величины. Дискретные и непрерывные случайные величины. Примеры случайных величин. Закон распределения случайной величины. Ряд распределения дискретной случайной величины. Многоугольник распределения (полигон). Функция F(х) распределения случайной величины (интегральная функция) и ее свойства. Вид функции F(х) для дискретной случайной величины. Графики функции F(х) для дискретных и непрерывных случайных величин. Плотность вероятности (дифференциальная функция f(х)) и ее свойства. Вероятностный смысл дифференциальной функции. Связь между дифференциальной и интегральной функциями. Вероятность попадания непрерывной случайной величины в заданный промежуток.

Л и т е р а т у р а

[2], гл. 3, § 1, 2; [3], гл.5, 5.1-5.4; [5], гл.6, § 1-3, гл.10, § 1-3, гл.11, § 1-5; [6], гл.4, § 18,19; [7], гл.7, § 18,19, гл.12, § 29, 30; [8], гл.3, § 1, гл.4, § 1-3; [9], гл.2, § 1, гл.3, § 1-4; [10], гл.3, § 1, 2; [11], гл.29, § 196-198; [12], гл.3, § 9; [13], гл.20, § 7, § 12, 13; [14], § 1; [15], гл.5, § 1-3; [16], гл.2, 2.1, 2.2.1-2.2.3, 2.6.1.

О с н о в н ы е п о л о ж е н и я и ф о р м у л ы

Рассмотрим событие Х< х, состоящее в том, что случайная величина Х примет какое-нибудь значение, меньше произвольного числа х. Функция F(х), определенная равенством

F(х) = Р (Х< х), (4.1)

называется функцией распределения вероятностей случайной величины Х. Она обладает следующими свойствами:

1) 0  F(х)  1 (4.2)

2) F(х₂)  F(х₁) , если х₂ > х₁ ; (4.3)

3) F(-) = F(х) = 0, F(+) = (4.4)

Для дискретной случайной величины (х_i, р_i) функция F(х) имеет вид

F(х)  Р (Х < х) = , р_i = P(Х=х_i). (4.5)

Так, для дискретной случайной величины с конечным множеством значений (i=1, …, n) F(х) имеет следующий вид:

F(х) = (4.6)

Для непрерывной случайной величины плотность распределения вероятностей f(х) в точке х определяется равенством

F(х) = , (4.7)

где х < Х < х+х – событие, состоящее в том, что случайная величина примет значение, принадлежащее интервалу (х, х+х) длины х. Так как Р(х < Х < х+х) = F(х+х) – F(х), то в точках существования произвольной функции F(х) имеет место равенство

f(х) = F’(х). (4.8)

Поэтому плотность часто называют дифференциальной функцией.

Плотность распределения вероятностей обладает следующими свойствами:

1) f(х)  0,

2) f(х) dx = 1. (4.9)

Если плотность f(х) интегрируема, то можно найти функцию распределения F(х) по формуле

F(х) = . (4.10)

Вот почему функцию распределения часто называют интегральной функцией.

Если известна функция F(х), то вероятность попадания случайной величины на полуотрезок [а, b) находится по формуле

Р(а  Х < b) = F(b) – F(а). (4.11)

Если известна плотность f(х) и она интегрируема на промежутке <a, b> (интервале, отрезке, любом полуотрезке), то

Р(а<Х<b) = . (4.12)

Р е ш е н и е т и п о в ы х з а д а ч

Задача 1. В группе 25 студентов. По результатам экзаменационной сессии 18 студентов получают стипендию, причем 6 из них – повышенную. Построить ряд распределения и полигон величины стипендии для наудачу выбранного студента этой группы, если размер обычной стипендии составляет 200 рублей, а повышенной – 250 рублей.

Решение. Случайная величина Х (величина стипендии) может принимать следующие значения: х₁=0, х₂=200, х₃=250. Вероятности этих возможных значений соответственно равны: р₁=7/25, р₂=12/25, р₃=6/25. Поэтому закон (ряд) распределения случайной величины Х имеет вид

Х	0	200	250
Р	7/25	12/25	6/25

Полигон построить самостоятельно.

Задача 2. Составить функцию распределения и построить ее график для дискретной случайной величины Х, заданной законом распределения

Х	1	3	4	7
Р	0,2	0,1	0,4	0,3

Решение. Составим функцию распределения F(х). Если х  1, то F(х)=Р(Х<х)=0. Если 1< х  3, то F(х)=Р(Х<х)=Р(Х=х_i)=Р(Х=1)=0,2. Если 3 < х  4, то F(х)=Р(Х<х)= Р(Х=х_i)=Р(Х=1)+Р(Х=3)=0,2+0,1=0,3. Если 4< х  7, то F(х)=Р(Х=1)+Р(Х=3)+Р(Х=4)=0,7. Если х>7, то F(х)=Р(Х=1)+Р(Х=3)+Р(Х=4)+Р(Х=7)=1.Следовательно, F(х) имеет вид

F(х) =

Составленную функцию распределения изобразим графически:

y

х

Величины скачков в точках разрыва х=1, х=3, х=4, х=7 как раз равны вероятностям, что случайная величина Х примет эти значения.

