Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

моделирование / _Dinamicheskoe_programmirovanie

.pdf
Скачиваний:
11
Добавлен:
10.04.2015
Размер:
666.58 Кб
Скачать

НЕЛИНЕЙНЫЕ И ДИНАМИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ

Методы получения математических моделей в задачах оптимизации информационных процессов и объектов .

При оптимизации систем необходимо решать ряд задач, , которые на качественном уровне можно сформулировать следующим образом:

Пусть имеется система, свойства которой могут изменяться, в частности, под влиянием управляющих воздействий. Тогда первой задачей, которая возникает при оптимизации системы, является задача выбора множества воздействий на систему, удовлетворяющих заданным условиям, следствием которого является множество М допустимых альтернатив системы. Поскольку множество допустимых альтернатив системы, как правило, содержит более одной альтернативы, то для устранения неоднозначности возникает вторая задача – задача выбора из множества допустимых альтернатив, в некотором (определенном) смысле наилучшей альтернативы. Это и есть задача оптимизации системы.

Глава 9. Методы нахождения экстремумов интегральных целевых функций системы.

9.1. Обобщенная постановка задачи оптимизации системы.

Пусть имеется множество допустимых альтернатив системы М, причем каждый элемент этого множества Vi M можно задать в виде:

V i {a1i , a 2i ,... a ij ,.., a mi } ,

где a ij – j-ое свойство i-ой альтернативы.

На множестве М зададим функционал следующим образом. Если известно

правило (алгоритм) ,

которое каждому элементу Vi M составит в соответствие

определенное действительное число

 

E (V i ) (V i ) ,

то будем считать,

что на множестве М задан функционал . Следовательно,

функционал осуществляет отображение множества М, имеющего в общем случае

произвольную природу на множество действительных чисел Е, а (V i )

– значение

функционала

на элементе Vi M . В частности, учитывая, что каждая допустимая

альтернатива

Vi M может быть задана с помощью вертикального

показателя

эффективности

 

Q (Vi )

{q1i , q 2i

,... q ij ,.., q mi }

функционал

может быть задан на множестве векторных показателей

допустимых альтернатив, как отображение

 

 

 

: Q (Vi ) E (Vi ) ,

 

которое каждому вектору Q (Vi )

ставит в

соответствие эффективность

альтернативы E (V i ) ,

т.е. действительное

число

характеризующее степень

1

достижения поставленной цели. Следовательно, в этом случае функционал

 

определяет правило преобразования Q (Vi

) в E (V i ) , а

 

 

 

 

 

 

 

[Q (Vi )]

E (Vi )

 

 

 

Понятие функционала является обобщением понятия функция, когда

аргументом является элемент произвольного множества Vi

M . С другой стороны,

функция

y

y (V i )

является частным случаем функционала заданного на множестве

Vi M

и

называется интегральной

целевой функцией

системы,

тогда

как

функционал

в общем случае называется интегральным критерием оптимизации

системы.

 

 

 

 

 

 

 

 

В

терминах

введенных определений

задача оптимизации

системы

в

обобщенном виде может быть сформулирована как задача отыскания

экстремального значения функционала

(V )

на множестве М,

аналогично задаче

отыскания экстремума функции.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Под решением задачи минимизации значения функционала

(V i ) на множестве

М понимается

альтернатива

V 0

M

такая,

что

для

остальных

элементов

Vi

M

выполняется неравенство:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(V i )

(V 0 ) .

 

 

 

 

 

Если решение этой задачи существует,

 

то

V 0

называется оптимальным

элементом множества М, а величина

E (V i )

 

(V 0 )

оптимальным значением

функционала

, т.е.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

E (V i )

(V 0 )

min

(V i

)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

V i

M

 

 

 

 

 

 

аналогично формулируется задача о нахождении максимального значения

функционала:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

E (V i )

(V 0 )

max

(V i ) ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

V i

M

 

 

 

 

 

 

причем задача максимизации значения функционала (V i )

сводится к задаче

минимизации

значения функционала

(V i ) ,

т.е. если на

элементе

V 0

M

функционал –

(V 0 ) достигает минимума, то (V 0 )

достигает искомого максимума.

