3. Визначення надійності системи в цілому

Нехай система S складається з n елементів, показники надійності яких відомі. Визначимо надійність системи. Вона залежить від того, як елементи об'єднані в систему, тобто від її структури.

Розглянемо систему без резервування, тобто відмова будь-якого елемента призводить до відмовлення системи в цілому. Щодо надійності така структура рівносильна послідовному з'єднанню елементів.

Нехай P – надійність системи S, а P_i – надійності елементів Э_i (рисунок 3)

Рисунок 4 – Послідовне з’єднання елементів

Нехай елементи відмовляють незалежно один від одного, тоді за правилом множення імовірностей незалежних подій маємо:

,

або . (5)

Якщо , то .

Резервні елементи включаються в систему паралельно тим, надійність яких недостатня. Нехай елементи Э₁ і Э₂ незалежні по відмовах, а відповідні надійності (імовірності безвідмовної роботи) дорівнюють Р₁ і Р₂, знайдемо (рисунок 4).

Рисунок 5 – Паралельне з’єднання елементів

Розглянемо імовірність відмови системи . Щоб подія (відмова всієї системи) відбулася, необхідно, щоб відмовили обидва елементи, тобто за правилом множення імовірностей незалежних подій маємо:

, (6)

використовуючи поняття ненадійності системи і ненадійності елементів маємо:

, (7)

де – відповідні ненадійності елементів (імовірність того, що елемент відмовить), які визначаються як .

Тоді маємо:

;

. (8)

Якщо число дублюючих один одного незалежних елементів дорівнює n, то надійність системи , якщо , то .

Для оцінки надійності складної структури, що включає в себе послідовні та паралельні об’єднання елементів, доцільно поділити систему на ряд підсистем, що не мають загальних елементів. На рисунку 5 наведений приклад розподілення складної системи семи елементів. Тут підсистема І містить два елементи, що пов’язані послідовно, підсистема ІІ – два паралельно зв’язаних елементи, підсистема ІІІ об’єднує послідовно І та ІІ підсистеми, IV підсистема – два паралельно зв’язаних елементи, V підсистема послідовно поєднує IV підсистему з п’ятим елементом.

Рисунок 6 – Складна система з паралельними та послідовними зв’язками між елементами

Відповідно до формул (5,8) отримуємо

(9)

Вихідними даними є структурна схема, що наведена на рисунку 6 і значення надійності елементів, що наведені в таблиці 3. Потрібно розрахувати надійність системи.

Рис. 7 – Структурна схема.

Таблиця 3 – Надійність елементів системи

Розрахуємо надійність системи за формулами 5 та 8: