3.2. Математические модели технологических объектов, используемые в задачах управления

Общие положения. Математические модели ТЭС составляют для описания технологических процессов и формирования крите­риев управления на различных уровнях (локальных, блочных, об­щестанционных). В наиболее общем виде их записывают в форме отображений

S

(3.1)

_ТЭС:x_ТЭС → y_ТЭС.

Применительно к каждому энергоблоку конечное множество входных воздействий х = {x_i} X — изменения расходов воды, топлива и воздуха и т.д. К множеству выходных воздействий (сиг­налов) у = {y_i} У относят изменения электрической мощности, паропроизводительности котлов и параметры, характеризующие состояние энергоносителей на выходе блока (давление, темпера­тура, энтальпия и др.).

Для отдельных моделей подходящим уровнем математической абстракции служат уравнения материального и энергетического балансов, по которым рассчитывают ТЭП энергоблоков и станции в целом, а также дифференциальные уравнения (передаточные функции, комплексные частотные характеристики и др.), описы­вающие переходные процессы в котлах и турбинах. На основе этих уравнений определяется вид управляющих воздействий для дости­жения оптимальных значений ТЭП в установившемся и переход­ном режимах.

Пред составлением математических моделей ТЭС необходимо определить каналы передачи регулирующих, управляющих и воз­мущающих воздействий для каждого объекта управления. При этом технологический объект управления (ТОУ), рассматривае­мый в виде самостоятельного звена сложной системы, определяют как совокупность технологического оборудования и реализованно­го на нем по соответствующим технологическим инструкциям или регламентам технологического процесса производства [28].

В качестве объекта управления, характеризующего технологи­ческий процесс на ТЭС в целом, обычно выбирают типичный энер­гоблок. Технологический процесс, протекающий в таком энерго­блоке, можно представить в виде двух последовательных процес­сов: в паровом котле и турбогенераторе. Для укрупненных моделей ТЭС дальнейшая детализация процессов нецелесообразна. Вместе с тем, представление математической модели ТЭС в виде семейства независимых моделей двух вертикально соподчиненных подсистем — электростанции и энергоблока в соответствии с опре­делением стратификации сложной системы будет неправомерным из-за несоблюдения условия независимости математических страт (2.19) и нарушения ограничения (2.21). В самом деле, внешние возмущения со стороны ЭС, поступающие на ТЭС по двум каналам входных воздействий — частоте и мощности, оказывают влияние через общие шины ТЭС на основные выходные величины ТЭС и энергоблока одновременно. Это вынуждает представлять модель ТЭС в виде семейства одноуровневых моделей агрегированного (обобщенного) блока с единым технологическим процессом, состо­ящим из двух последовательных процессов в котле и турбине.

При математическом описании технологических процессов ТЭС используют модели статики, описывающие установившиеся состояния, и модели динамики, описывающие переходные режи­мы. Как те, так и другие могут быть построены аналитическим и экспериментальным методами [6, 12, 20, 22].

Модели статики. Математические модели статики объектов ТЭС могут быть представлены несколькими видами. Первый вид моделей определяет связь между каким-либо входом х_i и соответ­ствующим ему выходом у_i в установившемся режиме работы энер­гоблока. Модели в этом случае составляют в форме алгебраичес­ких уравнений, таблиц или графических зависимостей:

y

(3.2)

_i=f(x_i).

З

(3.3)

ависимость (3.2) для линеаризованных систем имеет вид

y_i=k_ix_i.

Примеры определения численного значения k_i промышленного

объекта приведены в [12].

Для нелинейных систем, к каким относятся все промышленные объекты при изменении входных сигналов в широком диапазоне значений, составляют дополнительное семейство моделей статики, которые определяют связь между значениями k_i, и нагрузкой объ­екта, изменяющейся от минимального до номинального значений:

k

(3.4)

_i=f(λ_i).

где λ_i = N_ф/N_о; N_ф, N_о — фактиче­ская и номинальная нагрузки.