 

Значение

функционала

(V i

)

называется

ограниченным снизу (сверху)

на

множестве М, если существует такое число E 0 , что

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Vi

M ( (Vi )

 

E 0 )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

или

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Vi

M ( (Vi )

 

E 0 )

 

 

 

 

 

Если значение функционала

(V i ) является ограниченным на множестве М, то

существует решение о нахождении точной нижней (верхней) границы, его значения на множестве М.

Точкой

нижней границей значения функционала (V i ) на множестве М

называется число E H , если:

1.

Vi M ( (Vi ) E H ) ;

2

2. существует минимизирующая

последовательность Vinf {V1 ,V 2 ,..V k ,..V s } ,

VОПТ M , на которой (V k ) E H .

 

 

Точка нижняя граница функционала обозначается

E H

inf

(Vi )

 

V i M

 

Аналогичным образом определяется точная верхняя граница функционала

E В

sup

(Vi ) ,

 

V i M

 

последовательность V sup на которой (V k )

E В называется максимизирующей.

Задача оптимизации системы, как задача о нахождении минимального или максимального значения функционала на множестве М, называемая задачей об оптимизации функционала (V i ) на множестве М, имеет две математические

постановки:

1.Найти V 0 M , такой что если он существует, то не достигается оптимальное значение функционала, т.е. удовлетворяется следующее условие:

 

V i M V 0

M ( (V 0 )

(V i ))

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2. Найти последовательность

Vinf M

или

Vsup M

являющуюся

оптимизирующей последовательностью

для

функционала (V i ) на

множестве М.

 

 

 

 

 

Решение задачи оптимизации системы в первой постановке может быть получено аналитическими методами и будет точным, а во второй – численными,

причем при достаточно большой S

значение (V S ) ,

где V S V inf

или V S V sup , будет

нижней или верхней границы, а

следовательно

V S будет

решением задачи

оптимизации системы с заданной точностью. При аналитическом решении задачи оптимизации, как задачи векторной оптимизации, когда скалярный критерий оптимизации (функционала ) задается в виде функций одной или нескольких переменных f ( q1 ,... q j ,.. q m ) ;

3.Задача формирования оптимальной альтернативы решается, как задача нахождения безусловного или условного экстремала интегральной целевой функции f .

Альтернативами Vi M при

таком решении

являются точки

m-мерного

пространства (m-мерные векторы)

 

 

 

 

 

 

Q

{q1 , q 2 ,... q m }

 

 

Множество М, если оно задается, то задается системой ограничений

 

i (q1 , q 2

,... q m )

0, i 1,... n

 

где i (q1 ,... q m ) – непрерывные функции.

 

 

 

Задача оптимизации состоит в отыскании оптимального вектора

Q {q1 ,... q m } ,

удовлетворяющего ограничениям (

i (q1

, q 2 ,... q m )

0, i

1,... n ), который минимизирует

или максимизирует функцию E f (q1 ,..q m ) .

3

f ( x, y )

9.2. Аналитические методы нахождения экстремумов интегральных целевых функций систем.

Если в постановке задачи оптимизации отсутствуют ограничения на независимые переменные, задающие множества М, то эта задача сводится к задаче отыскания безусловного экстремума интегральной целевой функции системы. Необходимым условием существования экстремума функции z в точке ( x 0 , y 0 ) является равенство нулю всех производных первого порядка в этой точке.

Точки, в которых производные

обращаются в нуль, называются стационарными

(критическими). Для функции n

переменных f ( x1 ,..., x n ) точка x ( x1 ,..., x n ) является

стационарной, если она является решением системы уравнений:

f

 

0

 

 

x

1

 

......... , где n 2 .

f

0

 

x n

 

Достаточные условия экстремума для функции одной переменной формулируются следующим образом. Если в стационарной точке хо существует

отличие от нуля вторая производная, то при

f " ( x 0 ) 0

в этой точке будет локальный

максимум, а при

f " ( x 0 ) 0

локальный минимум. При

 

f " ( x 0 )

0 вид локального

экстремума,

если он существует в точке x

 

x 0

можно определить по знаку отличной

от нуля производной

более

высокого порядка. Если

в

стационарной точке x 0

f " ( x 0 )

0 , а

f " ( x 0 )

0 ,

то x 0

– точка перегиба и локальный экстремум в ней не

достигается.

