- •Содержание
- •Тема 2. Классические теоремы теории вероятностей
- •Если события а, в, с совместны, то
- •Формула полной вероятности имеет вид
- •Тема 3. Повторные независимые испытания
- •Тема 4. Случайные величины и законы их распределения
- •Тема 5. Числовые характеристики случайных величин
- •Пусть с – постоянная величина. Тогда
- •Для вычисления дисперсии используется формула
- •Дисперсия обладает свойствами
- •Тема 6. Основные дискретные случайные величины и их числовые характеристики
- •Если случайная величина распределена по закону Пуассона, то
- •Тема 7. Основные непрерывные случайные величины и их числовые характеристики
- •Плотность нормального распределения имеет вид
- •Дисперсия нормального распределения
- •Правило трех сигм записывается в виде равенства
- •2. Для нахождения математического ожидания и дисперсии применим формулы (7.3). Получим следующие значения:
- •Ошибка указания времени часами со скачущей минутной стрелкой имеет равномерное распределение. Определить вероятность того, что при определении времени ошибка не будет превышать 20 секунд.
- •Тема 8. Закон больших чисел и центральная предельная теорема
- •В предельной форме утверждения теоремы Бернулли имеют вид
- •Тема 9. Основные понятия математической статистики. Числовые характеристики
- •На практике для вычисления дисперсии применяется формула
- •Легко установить, что
- •Вычислим размах товарооборота по формуле (9.14). Получим, что
- •Тема 10. Статистические оценки
- •Если дисперсия несмещенной оценки при n→стремится к нулю, то такая оценка будет и состоятельной. Это следует из неравенства Чебышева (см.(8.2))Рдля случайной величины*.
- •Тема 11. Корреляция и регрессия
- •Непосредственно из этого определения следует, что
- •Тема 12. Проверка статистических гипотез
Вычислим размах товарооборота по формуле (9.14). Получим, что
R = 64 - 44,5 = 19,5.
Задача 9. Пусть дан статистический ряд
хi |
12 |
17 |
22 |
26 |
30 |
34 |
38 |
ni |
2 |
5 |
9 |
12 |
8 |
6 |
5 |
Найти медиану этого ряда.
Решение. Для этого ряда n=2+5+12+8+6+5=47, т.е. нечетное число. Для нечетного n с повторяющимися хi, медиана соответствует значению признака Х, имеющего накопленную частоту SH=Первое значение признака Х, имеющего накопленную частоту, равную или большую 24, будет х=26, т.к. ему соответствует накопленная частота SH=2+5+9+12=28. Следовательно, Ме=26.
Задача 10. Определить медиану следующего статистического ряда:
хi |
10 |
17 |
21 |
26 |
32 |
41 |
49 |
54 |
ni |
8 |
12 |
12 |
14 |
10 |
14 |
10 |
20 |
Решение. Для этого ряда n=8+12+12+14+10+14+10+20=100, т.е. четное число. Первое значение признака Х, для которого накопленная частота равна или больше 50, будет А первое значение признакаХ, для которого накопленная частота равна или больше 51, будет По формуле (9.20) определим медиану:
Ме =
Задача 11. Обследование выполнения годового плана на предприятиях города дало следующие результаты (в процентах):
Процент выполнения плана |
90-95 |
95-100 |
100-105 |
105-110 |
110-115 |
115-120 |
120-125 |
Количество предприятий |
3 |
8 |
12 |
20 |
10 |
6 |
1 |
Найти медиану данного интервального статистического распределения.
Решение. Находим общее количество предприятий города:
n = 3+8+12+20+10+6+1 = 60.
Четвертый интервал (105-110) является медианным интервалом. По формуле (9.21) находим медиану:
Ме = 105 +
Задача 12. По результатам опроса 60 работников завода о величине месячного душевого дохода были получены следующие данные:
Душевой доход (руб.) |
65-70 |
75-85 |
85-95 |
95-105 |
105-115 |
115-125 |
125-135 |
70 |
80 |
90 |
100 |
110 |
120 |
130 | |
Число работников |
3 |
5 |
12 |
20 |
10 |
6 |
4 |
Вычислить асимметрию и эксцесс распределения.
