моделирование / Modul_2._Specialnye_modeli_lineinogo_programmirovanija
.pdf
|
2 |
3 |
1 |
1 |
4 |
P1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
4 |
2 |
2 |
3 |
P2 |
7 |
1 |
1 |
P3 |
|
|
A |
7 |
0 |
1 |
1 |
0 |
P3 |
A 3 |
|||||
1 |
0 |
3 |
P4 |
|||||||||
|
1 |
3 |
0 |
3 |
4 |
P4 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
6 |
1 |
1 |
1 |
1 |
P5 |
|
|
|
|
|
Подпишем над столбцами матрицы смешанные стратегии банка В, которые остались после исключения доминируемых стратегий В, В5, вероятности применения которых равны нулю: q2 = 0, q5 = 0. Рядом со строками матрицы подпишем смешанные стратегии банка А, которые остались после исключения доминируемых стратегий Аь А2, А5, вероятности применения которых также равны нулю: p = 0,p2 = 0, p5 = 0.
3. Так как среди элементов упрощенной матрицы есть отрицательные, то ко всем элементам А прибавим такое число L > 0, чтобы все значения стали неотрицательными. В нашем примере возьмем L = 1. При этом цена игры y увеличится на L = 1 и станет равной Yi= y + 1, а оптимальные смешанные стратегии банков не изменятся. Получим следующую платежную матрицу:
A4 |
7 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
8 |
2 |
0 |
|
1 |
0 |
3 |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
4 |
||
|
4. Составим пару взаимно двойственных задач, эквивалентную матричной игре с платежной матрицей А4. Для этого подпишем над столбцами матрицы переменные х, х2, х3, соответствующие смешанным стратегиям банка В, а рядом со строками матрицы - переменные y, y2, соответствующие смешанным стратегиям банка А:
|
q 1 |
q 3 |
q 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 1 |
x 2 |
x 3 |
|
|
|
A 4 |
8 |
2 |
0 |
y 1 |
p 3 |
|
0 |
1 |
4 |
y 2 |
p 4 |
||
|
Целевая функция z прямой задачи исследуется на максимум и равна сумме переменных Xj , т.е.
z = х 1 + х 2 + х 3 |
max |
. А ограничения выписываются по строкам и не превышают единицы: |
|
|
8 x 1 |
2 x |
x 2 |
4 x |
2
3
1,
1,
x j 0,j 1,3.
Целевая функция F двойственной задачи исследуется на минимум и равна сумме переменных yi, т.е.
F y 1 y 2 |
min |
при ограничениях, больших либо равных единице, которые выписываются по столбцам:
8 y 1 |
|
|
1, |
|
2 y 1 |
y 2 |
1 , |
||
|
4 y 2 |
1 |
||
|
|
|
|
|
y i |
0,i 1,2 . |
|||
(Можно также просто построить двойственную задачу к прямой.) 5. Решим прямую задачу симплекс-методом:
z x 1 x 2 |
x 3 |
max |
, |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
8 x1 |
2 x 2 |
|
x 4 |
1, |
|
||
|
x 2 |
4 x3 |
1, |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
x j |
0, j |
1,3. |
|
|
|
||
Приведем ее к каноническому виду:
z x 1 |
x 2 |
|
x 3 |
|
0 x 4 |
0 x 5 |
max, |
|||
8 x 1 |
2 x 2 |
|
|
x 4 |
1, |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
x 2 |
4 x 3 |
|
x 5 |
1 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x j |
0, j |
1,5. |
|
|
|
|
|
|
||
Выпишем начальный опорный план задачи (это возможно, так как в каждом ограничении есть по одной базисной переменной: в 1-м - х, во 2-м - х5):
x 0 |
(0, 0, 0, 1, 1), z(x 0 ) 0 |
. |
|
|
Составим исходную симплекс-таблицу и решим задачу обычным симплексным методом.
Симплекс-таблица 1
Б |
|
З |
Х1 |
Х2 |
Х3 |
Х4 |
Х5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X4 |
y1 |
1 |
8 |
2 |
0 |
1 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
X5 |
y2 |
1 |
0 |
1 |
4 |
0 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
0 |
- 1 |
-1 |
-1 |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Найдем ведущий элемент по минимальному симплексному отношению и пересчитаем таблицу методом замещения Жордана - Гаусса. Занесем новые данные во 2-ю симплексную таблицу.
Симплекс-таблица 2
Б |
З |
Х1 |
Х2 |
|
Х3 |
Х4 |
Х5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
х4 |
1 |
8 |
2 |
|
0 |
|
1 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Х3 |
0,25 |
0 |
0,25 |
1 |
0 |
0,25 |
||
|
|
|
|
|
|
|
||
z |
0,25 |
-1 |
-0,75 |
0 |
0 |
0,25 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Аналогичным образом будем пересчитывать таблицы до тех пор, пока в z-строке все элементы (не считая значения) станут неотрицательными.