Если

f " ( x 0 ) не

существует

или

при

f " ( x 0 )

0

можно

определить

следующим образом: если f ' ( x 0 )

0 при x 0

 

h

x и

f ' ( x 0 )

0

при x 0 h

x , где h -

производное достаточно малое число, то

x 0

точка локального максимума. Если

f ' ( x 0 )

0 при x 0 h

x

и f ' ( x 0 )

0

при x 0

h

x , то x 0

– точка локального минимума.

Если

f ' ( x ) имеет одинаковый знак при x 0

 

h

x

и x 0

h

x , то x 0 – точка перегиба

функции и экстремум в этой точке не достигается.

Достаточные условия экстремума для функции нескольких переменных сформируем на примере функции двух переменных. Пусть для функции f ( x, y ) точка ( x 0 , y 0 ) стационарная.

Тогда

f

x

( x 0 , y 0 )

f

0,

y

0

( x 0 , y 0 )

производные первого порядка в точке ( x 0 , y 0 ) ,

2

f

 

 

 

 

 

2 f ( x 0 , y 0 )

2

f

 

 

 

 

 

2

f

 

 

 

 

 

A

 

 

 

 

 

 

 

 

, B

 

 

 

 

 

 

 

, C

 

 

 

 

 

 

 

x 2

( x

 

, y

 

)

x 2

x

y

( x

 

, y

 

)

y 2

( x

 

, y

 

)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

0

 

 

 

 

 

 

0

 

0

 

 

 

 

 

0

 

0

 

производные второго порядка в точке ( x 0 , y 0 ) . Составим из них матрицу:

4

 

2

f ( x 0 , y 0 )

 

2

f ( x 0

, y 0

)

AB

H

x 2

 

 

x

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

f ( x 0 , y 0 )

2

f ( x 0

, y 0

)

BC

 

 

x y

 

 

y 2

 

 

 

 

 

 

 

Эта матрица, составленная из вторых частных производных, называется матрицей Гессе. В терминах матрицы Гессе достаточные условия экстремума имеет вид:

если главный минор матрицы

 

 

 

2

f ( x 0

, y 0 )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

x 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

и определитель матрицы

 

 

 

 

 

 

 

 

H

 

AC

B 2 0

 

 

 

 

 

то в точке ( x 0 , y 0 )

функция имеет максимум;

если

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

f ( x 0

, y 0 )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

x 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

то в точке ( x 0 , y 0 )

– минимум;

 

 

 

 

если

H

0 , то экстремума нет;

 

 

 

 

если

H

0 , то необходимы дополнительные исследования (однозначного

вывода о виде экстремума сделать нельзя).

Если на независимые переменные наложены дополнительные ограничения, то задача оптимизации системы решается, как задача отыскания условного экстремума функции. Одним из методов решения задачи нахождения условного экстремума целевой функции системы является метод неопределенных множителей Лагранжа, который играет фундаментальную роль в науке оптимизации решений.

Метод распространяется на целевые функции любого числа независимых переменных, связанных произвольным числом уравнений ограничений, при условии, что целевые функции и функции-ограничения непрерывны и, как минимум, дважды дифференцируемы.

Пусть требуется найти экстремум целевой функции m переменных

y f ( x1 , x 2 ,.. x j ,.. x m ) extr при условии, что переменные x1 , x 2 ,.. x j ,.. x m связаны

n ( n m ) ограничениями.

 

1 ( x1 , x 2 ,..... x m )

0

 

2 ( x1 , x 2 ,..... x m )

0

 

.......... .......... .......... .