Вкачестве примера на рис. 3.2 приведена экспериментальная за­висимость (3.4) для прямоточного котла ТГМП-204 производительно­стью 2500 т/ч по каналу воздействия топливо — температура за по­толочным экраном.

С

Рис. 3.2. Статическая характерис­тика по температуре k_i=f(λ_i) пря­моточного котла

(3.5)

уществует еще один вид моде­лей статики промышленных объек­тов, используемый в задачах управ­ления. Он определяет связь между заданным значением регулируемой величины и нагрузкой объекта, оце­ниваемой непосредственно или по какому-либо косвенному параметру:

y_3i=f(λ_i).

Примером модели (3.5) служит график подъема параметров энергоблока, в частности давления пара перед турбиной, в зави­симости от набора электрической мощности в скользящем режиме работы оборудования (рис. 3.3, а).

Аналитические формы записи нелинейных моделей чаще всего неизвестны. Поэтому их задают в виде графиков или таблиц, по­строенных по результатам опытного или расчетного определения значений k_i, в принятом диапазоне изменения нагрузок. Вид ап­проксимирующей функции нелинейных моделей статики зависит от типа решаемых задач, в которых они используются.

Чаще всего применяют кусочно-линейные или кусочно-квадра­тичные приближения. Например, в задачах определения опти­мальных настроек регуляторов в широком диапазоне изменения нагрузок по известным динамическим характеристикам объектов дополнительно используют математические модели статики в виде таблиц или монотонно вогнутых или выпуклых кривых, аппрок­симируемых ступенчатыми функциями. Аппроксимирующая функция в данном случае — дискретная последовательность сред­них значений k_i, взятых на отрезках λ_i-1, λ_i.

Рис. 3.3. Статические характеристики энергоблока (а), прямоточного (б) и

бара­банного котлов (в)

Задача расчета настроек в этом случае разбивается на n подза­дач с k_i = const на каждом из интервалов (см. рис. 3.1).

Когда у — функция не одного, а двух (х_i и х_j) или нескольких входных сигналов, дополнительно составляют модели статики, ус­танавливающие связь между ними:

x

(3.6)

_i = f(x_j).

Примером такой модели может служить зависимость, заданная в виде графика, между расходом воздуха G_в и топлива B_т (мазута) для котла ТГМП-204 (рис. 3.2,6).

В

(3.7)

общем случае при наличии одного выхода иn независимых входов (факторов) математической модели статики также состав­ляют на основе описания статических связей между у и х. Послед­ние часто представляют в виде ограниченного ряда Тейлора. При этом неизвестную зависимость

y=S(x),

где х ={x_i} X, i = {i 1, 2, 3, ....,n} аппроксимируют следующим образом:

(3.8)

где

Обычно значения коэффициентов β определяют эксперимен­тально. При наличии помех в условиях промышленной эксплуа­тации Y(t) случайный процесс даже при неизменных (стабили­зированных) значениях входных переменных x_i(t). Поэтому ап­проксимирующее выражение (3.8) следует рассматривать не как прямую аналитическую зависимость, а как условное математичес­кое ожидание m_у. Случайный характер изменения у приводит к тому, что по результатам эксперимента вычисляют не сами коэф­фициенты β₀, β_ij, β_ii и др., а их оценки b₀, b_i, b_ij и др.

Полученное при этом уравнение статической связи называют уравнением регрессии у на х₁, x₂, …, x_n:

(3.9)

Основным недостатком составления математических моделей статики в виде уравнения (3 9) служит громоздкость расчета и неопределенность в физической интерпретации коэффициентов b_ij, а кроме того, возникают трудности при оценке погрешности вы­числения у.

Однако эти недостатки в значительной мере устраняют при со­ставлении моделей статики методом полнофакторного эксперимента (ПФЭ), основу которого составляют упорядоченное расположение экспериментальных точек и в факторном пространстве х₁, x₂, …, x_n и регрессионный анализ.