Задача 3. Функция распределения непрерывной величины Х задана выражением

F(х) =

Построить график этой функции. Найти вероятность попадания случайной величины на интервал (1; 2,5).

Решение. График функции изображен ниже на рисунке.

y

0 х

При 0 < х  2 графиком функции является часть параболы. Ветви параболы направлены вверх, а вершина находится в начале координат. При 2 < х  3 график функции представляет собой часть параболы, вершина которой находится в точке (3; 1), а ветви направлены вниз. Для х0 и х>3 графиком функции F(х) являются прямые y=0 и y=1.

По формуле (4.11) находим, что

Р(1<Х<2,5) = F(2,5) – F(1) =

Задача 4. Функция

f(х) =

служит плотностью вероятностей случайной величины Х. Найти коэффициент А. Вычислить вероятность того, что случайная величина Х примет какое-нибудь значение из отрезка .

Решение. Используя равенство 2) из (4.9), получим

Следовательно,

f(х) =

Для вычисления Р(0Х) применим формулу (4.12). Получим

Р (0  Х  ) =

Задача 5. Дана функция распределения F(х) случайной величины Х:

F(х) =

Определить: 1) плотность вероятности f(х), 2) вероятность того, что случайная величина примет значение в промежутке [0; 2].

Решение. 1. Определяем плотность распределения. Так как плотность вероятности есть производная от функции распределения (см.(4.8)), то вне интервала (-2; 2) плотность вероятности равна нулю. Найдем плотность вероятности для всех х, принадлежащих интервалу

(-2;2):

f(х) = F^(х) =

Таким образом, искомая плотность имеет вид:

f(х) =

2. Вероятность того, что случайная величина примет значение на отрезке [0; 2], равна приращению интегральной функции распределения на этом промежутке (см.(4.11)). Следовательно,

Р(0Х2) = F(2) – F(0) =

Тогда искомая вероятность Р(0Х2) = 0,5.

Задача 6. Найти функцию распределения непрерывной случайной величины, плотность распределения вероятностей которой задана функцией

f(х) =

Решение. Применяя формулу (4.10), найдем функцию распределения. Если х  , тоF(х) = 0, так как f(х)=0 в этом промежутке. Если , тоF(х)=Еслих>, то

F(х)=

Таким образом,

F(х) =

З а д а ч и

1. Выпущено 1 000 билетов денежной лотереи. При этом разыгрываются один выигрыш в 1 000 рублей, пять выигрышей по 500 рублей, двадцать выигрышей по 50 рублей. Составить ряд распределения стоимости выигрыша для владельца одного лотерейного билета. Построить полигон распределения. Найти функцию F(х) и построить ее график.

2. Монета брошена 4 раза. Составить ряд распределения случайной величины Х – частоты появления герба. Построить полигон распределения. Найти функцию F(х) и построить ее график.

3. Составить закон распределения случайного числа попадания кольца на колышек при одном броске, если вероятность попадания кольца на колышек у игрока равна 0,7. Указать функцию F(х) и построить ее график.

4. Рабочий обслуживает три станка. Вероятность того, что в течение часа первый станок потребует внимания рабочего, равна 0,15; для второго и третьего станков эти вероятности равны, соответственно, 0,2 и 0,25. Составить ряд распределения числа станков, которые потребуют внимания рабочего в течение часа.

5. Охотник, имеющий 4 патрона, стреляет в цель одиночными выстрелами до первого попадания или пока не израсходует все патроны. Составить ряд распределения случайной величины Х – количества израсходованных патронов, если вероятность попадания при каждом выстреле равна 0,6.

6. Вероятность изготовления нестандартного изделия при производстве некоторой продукции составляет 5%. Для проверки качества изделий контролер из всей партии случайно выбрал 5 изделий и должен проверять их до обнаружения нестандартного. Составить закон распределения числа изделий, проверяемых контролером.

7. В партии из восьми деталей пять стандартных. Наудачу отбираются три детали. Составить закон распределения числа стандартных деталей среди отобранных.

8. Построить график функции распределения

F(х) =

Найти плотность распределения вероятностей и построить ее график. Вычислить вероятность попадания случайной величины в интервал (0, 1).

9. Функция распределения непрерывной величины Х задана выражением

F(х) =

Найти плотность вероятности f(х) и построить ее график.

10. Случайная величина Х распределена по закону Коши: f(х)=. Найти: 1) коэффициент А; 2) функцию распределенияF(х); 3) построить графики f(х) и F(х); 4) вероятность попадания величины Х на интервал .

11. Дана плотность вероятности случайной величины:

f(х) =

Требуется: 1) найти функцию распределения; 2) построить графики функций f(х) и F(х); 3) вычислить вероятность того, что значение случайной величины будет находиться в интервале (2; 5).