 

i ( x1 , x 2 ,..... x m )

0

 

n ( x1 , x 2 ,..... x m )

0

Для нахождения

стационарных точек

x

x10 , x 20 ,.... x n0

вспомогательную функцию Лагранжа

 

 

( x1 , x 2 ,... x m ;

1 , 2 ,... n ) f ( x1 , x 2 ,.. x m )

1

1 ( x1 , x 2 ,.. x m )

необходимо составить

.... n n ( x1 , x 2 ,.. x m )

5

с m n неизвестными, среди которых n неизвестных играют вспомогательную роль и решить задачу нахождения стационарных точек для этой функции, т.е. приравнять нулю ее частные производные решить систему уравнений:

f

 

 

 

1

 

 

 

...

 

 

 

n

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x1

1

 

 

x1

n

 

 

x1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f

 

 

 

 

1

 

 

 

...

 

 

 

n

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x 2

1

 

 

x 2

n

 

 

x 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.......... .......... .......... .......... ......

 

f

 

 

 

 

1

 

 

...

 

 

 

n

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x m

1

 

 

x m

n

 

 

x m

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 ( x1 , x 2 ,.. x m )

0

 

 

 

 

 

 

 

 

.......... .......... .........

 

 

 

 

 

 

 

 

n ( x1 , x 2 ,.. x m )

0

 

 

 

 

 

 

 

 

Найденные стационарные точки являются стационарными точками исходной целевой функции, следовательно, используя метод Лагранжа, можно свести задачу нахождения условного экстремума целевой функции к задаче безусловного экстремума.

9.3.Численные методы нахождения экстремумов интегральных целевых

функций.

9.4.Контрольные вопросы.

1.Какова качественная формулировка задач оптимизации систем.

2.В чем сущность постановки задачи оптимизации системы, как задачи нахождения оптимальной альтернативы.

3.В чем отличия постановки задачи оптимизации системы, как задачи нахождения оптимизируемой последовательности.

4.В чем назначение и сущность аналитических методов нахождения безусловных экстремумов функций при оптимизации систем.

5.В чем назначение и отличие аналитических методов нахождения условных экстремумов функций при оптимизации систем.

6.В чем отличия приближенных методов нахождения безусловных экстремумов функций.

7.

8.

Глава 10. Задача оптимизации системы, как вариационная задача.

Рассмотренные в главе 3 аналитические модели позволяют исследовать динамику моделируемой экономической системы и ответить на вопрос – какова эффективность той или иной альтернативы параметров этой системы, однако, они не позволяют решать задачи оптимизации системы в постановке приведенной а 6.25. Такие задачи решаются с помощью оптимизационных аналитических моделей, которые учитывают не только динамику, но и цель развития экономики.

6

Оптимизационные аналитические модели формируются в терминах оптимального программирования – раздела прикладной математики, изучающего задачи условной оптимизации. Аналитическая оптимизационная модель экономической системы в соответствии с оптимальным программированием имеет следующий обобщенный вид:

E (V i )

[Q (V i )]

extr

 

 

V i M

q1 [Q (V i )]

b1

 

(3.1)

q n [Q (V i )] b n

где q1 ,... q n – функция ограничения.

Все оптимизационные модели вида (3.1) различаются в зависимости от вида функционала , а так же наличия и вида функций-ограничений.

В частности, для формирования одного из возможных вариантов оптимизационной модели можно использовать однопродуктовую динамическую модель Леонтьева

X (t ) aX (t ) b dx C (t ) (3.2) dt

10.1. Формирование оптимизационных моделей.

Если рассматривать развитие экономики на некотором промежутке времени t [0, T ] , то различные альтернативы такого развития Vi M можно задать функцией

потребления C (t ) , зная которую легко однозначно из управления модели найти траекторию валового продукта X (t ) . Чтобы найти оптимальную траекторию X (t ) , т.е. решить задачу оптимизации процесса развития экономики, как задачу выбора из множества допустимых процессов наиболее эффективный, необходимо прежде всего сформировать интегральный критерий эффективности этого процесса.