Симплекс-таблица 3
|
|
Б |
З |
Х1 |
|
Х2 |
Х3 |
Х4 |
Х5 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
х1 |
0,125 |
1 |
|
0,25 |
|
|
0 |
|
0,125 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Х2 |
0,25 |
0 |
0,25 |
|
1 |
|
0 |
|
0,25 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
0,375 |
0 |
-0,5 |
|
|
0 |
|
0,125 |
|
0,25 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Симплекс-таблица 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
Б |
З |
Х1 |
Х2 |
|
X3 |
|
Х4 |
|
Х5 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Х2 |
0,5 |
4 |
1 |
|
|
0 |
|
0,5 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X3 |
0,125 |
-1 |
0 |
|
|
1 |
|
-0,125 |
|
0,25 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
0,625 |
2 |
0 |
|
|
0 |
|
0,375 |
|
0,25 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Так как в z-строке последней симплексной таблицы все элементы больше или равны нулю, то найден оптимальный план. Он единственный, поскольку нули z-строки соответствуют только
базисным переменным: |
X |
0pt (0, 0, 5, 0,125, 0, 0) |
, а значение целевой функции |
Z max 0,625 |
|
|
|
По соответствию переменных прямой и двойственной задач выпишем решение двойственной задачи. Так как у нас симметричная пара двойственных задач, то в строке оценок (z-строке)
найдем элементы , соответствующие переменным, которые входили в исходный базис, x 4 , x 5 , и присвоим их значения двойственным неизвестным y, y2, т. е. y1* 0,375, y *2 0,25.
Следовательно, |
Yopt |
(0,375,0,2 5). |
При этом минимальное значение целевой функции |
|
|
двойственной задачи совпадает с максимальным значением целевой функции исходной задачи,
т.е. Fmin Z max 0,625 .
6. Используя соотношения между оптимальными решениями пары двойственных задач Xopt и
* |
* |
Yopt, оптимальными стратегиями p |
и q и ценой игры у, найдем решение игры в смешанных |
стратегиях. |
|
Вычислим сначала цену игры у1, используя формулу
1 |
1 |
|
|
|
|
z opt |
|
Fopt |
|
1 |
1 \ 0,625 |
1,6 |
1 |
1 1,6 1 0,6 |
(тыс. ден. ед.). |
||
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
||
Используя соответствия между Pj и уj, qj и Xj из матрицы |
||||||||
|
|
q 1 |
q 3 |
q 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 1 |
x 2 |
x 3 |
|
|
|
|
A 4 |
|
8 |
2 |
0 |
y 1 |
p 3 |
|
|
|
0 |
1 |
4 |
y 2 |
p 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
найдем оптимальные смешанные стратегии банков А и В по формулам
**
p i |
y i |
1 , |
i 1, 5; |
||
* |
x *j |
|
|
|
|
q j |
1 , |
j 1, 5 . |
|||
Тогда оптимальные стратегии банка А будут равны:
p3* |
y1* |
1 |
p4* |
y2* |
1 |
0, 376 |
1, 6 |
0, 6; |
0, 2 5 |
1, 6 |
0, 4; |
p * |
p * |
p * |
0 |
p * (0; 0; 0, 6; 0, 4; 0); |
1 |
2 |
5 |
|
|
Следовательно, из общей суммы средств а тыс. ден. ед., выделяемых банком А на строительство пяти объектов, на долю 3-го объекта
следует выделить 60 % (так как |
p *3 |
0,6 |
), а на долю 4-го - 40 % этой суммы (так как |
p *4 |
0,6 |
). |
||||
|
|
|
|
|||||||
На остальные строительные объекты деньги выделять нецелесообразно (так как p 1* |
p *2 |
p *5 0 |
||||||||
). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Для банка В соответственно получим: |
|
|
|
|
||||||
q * |
x * |
1 |
0 1, 6 |
0; |
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
q3* |
x2* |
1 |
0, 5 1, 6 0, 8; |
|
|
|
|
|
|
|
q 4* |
x3* |
1 |
0,1 2 5 |
1, 6 0, 2; |
|
|
|
|
|
|
q2* q5* 0 |
p * (0; 0; 0, 8; 0, 2; 0); |
. |
|
|
Таким образом, из общей суммы средств b тыс. ден. ед., выделяемых банком В на строительство пяти объектов, на долю 3-го объекта следует выделить 80 % (так как q 3 0,8 ), а на долю 4-го - 20
% всей суммы (так как |
q |
4 0,2 |
). В остальные строительные объекты деньги вкладывать |
|
|
||
нецелесообразно (так как q1* |
q2* q5* 0 ). |
||
Такое распределение денежных средств банками А и В на строительство пяти объектов позволит им получить максимальную прибыль 0,6 тыс. ден. ед.