При построении математической модели c помощью ПФЭ каж­дый фактор может иметь лишь два возможных значения, которые называются уровнями. Эксперимент начинают с определения факторного пространства, задаваемого интервалом варьирования пе­ременных x_i. При этом значение каждого фактора отличается от основного уровня на х_j. Затем исходные переменные преобразуют к безразмерному виду

X_i = (x^*_i – x^*_i0)/∆x_i,

где X_i — кодированное значение сигнала; х^*_i — натуральное зна­чение переменной; х^*_i0 — натуральное значение основного уровня; ∆х_i — интервал варьирования.

Последующий процесс построения математической модели ТОУ включает следующие операции:

построение матрицы планирования (программа эксперимента, в соответствии с которой реализуются опыты и варьируется х_i);

собственно эксперимент;

проверка воспроизводимости опытов;

расчет коэффициентов регрессии b_ij;

проверка статистической значимости b_ij;

проверка адекватности математического описания уравнением (3.9) реально существующих зависимостей y=S(x).

П

(3.10)

римером математической модели статики в виде уравнения регрессии второго порядка для сигнала по перепаду давлений на циркуляционном контуре р_цк барабанного котла типа ТП-87 паропроизводительностью 420 т/ч служит выражение

U = –4,4X₁ – 62,7X²₁ + 154X₂ – X²₂ + 16,8X₁X₂,

где U — сигнал по р_цк (тепловосприятию) на выходе измеритель­ного блока регулирующего прибора, Мв; Х₁ — кодированный сиг­нал, характеризующий изменение расхода воздуха в напорном па­трубке дутьевого вентилятора р_в, мм.в.c.:

X_l = (р_в - 250)/50;

Х₂ — кодированный сигнал, характеризующий изменение расхода топлива (оценивается по положению траверсы плоского контрол­лера В_т, деление):

Х₂ = (В_т - 6)/2.

График зависимости U = f(X₁) для значений X₂= 4, 6 и 8, полу­ченный по результатам двухфакторного эксперимента, показан на рис. 3.3,в.

Широкое распространение в задачах управления ТЭС имеют модели статики, позволяющие получить количественную оценку технико-экономической эффективности работы теплоэнергетичес­ких установок.

Для составления математических моделей статики ТЭС, ис­пользуемых при определении ТЭП, необходимо провести расчет принципиальной тепловой схемы станций. В качестве исходных данных для этого используют:

электрическую мощность турбогенератора Nэ (выходная вели­чина у_i);

количество теплоты, выделяемое при расходе единицы топлива q_T (входная величина);

характеристики технологического процесса, протекающего в энергоблоке: параметры воды и пара (давление, температура, эн­тальпия и др.) в котле, турбоустановке по ступеням турбины и регенеративного подогрева (значения р_{п п}, t_{п п}, h₀, h', p', t'_и, i_{п в}, p_{п в}, i_к); доля пропуска пара на каждую ступень j, внутреннее теплопадение H_{i j}, внутренняя работа на 1 кг свежего пара α_jH_{i j}.

Расчет ТЭП осуществляют с помощью семейства алгебраичес­ких уравнений, составляемых в несколько этапов [6]. На первом из них на основе уравнений материального и теплового балансов потоков пара, конденсата и питательной воды определяют расходы пара:

на входе в турбину

(3.11)

где Nэ — заданная электрическая мощность турбогенератора; η_м, η_г — механиче­ский КПД турбины и генератора;

н

(3.12)

а выходе турбины (на входе в конденсатор)

G_{к т} = α_{к т}G₀,

г

(3.13)

де α_{к т} — относительный пропуск пара в конденсатор; на вторичный перегрев

G_{в п} = α_{в п}G₀,

где α_{в п} — относительный массовый расход пара на вторичный перегрев;

на выходе котла

G_{п п} = α_кG₀,

где α_к = 1 + α_у, (α_у ≈ 0,02).

