- •Глава III. Основы молекулярно-кинетической теории
- •§12. Основные понятия и исходные положения
- •§13. Статистический метод исследования систем. Понятие о случайной величине и функции распределения
- •§14. Идеальный газ
- •§15. Основное уравнение молекулярно - кинетической теории
- •15.1. Вывод основного уравнения молекулярно-кинетической теории
- •15.2. Другие формы записи основного уравнения молекулярно-кинетической теории. Абсолютная температура - мера энергии теплового движения молекул
- •§16. Следствия из основного уравнения молекулярно-кинетической теории
- •§17. Распределение молекул по скоростям и кинетической энергии (распределение Максвелла)
- •§18. Барометрическая формула. Распределение молекул в потенциальном силовом поле (распределение Больцмана)
- •§19. Средняя длина свободного пробега молекул. Понятие о физическом вакууме
- •§20. Закон равномерного распределения энергии по степеням свободы
- •§21. Явления переноса в газах
- •21.1. Диффузия
- •21.2. Внутреннее трение (вязкость)
- •21.3. Теплопроводность
§19. Средняя длина свободного пробега молекул. Понятие о физическом вакууме
Рис. 19.1
Будем считать, что молекулы газа представляют собой шарики диаметром d. Минимальное расстояние (рис.19.1.б), на которое могут сблизиться при столкновении центры двух молекул, также равно d. Это расстояние называется эффективным диаметром молекулы. Круг радиусом d с центром в центре рассматриваемой молекулы площадью d2 называется эффективным сечением молекулы.
Если молекула за некоторый промежуток времени t претерпевает в среднем <V> столкновений, то средняя длина ее свободного пробега равна
. (19.1)
Предположим для простоты, что движется только одна рассматриваемая молекула, а остальные неподвижны. Кроме того, ломаную траекторию молекулы мысленно спрямим и будем считать движение молекул условно прямолинейным (рис.19.1.в). Тогда за время t эта молекула претерпит <> столкновений, равное числу молекул, центры которых лежат в прямом цилиндре с основанием, равным эффективному сечению молекулы, и высотой, равной пути, проходимому молекулой за это время, то есть <V>t:
,
где n - концентрация молекул, V - объем цилиндра.
Учитывая, что , получим
.
На самом же деле движутся все молекулы, и число столкновений определяется не средней арифметической скоростью молекул (то есть средней скоростью по отношению к стенкам сосуда), а средней скоростью их движения по отношению друг к другу <Vотн.>, которая, как можно показать, больше средней арифметической скорости раз, то есть
.
Поэтому при учете движения всех молекул среднее число столкновений, испытываемых одной молекулой за некоторый промежуток времени t, равно
, (19.2)
а в единицу времени
. (19.3)
Подставляя выражение(19.2) в (19.1), получим выражение для средней длины свободного пробега молекулы:
(19.4)
Используется и иная форма записи выражения для <>, для получения которой нужно в выражение (19.4) подставить n из уравнения (15.26), тогда
(19.5)
Из выражения (19.5) следует, что с ростом давления газа p средняя длина свободного пробега уменьшается. Для примера укажем, что при нормальных условиях (p105Па, Т=273К) молекулы кислорода движутся со средней скоростью порядка 500 м/с, имеют среднюю длину свободного пробега около 2*10-7м и совершают приблизительно 2,5.109 столкновений в секунду каждая. В табл.19.1 приведены значения <> для молекул кислорода при Т =293 К и различных давлениях.
Таблица 19.1
<> |
P | |
м |
Па |
мм.рт.ст. |
6,21*10-8 |
1,012*105 |
760 |
4,72*10-5 |
1,333*102 |
1 |
4,72*10-3 |
1,333 |
10-2 |
4,72*10-1 |
1,333*10-2 |
10-4 |
4,72*102 |
1,333*10-5 |
10-7 |
Как следует из таблицы, при малых давлениях значение <> может быть больше размеров области (сосуда), в которой находится газ; в этом случае молекулы движутся от одной стенки сосуда до другой практически без столкновений друг с другом.
Физическим вакуумом называется состояние газа, при котором средняя длина свободного пробега его молекул соизмерима с линейными размерами сосуда, содержащего газ.
Из сказанного следует, что понятие вакуума относительно. Чем больше размер сосуда, тем меньше давление, при котором наступает состояние вакуума, и наоборот. Например, для газа, заключенного в пористых телах с диаметром пор менее 10-7м, состояние при атмосферном давлении уже можно считать вакуумом, так как молекулы газа будут проходить сквозь эти поры, ударяясь о их стенки и не сталкиваясь друг с другом. В электронной лампе, размеры которой порядка нескольких сантиметров, состояние вакуума наступает при давлении 10-7Па, а в электронно-лучевой трубке с линейными размерами в десятки сантиметров вакуум наступает при давлении порядка 10-4 Па.