В качестве такого интегрального критерия используется аддитивный критерий, учитывающий объем потребления за рассматриваемый промежуток времени и объем валового продукта за конечный момент времени, который представляет собой функционал вида:

 

 

T

 

 

I

e t c (t ) dt X (T )

(3.3)

 

 

0

 

где e

t c (t ) – дисконтированное потребление;

 

e

t – взвешивающая функция;

 

 

– коэффициент дисконтирования;

 

,

– весовые коэффициенты.

 

7

Тогда оптимизационная модель, позволяющая решать задачу оптимизации траектории взвешивания экономики в соответствии с функционалом (3) имеет следующий вид:

 

T

 

 

 

 

 

I [V i ]

e t c (t ) dt

X (T )

max ,

 

0

 

 

 

 

Vi M

 

 

 

 

 

 

при C (t )

X (t )

aX (t )

b

dx

;

(3.4)

 

 

 

 

 

dt

 

 

C min

C (t )

C max ;

 

X (0) X 0

Примером другого варианта оптимизационной модели является модель, используемая для решения задачи оптимизации динамики капитальных вложений.

В качестве интегрального критерия оптимальности в этом случае используется функционал вида:

 

T

 

 

I

e t I (t ) dt

K (T ) ,

(3.5)

 

0

 

 

где I (t )

K (T )

функция интенсивности чистых инвестиций;

величина основных производственных фондов в конце планового

периода.

Тогда после замены имеет вид:

I (t ) и K (T ) в соответствии с (2) оптимизационная модель

 

T

 

 

I [V i ]

bX ' (t ) dt

X (T )

min ,

 

0

 

Vi M

 

 

 

при I min

bX ' (t )

I max

(3.6)

K (0) K 0

Представленные оптимизационные модели позволяют решать задачу нахождения оптимальной траектории развития экономики, как задачу нахождения условного экстремума функционалов видов (3.3) или (3.5).

Если в качестве критерия оптимальности выбрать долю непроизводственного

потребления C (t )

в объеме

производственного

потребления aX (t ) b

dX (t )

или в

dt

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

объеме валового

продукта

X (t ) , то в

качестве интегрального критерия

эффективности можно использовать функционалы:

 

 

 

T

C (t ) e

t

 

 

 

I [ X (t )]

 

 

 

dt ж

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0 aX (t )

bX ' (t )

 

 

 

 

T

 

C (t )

e

t

 

 

 

I [ X (t )]

 

 

 

 

dt .

 

 

 

 

 

 

 

 

0 X (t )

Тогда задача нахождения оптимальной по потреблению траектории развития экономики может быть поставлена, как задача нахождения безусловного экстремума функционала:

 

b

 

I [ y ( x )]

F ( y ' , y , x ) dx

extr ,

 

a

 

при y ( a )

A ;

(3.7)

8

y ( x )
F ( x, y , y ' )

 

y (b ) B ;

где X t ; y X (t ) ; y '

X ' (t ) ;

a 0 ; b T ; y (a )

X 0 ; y (b ) X T

Если, используя, однопродуктовую аналитическую модель Леонтьева выразить функцию непроизводственного потребления через траекторию развития экономики:

C (t ) X (t ) aX (t ) bX ' (t ) ,

то задача оптимизации экономической системы может быть поставлена как задача нахождения безусловного экстремума функционала вида:

T

e

t [ X (t )

aX (t )

bX ' (t )]

 

 

I [ y (t )]

 

 

 

 

 

 

 

 

dt

extr ,

 

 

aX (t )

bX ' (t )

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

при X (0)

X 0 ;

X (T )

 

X T , (3.8)

 

или вида:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

I [ X (t )]

T e

t [ X (t ) aX (t )

bX ' (t )]

dt

extr ,

0

 

 

X (t )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

X (0)

X 0 ;

X (T )

X T ,

(3.9)

 

Постановки задачи оптимизации экономической системы (3.8), (3.9) полностью совпадают с постановкой простейшей вариационной задачи (7), Поэтому при использовании описанного подхода для решения задачи оптимизации системы, в качестве базовых, можно использовать методы нахождения безусловного экстремума функционала вида (7).

10.2. Безусловный экстремум функционала.

