2.2. Иерархия математических моделей

Принципы математического описания МИС. Требования к ма­тематическому описанию сложной системы противоречивы. С од­ной стороны, оно должно быть полным, т.е. отражать действие системы в деталях, а с другой — достаточно простым, доступным для понимания оператора.

Компромисс между полнотой и простотой математического опи­сания систем достигают их иерархическим (многоуровневым) пред­ставлением. Для этого объект или система описывают семейством математических моделей, представляемых в форме "вход-выход". В общем случае количество моделей, входящих в семейство, оп­ределяется числом математических страт, полученных в резуль­тате ее вертикальной декомпозиции [2, 10, 11].

Понятие математической страты связано с разным уровнем абстрагирования реальных процессов и систем.

Обычно математическое описание МИС начинают с технологического процесса, для которого имеется определенный запас ис­ходных данных (априорных сведений). В общем случае подход к составлению математической модели процессов основан на зако­нах сохранения энергии и вещества применительно к тепловым схемам и типовым конструкциям агрегатов или же опирается на экспериментальные статические и динамические характеристики отдельных агрегатов (установок) и участков [12, 22, 24]. При этом немалую роль во всех случаях играет простота модели и способ ее представления ( в явном или неявном виде). Примеры математи­ческих моделей технологического процесса на отдельных участках тепловой схемы ТЭС, составленных в явном виде, приведены в гл. 3, 8, 9.

Первоначальное общее представление о сложной системе можно детализировать, двигаясь вниз по иерархии. При этом описание системы должно углубляться при движении от одной математиче­ской страты к другой. Это означает, что обращение к нижней стра­те должно дать подробную картину динамики того или иного тех­нологического процесса. Наоборот, обращение к верхним стратам должно расширить кругозор оператора, дать ему представление о поведении системы в целом в сжатой форме, объяснить взаимо­действие объектов и подсистем.

Следовательно, движение вверх по иерархии позволяет расши­рить описание системы, представить ее в более общем виде, с ох­ватом большего числа звеньев и подсистем, большего периода вре­мени и более общих задач управления. Наряду с этим степень де­тализации поведения системы сокращается по мере перехода к моделям верхних уровней. В результате математическое описание становится более обобщенным, т.е. не учитывает факторы и сиг­налы, имеющие существенное значение лишь для подсистем, рас­положенных на более низком уровне.

Сложные системы в отличие от одноуровневых или одноцелевых характеризуют множество входных и выходных воздействий. Достаточно сказать, что на крупном энергоблоке, являющемся лишь одним из элементов нижнего уровня МИС (см. рис. 1.4), од­новременно контролируют и регулируют свыше 2000 технологи­ческих параметров. Поэтому естественным служит описание МИС с помощью математического аппарата теории множеств [2].

В

(2.1)

ведем понятие сложной функциональной системы S, представ­ленной на рис, 2.1 как отображения абстрактного множества вы­ходов Y:

S: X Y.

Рис. 2.1. Структура многоуровневой иерархической системы (МИС)

Для каждой пары "вход-выход" запишем

, ,

где i — индекс конечного множества индексов I.

Функция (2.1.) ставит в соответствие каждому х_i единственное у_i. Если, например, связь между х_i и у_i задана в виде простого диф­ференциального уравнения

(2.2)

с

(2.3)

начальными условиямиа_i:

у_i (0) = 0, х_i (0) = 1,

т

(2.4)

о связь междух_i и у_i интерпретируют следующим образом. Допус­тим, что х_i(t) и у_i(t) наблюдаются в интервале времени T = [0, ∞]. Пусть X — множество вещественных чисел, определенных на Т. Тогда для начальных условий (2.3) каждому х X соответст­вует единственным образом определенноеу У такое, что для каждогоt Т существует зависимость

С

(2.5)

ледовательно, (2.4), являясь решением (2.2), соответствует однозначному отображению;

Sa_i: Xa_i Ya_i.

Сравним теперь (2.2) и (2.5). Обе функции служат математи­ческими моделями (абстракциями) одного и того же реального процесса, который может протекать в объектах, обладающих свой­ством самовыравнивания [11]. Однако модель (2.2) описывает ре­альный процесс более детально, позволяя с помощью выражения (2.4) воспроизвести переходный процесс y_i(t) в реальном масштабе времени для конкретного объекта, заданного параметрами k и T₀. В то же время модель (2.5) представляет связь между X и У только в общем виде, т.е. служит математической абстракцией более вы­сокого порядка.

Выбор подходящего выражения математической абстракции оп­ределяется характером решаемых задач по управлению, а также степенью сложности системы, характеризуемой множеством пара­метров состояния.

Множественная оценка допустимых состояний реальных сис­тем. Кажущуюся некорректность применения аксиоматической теории абстрактных величин к реальным промышленным системам устраняют с помощью ее теоретико-множественной интерпрета­ции, т.е. таком истолковании абстрактной теории, при котором вместо неопределенных элементов множеств X и У, различающих­ся только по "входу" и "выходу", имеют ввиду конкретные вели­чины и так называемые технологические множества [2,11].

При этом безразмерные параметры технологического объекта управления (ТОУ) легко преобразуют в размерные, например, по данным теплового расчета ТОУ, а условным значкам (символам), изображающим абстрактные величины, придают определенный физический смысл.