Далее составляют систему уравнений для энергетических пока­зателей в следующем порядке:

у

(3.14)

равнение тепловой нагрузки котла

уравнение расхода теплоты на турбоустановку

(3.15)

где — разница энтальпий после и до вторичного перегрева;

у

(3.16)

равнение расхода теплоты на электроэнергию

а при наличии отопительной нагрузки и теплофикационного отбора уравнение (3.15) принимает вид

(3.17)

где — расходы теплоты на восполнение потерь и получение дистиллята, — теплота, отпущенная тепловому потребителю (на подогрев сетевой воды); — теплота, затраченная на восполнение потерь сетевой воды;

у

(3.18)

равнение потерь теплоты в конденсаторе турбины

На заключительном этапе определяют ТЭП энергоблока:

у

(3.19)

(3.20)

дельные расходы теплотыq^э_т кДж/(кВт ∙ ч) на электроэнергию и пара d₀ кг/кВт, на турбину:

где — мощность привода турбопитательного насоса, кВт; ∆р_н — повышение давления насосом, МПа; v_cp — удельный объем водь:, м3/кг; η_н — КПД насоса (0,833);

к

(3.21)

(3.22)

оэффициенты полезного действия турбины по отпуску электроэнергии и транс­порта теплоты:

распологаемая теплота на входе в энергоблок (теплота топлива и воздуха), кВт:

Q

(3.23)

_P = Q_K / η_K ,

где η_k — КПД брутто котла;

к

(3.24)

оэффициент полезного действия брутто энергоблока (коэффициент передачи детектирующего звена, рассматриваемого как модель статики ТЭС):

η_эб = (N_э+N_тпи) / Q_р

и

(3.25)

ли

η_эб = η_к η_тр η^э_т ,

г

(3.26)

де η^э_т — абсолютный электрический КПД турбины

η^э_т = (N_э+N_тпи) / Q_т;

у

(3.27)

дельный расход теплоты на энергоблоке:

q^э_т = 1/ η_эб;

К

(3.28)

ПД энергоблока нетто:

где — потребляемые мощности на собственные нужды котла и турбины (на привод дымососов, вентиляторов, насосов и т.п.);

у

(3.29)

дельный расход условного топлива (нетто) на энергоблок, г/МДж:

b^н_у = 34,12/ η^т_эб.

На основе (3.14—3.18), (3.24) строят диаграмму теплоисполь-зования Q_p энергоблока (модель распределения теплоты в статике), отображающую распределения и потери теплоты в процессе преобразо­вания энергии на энергоблоке ТЭС (рис. 3.4).

Рис. 3.4. Диаграмма распределения теплоты для энергоблока

—потери теплоты соответственно в котле, на транспорт, собственные нужды турбины, в конденсаторах турбины ТПН; Q_р — располагае­мая теплота; — теплоты соответственно брутто на выходе котла, на входе в турбину, отпущенная потребителю;— расход теплоты на электро­энергию;N_ТПН, N_Э — мощности на привод ТПН и электрическая на выходе тур­богенератора; — расходы электроэнергии на собственные нужды тур­бины и котла;— электроэнергия, отпущенная потребителю

На основе уравнений (3.19), (3.21), (3.26) и др., задаваясь различными значениями электрической нагрузки N_Эi составляют математические моде­ли статики ТЭП на ТЭС в виде се­мейства функций, устанавливающих связь между нагрузкой

и

(3.30)

Рис. 3.5. Статические характе­ристики экономичности рабо­ты энергоблока

искомым значениемk_i , т.е.

k_i = f(λ_i)

где и т.п.

Обычно уравнения (3.30) служат нелинейными функциями ар­гумента в связи с тем, что составляющие тепловых и электричес­ких потерь нелинейно зависят от значений электрической нагруз­ки. Как правило, весовая составляющая потерь энергии растет с уменьшением тепловой и электрической нагрузок энергоблока. Графическое изображение функций (3.30) показано на рис 3.5.

Зависимости (3.30), построенные на основании уравнений (3.28), (3.29) используют в качестве функции цели при управле­нии энергоблоком.