Все задания за 4 курс 7 семестр / Основы теории информации / Примеры решения задач по контрольной работе

Пример: Сообщения передаются в двоичном коде. Время передачи от нуля до одной секунды, r0 = 1 сек, 1−τ1 =5 секунд. Определить скорость передачи информации для случая:

1) Символы равновероятны и независимы.

i=1

Дискретный канал с помехами

Пример: Определить пропускную способность канала связи, способного передавать 100 симв./сек . Каждый символ искажается с вероятностью 0,01.

С =100[1+0,01 log0,01+0,99log0,99]≈92 бит/ сек

Корректирующие коды

того, чтобы определить кодовое расстояние достаточно просуммировать кодовые комбинации по правилам двоичного поля и подсчитать число единиц в полученном результате.

Ошибку можно не только обнаружить, но и исправить, если принятая кодовая комбинация ближе к исходной, чем к любой другой разрешённой комбинации.

Пример: Построим код: К коду 2 добавим два символа, повторив первых два символа получим код 3:

Код 2

А1=000 А2=011 А3=101 А4=110

vx ближе всего к А3, следовательно посылалась А3 и мы ошибку исправили.

Пример: Требуется передавать, обнаруживающим трёхкратные ошибки, все комбинации пятизначного двоичного кода. Чему равна общая длина кода ?

r– кратность обнаруживающих ошибок.

s– кратность исправляемых ошибок.

nк(3) =1 + log[(nи +1) + log(nи +1)]

nи = 5; nк = 1 + log[6 + log6] = 5 n = nи + nк = 10

Пример: Определить количество информационных разрядов кода длиной в пятнадцать символов, если код исправляет две ошибки.

n=15

nи = n - nк = 15 – 7 = 8

Систематические коды

Пример: Пусть строится код (5,3) с минимальным кодовым расстоянием d0=2. Он позволяет обнаруживать все одиночные ошибки. Составим производящую матрицу G:

Можно было бы построить G из любой другой тройки векторов, кроме сочетаний v2v3v5, v2v4,v1 и т.д. (семь штук), т.к. эти сочетания линейно зависимы, т.е. v2 + v4 + v7 ≠0.

Построим ортогональные векторы u (проверочные).

Составим ∑аibi для векторов v2, v3, v8. Эти вектора имеют минимальное количество

Для любого вектора u должно выполняться

b4 =b5b1 =b3b2 =b3 +b5

Перебирая все удовлетворяющие этим условия сочетания, получили:

u1 = 00000 u2 = 01011 u3 = 10111 u4 = 11100

Из этих векторов необходимо составить проверочную матрицу Н

Декодирование систематических кодов

1. Декодирование с помощью полной кодовой таблицы. Рассчитаем параметры этой таблицы

N = 25 = 32 – код пяти значений

N0 = 23 = 8 – разрешённая комбинаяция

N - N0=32-8=24 – запрещённая коибинация ( кодовых исправлений 24 ошибки )

Строим полную кодовую таблицу. В качестве первой строки используем разрешенные комбинации v1 – v8

Общий метод декодирования состоит в следующем: Приняв некий вектор vx, содержащий ошибку, его отыскивают в полной кодовой таблице и соотносят с тем кодовым вектором, который стоит в верхней строке этого столбца.

Пример: vx=00111, находим в таблице и соотносят с 01 строкой, т.е. v = 00011

Достоинство метода: его универсальность, возможность применять различные стратегии.

Недостаток: громоздкость кода и только 3-и ошибки.

2. Декодирование с проверкой на четность.

Пример: , пусть принят вектор vx = 00110. Он имеет координаты а1 а2 а3 а4 а5. Составим схему проверок.

а2 + а4 + а5 = 0 +1 +0 =1 а1 + а2 + а3 = 0 +0 +1 =1

Если бы ошибок не было бы, то здесь были бы нули.

Возможность кода к исправлению ошибки можно объяснить схемой

Следовательно, данный код может исправить во втором бите, обнаружить ошибку четвёртом или пятом бите, обнаружить ошибку в первом и третьем бите.

Для исправления всех ошибок надо, чтобы каждый бит появлялся в оригинальной комбинации строк в таблице проверки, и так будет, когда d0=3 и добавиться ещё одна проверка

3.Декодирование с помощью корректирующего вектора

Пример: Нужно выбрать систему кодирования. Возьмём ту же систему кодов и H. 1. Определение шаблонов корректирующего вектора

Векторы ошибок

Шаблоны известны на приёмной стороне ещё до посылки комбинации

2. Определение корректирующего вектора

Пусть принят вектор vx = 01001

u1vx = 01011 01001 =1 +1 = 0 C1 = 0

Сравниваем полученный вектор ошибки с нашим шаблоном и определяем, что это e2.

3) Исправляем ошибку

01001

vx +С = 0110100100 , что соответствует комбинации v3.

Можно строить образующую матрицу достаточно простым способом, например, единичной матрицей nu × ni.

обнаружить одиночную ошибку. Преимущество кода состоит в том, что его можно легко составить, в исправляющих способностях выйгрыша нет.

1)a1 + a3 + a5 + a7 = k1 + 0 + 1 + 1 = 0 k1 = 0

2)a2 + a3 + a6 + a7 = k2 + 0 + 0 + 1 = 0 k2 = 1

3)a4 + a5 + a6 + a7 = k3 + 1 + 0 + 1 = 0 k3 = 0

Код Хэминга будет иметь вид 0100101