В качестве примера рассмотрим технологическое множество со­стояний обобщенного энергоблока, задаваемое его производствен­ной функцией

B_T,i = f(N_i)

которую называют в энергетике расходной характеристикой, име­ющей типичный вид [4, 14, 15]:

(2.6)

где B_T,i — расход топлива, т/ч; N_i — электрическая мощность энер­гоблока, МВт; b₀, b₁, b₂, — постоянные коэффициенты, определя­емые по результатам экспериментов или расчетов.

Все множество определяется в предположении допустимости любого уровня затрат и максимальной выработки энергии при за­данных затратах [4,14].

Формализуем рассматриваемое множество в виде целевой фун­кции затрат по топливной составляющей v_i, записанной с учетом ограничений на максимум выработки электроэнергии, задаваемой установленной мощностью турбогенератора, и минимум расхода топлива, задаваемого по условиям устойчивого горения (наличия факела) в топке парового котла:

(2.7)

где v_i = B_Ti/B_T,max — относительные затраты; v_min,l — относитель­ные минимум и максимум затрат, определяемые минимумом рас­хода топлива по условиям устойчивого горения и его максимумом по условиям реальной производительности топливоподающих уст­ройств, выбранных с учетом необходимого запаса; y_i = N_i/N_max — относительная мощность энергоблока; y_min,l — относительные ми­нимум и максимум выработки электроэнергии.

На рис. 2.2 приведены эквивалентная расходная характеристи­ка (сплошная линия) с доверительными интервалами (прерыви­стые линии) и область допустимых состояний (затрат) с учетом наличия запаса в подаче топлива для обобщенного энергоблока, построенные по множеству расходных характеристик разнотип­ных блоков, соизмеримых по электрической мощности и топлив­ной сотавляющей затрат [14, 15].

Заштрихованная область — геометрическая интерпретация тех­нологического множества, задаваемого выражением (2.7) в коор­динатах v, у.

Оценим возможные режимы работы обобщенного блока по мно­жествам электрических нагрузок и затрат.

В соответствии с определением КПД энергоблока экономически выгодным с точки зрения уменьшения потерь располагаемой теплоты служит режим работы на нижней границе допустимых состо­яний, задаваемой выражением (2.7).

рис. 2.2. Технологическое множество допустимых состояний обобщенного энерго-

­блока по мощности и затратам

1 — область; 2 —— нечеткая граница технологического

множества — эквивалентная расходная характеристика

При этом в задачах управ­ления, связанных с оптимизацией ТЭП какого-либо одиночного блока, критерием управления служит минимум удельного расхода топлива, характеризуемого отношением B_Ti/N_T,i [8, 20].

Однако в практике эксплуатации ТЭС чаще всего решаются за­дачи оптимизации нескольких параллельно работающих блоков, соизмеримых по установленной мощности и затратам. Технологи­ческие множества таких блоков, построенные в координатах B_Ti(v_i), N_i(y_i) пересекаются (объединяются) или то и другое вместе (см. рис. 2.2).

Отмеченные обстоятельства указывают на два положения, име­ющих важное значение в решении задач оптимизации:

возможность "смешивания" автономных технологических про­цессов, протекающих в отдельных энергоблоках, в экономическом смысле (это означает, что одинаковые затраты характеризуют ра­боту двух или более блоков, имеющих разные электрические нагрузки);

целесообразность объединения блоков, имеющих близкие расходные характеристики, в группы с единой эквивалентной характеристикой.

Первое положение позволяет по разному нагружать энергоблоки с различными энергетическими характеристиками, и получать эко­номический эффект, не нарушая при этом общего баланса энергии.

Второе — распределять электрические нагрузки вначале по группам блоков, имеющих близкие расходные характеристики, а затем в пределах каждой группы, что существенно облегчает ре­шение задачи оптимизации при большом числе блоков.

Оба положения широко используют в задачах оптимизации режи­мов работы ТЭС и энергоблоков, рассматриваемых в параграфе 3.4.

В решении таких задач исключительную важность приобретает достоверность определения расходных характеристик каждого энергоблока, устанавливающих границы технологического множества его допустимых состояний.

Очевидно, что условия допустимости любого уровня затрат максимальной выработки продукции, принятые вначале при описании функции производственных издержек (2.6), достижимы только в идеальном случае.

Например, нижняя граница технологического множества, зада­ваемая (см. рис. 2.2) выражением (2.7) в предположении макси-ума выработки электроэнергии (минимума энергетических и ма­териальных потерь) — лишь частный детерминированный случай, характеризующий работу блока в режиме постоянного поддержа­ния оптимальных значений параметров, влияющих на экономич­ность работы энергоблока.

Указанный режим не всегда достижим в реальных условиях экс­плуатации, а детерминированная расходная характеристика бло­ка, соответствующая оптимальным условиям его работы может быть задана лишь как нормативная. В действительности расходные характеристики энергоблоков отличаются от нормативных и непрерывно изменяются под воздействием факторов, влияющих на экономичность паровых котлов и турбин. Соответственно из­меняются и технологические множества параметров, характери­зующих состояние энергоблоков. Первостепенными считают пара­метры (влияющие факторы), оказывающие наибольшее воздейст­вие на вырабатывающую мощность и экономичность [6, 20, 21].