Решение. Для вычисления асимметрии и эксцесса предварительно находим , ДВ, В и центральные моменты 3-го и 4-го порядков. Получим
=
ДВ= 214,63;
В =
m3=127,75;
m4=126 722,3 125.
По формулам (9.22) и (9.23) получим следующие результаты:
=
=
З а д а ч и
Составить статистический закон распределения варианты Х – размера мужской обуви, проданной магазином за день в такой последовательности: 40, 42, 44, 41, 43, 44, 40, 41, 43, 43, 44, 43, 41, 40, 43, 43, 44, 44, 44, 43, 42, 42, 41, 43, 41, 43, 44, 44, 43, 42, 41, 40, 43, 42, 41, 44, 43, 42, 43, 44, 41, 43, 42, 43, 44, 41, 42, 43, 44, 43, 42, 44, 43, 42, 43, 44, 43, 41, 40, 44. Построить полигоны частот и относительных частот.
Распределение мигрировавшего городского населения области дано таблицей
-
Группы мигрировавшего
населения по возрасту
До 10 лет
От 10
до20
От 20
до 30
От 30
до 40
От 40
до 50
От 50
до 60
Численность
населения
в процентах
(частность)
Прибыли
7
20,2
43,5
13,8
8
7,5
Выбыли
6,3
16,9
54,6
15,3
8,5
7,4
Построить гистограмму численности прибытия и выбытия населения области.
Найти эмпирическую функцию распределения по заданным выборкам:
хi |
1 |
6 |
11 |
15 |
|
xi |
-1 |
2 |
4 |
7 |
ni |
25 |
10 |
35 |
30 |
|
ni |
4 |
6 |
8 |
2 |
Построить графики этих функций.
В райторге имеется 20 магазинов, из которых 7 реализовали товаров на 40 000 руб.; 9 – на 50 000 руб. и 4 магазина – на 45 000 руб. каждый. Найдите выборочную среднюю, выборочную дисперсию и выборочное среднее квадратическое отклонение товарооборота магазинов торга. Поясните экономический смысл этих величин.
Распределение месячной выработки однотипных деталей рабочими цеха задано таблицей
Сделано деталей |
260-270 |
270-280 |
280-290 |
290-300 |
300-310 |
Число рабочих, сделавших данную выработку |
12 |
18 |
58 |
28 |
14 |
Определить среднюю месячную выработку рабочего цеха и среднее квадратическое отклонение.
Распределение 50 складов по складскому обороту задано следующей таблицей:
-
Складской
оборот (тыс.руб.)
5-10
10-15
15-20
20-25
Число складов
10
15
18
7
Найти коэффициент вариации.
Вычислить начальные и центральные моменты первого, второго, третьего и четвертого порядка по заданному статистическому распределению:
хi
2
5
7
9
12
ni
2
5
3
6
4
Дневная выработка 100 рабочих, занятых на изготовлении деталей, задана статистическим рядом
Количество деталей (штук) |
90-94 |
94-98 |
98-102 |
102-106 |
106-110 |
110-114 |
114-116 |
Число рабочих |
2 |
8 |
20 |
32 |
24 |
12 |
2 |
Требуется найти медиану распределения.
Итоги сдачи экзамена по теории вероятностей и математической статистике студентами второго курса представлены таблицей:
Оценки |
2 |
3 |
4 |
5 |
Количество студентов |
34 |
117 |
76 |
23 |
Вычислить: 1) среднюю оценку, полученную на экзамене; 2) среднее квадратическое отклонение; 3) моду; 4) медиану; 5) размах варьирования; 6)коэффициент вариации; 7) асимметрию; 8) эксцесс; 9) среднее абсолютное отклонение.
Найти выборочную среднюю и выборочную дисперсию методом произведений по следующему статистическому распределению:
Сумма вклада в сберкассу |
500 |
1 000 |
1 500 |
2 000 |
2 500 |
3 000 |
3 500 |
4 000 |
Количество вкладчиков |
30 |
22 |
16 |
28 |
40 |
30 |
21 |
13 |