Пусть в задаче оптимизации системы приведенной в 10.1 постановке (3.7) подинтегральная функция имеет непрерывные частные производные по всем трем аргументам до второго порядка включительно.

Тогда простейшей задачей вариационного исчисления является задача отыскания среди всех функций , имеющих непрерывную производную и удовлетворяющих граничным условиям

y ( a ) A, y (b ) B

(3.10)

такой функции, которая доставляет слабый экстремум функционалу вида:

b

 

J [ y ( x )] F ( y ' , y , x ) dx

(3.11)

a

 

Любая функция y ( x ) , имеющая непрерывную первую производную на интервале [ a , b ] и удовлетворяющую граничным условиям (3.10). Называется допустимым аргументом функционала (3.11) и принадлежит некоторому множеству функций М, на котором определен функционал (3.11). Множество М называется областью задания функционала (3.11).

Аргументы функционала y1 ( x ) и y 2 ( x ) , заданные на интервале и принадлежащие множеству М называются близкими в смысле близости нулевого порядка, если модуль разности

9

y1 ( x ) y 2 ( x )

малы на интервале [ a , b ] . Геометрически близость нулевого порядка функций y1 ( x ) и y 2 ( x ) означает, что эти кривые на интервале [ a , b ] близки по ординатам.

Функции y1 ( x ) и y 2 ( x ) , заданные на интервале [ a , b ] и принадлежащие множеству М, называются близкими в смысле близости первого порядка, если модули разностей

y1 ( x ) y 2 ( x ) и y1' ( x ) y 2' ( x )

малы на интервале [ a , b ] . Геометрически близость первого порядка означает, что

функции

y1 ( x )

и y 2 ( x )

на интервале [ a , b ] близки, как

по ординатам, так

и по

направлениям касательных в соответствующих точках.

 

 

 

Функции y1 ( x ) и

y 2 ( x )

близки в смысле близости порядка, если модули

разностей

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y1 ( x )

y 2 ( x )

 

,

 

y1' ( x )

y 2' ( x )

 

,.....,

 

y1k ( x )

y 2k ( x )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

малы на интервале [ a , b ] .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Если функций y1 ( x )

и y 2 ( x ) близки в смысле близости порядка, то они тем более

близки в смысле близости любого меньшего порядка.

 

 

 

Функционал J [ y ( x )]

достигает на функции y

y 0 ( x ) максимума, если значения

функционала на любой близкий к y

y 0 ( x ) функции не больше, чем J [ y 0 ( x )] , т.е.

 

 

 

 

J

J [ y ( x )]

J [ y 0 ( x )]

0 .

 

 

 

Если

J

0 , причем J

0 только при y ( x )

 

y 0 ( x ) ,

то на функцию y

y 0 ( x )

достигается строгий максимум.

Аналогично определяется функция, на которой достигается минимум. В этом случае на всех функция J 0 на всех функциях близких к y y 0 ( x ) .

Функционал J [ y ( x )] достигает на функции y

y 0 ( x ) сильного относительного

максимума, если для всех допустимых

аргументов функционала y ( x )

M ,

расположенных в некоторой

-окрестности

нулевого порядка функции

y

y 0 ( x )

выполняется условие

 

 

 

 

 

 

J [ y ( x )]

J [ y 0 ( x )]

 

 

 

Аналогично определяется сильный относительный минимум функционала.

 

Функционал J [ y ( x )] достигает на функции y

y 0 ( x ) слабого относительного

максимума, если для всех допустимых

аргументов функционала y ( x )

M ,

расположенных в некоторой

окрестности

первого порядка функции

y

y 0 ( x )

выполняется условие J [ y ( x )] J [ y 0 ( x )] .

Аналогично определяется слабый относительный минимум функционала. Сильные и слабые максимумы и минимумы функционала J [ y ( x )] называются

относительными экстремумами.

Всякий сильный функционал есть одновременно и слабый, но не наоборот. Экстремум функционала J [ y ( x )] на всей совокупности функций, на которой он

определен, называется абсолютным экстремумом.

10

Соседние файлы в папке моделирование